Las matemáticas con las manos en la… tarta.

Pues sí. Vamos a ver si alimentamos un poco nuestro cerebro hambriento con una serie de acertijillos sobre tartas, concretamente sobre cómo cortarlas, aunque antes me gustaría relatar dos anécdotas relacionadas con este asunto. La primera no debe ser real, pero la segunda sí.

• Aunque creo que la versión original es con pescado, me tomo la libertad de cambiarlo por dos suculentos trozos de tarta, uno más pequeño que el otro. Hay 4 ojos y dos caras mirando tan delicioso manjar. En ese momento uno de los dos presentes se hace con el mayor pedazo. El otro lo reprende con cara de pocos amigos: “Si yo hubiera sido el primero habría sido educado y elegido el trozo más pequeño” El primero, con cierta sonrisa burlona, sentencia: “Pues bueno, ahí lo tienes, ¿no?”
• Esta otra anécdota la presenció James Fradgley en su casa y está sacada del libro “Cómo cortar un pastel” (a quién se le ocurre poner un nombre tan poco apropiado para un libro de rompecabezas matemáticos ) de Ian Stewart. Nos dice Fradgley: Cuando mis hijos tenían cuatro y cinco años, mi esposa dividió un pequeño pastel y le dio a cada uno lo que calculaba era el 50 por 100. Mi hija, la mayor, de inmediato dijo: <<El trozo de mi hermano es más grande que el mío>>. Así que mi esposa le preguntó a nuestro hijo si él pensaba que el suyo era más grande que el de su hermana. El pequeño contestó que no, y estuvo de acuerdo en que se intercambiaran las porciones. Mi esposa las cambió, convencida de que los dos estarían contentos. Pero… Nuestra hija miró los platos cambiados y dijo: <<El suyo todavía es más grande que el mío>>.

Y bueno, ahora sí que te dejo con los acertijos:

1.- Es fácil cortar una tarta cilíndrica en dos mitades congruentes con un corte, en 4 con dos cortes, en 6 con tres cortes y en 8 con 4 cortes… pero, ¿serías capaz de cortarla en 8 trozos idénticos (más o menos) con únicamente 3 cortes?

2.- ¿Serías ahora capaz de cortar una tarta en 16 partes congruentes con únicamente 4 cortes?

3.- Se ha preparado una tarta en forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada. Supongamos que el pastel cuadrado está escarchado por arriba y por los cuatro costados, y que el grosor del escarchado es despreciable (cero). Queremos cortar el pastel en n piezas, de modo que cada pieza tenga el mismo volumen y la misma superficie de escarchado. Los cortes se dan de la forma convencional; vistos desde arriba, son como radios que emanan del centro del cuadrado, y cada plano de corte es perpendicular a la base del pastel.

En el caso de que n sea 2, 4 u 8, el problema puede resolverse fácilmente seccionando el pastel en dos, cuatro u 8 sólidos congruentes. Supongamos, empero, que n = 7. ¿Cómo podremos localizar los siete puntos necesarios sobre el perímetro de la superficie superior?, ¿y para el caso general n?

4.-Montse acaba de cumplir 7 añitos. Su padre, al que le gusta “tomar medidas” en los asuntos, decide cortar la tarta, de base cuadrada, a 7 cm del vértice como muestra la figura, pero Montse opina que el trozo es pequeño, mientras que su hermano Carlos se queja de que el trozo es demasiado grande. Si hay 4 personas para comer tarta (Montse, Carlos, padre y madre), ¿quién tiene razón?

 

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Referencias:

Acertijos 1 y 4: Inspiración, ¡Ajá! de Martin Gardner

Acertijo 2: Las intrigantes aventuras del doctor Ecco de Dennis Shasha.

Acertijo 3: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas de Martin Gardner.

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