Matemáticas experimentales y “cálculo digital”.

Vía Chiti me he topado con el sitio web Matemáticas experimentales, que es una exposición virtual destinada tanto a estudiantes como a profesores de Matemáticas y que, como el propio nombre indica, permite experimentar, conjeturar, demostrar, estimar… Vamos, esas cosas tan propias de las matemáticas que tan poco aparecen en las aulas, en las que la memorización y el porque sí ocupan un lugar destacado.

Pues bueno, aunque de este recurso destaco todo, porque realmente no tiene desperdicio, me gustaría mencionar aquí el apartado de Calcular, y dentro de él la pestaña “Con la cabeza y las manos”, y lo hago porque me parece el más adecuado para Primaria (no todo) y porque ahí aparece una generalización del algoritmo para multiplicar números entre 5 y 10 con los dedos que ya mencioné hace tiempo en este post. De una manera parecida se pueden multiplicar dos números entre 5n y 5(n +1), con n natural, y ambos incluidos. Sólo hace falta saberse el cuadrado de 5n (y bueno, claro, alguna multiplicación básica). Veamos algún ejemplo:

Para la multiplicación 11×12 la aplicación nos muestra la siguiente resolución:

En general, para multiplicar dos números entre 10 y 15, levantamos tantos dedos de una mano como el valor de la diferencia (d1) entre uno de esos números y 10; hacemos lo mismo con el otro número y con la otra mano, obteniendo otra diferencia (d2, que no dedos ): En este caso 1 dedo para una mano y 2 para la otra. Al cuadrado de 10 le sumamos d1+d2 decenas y d1xd2 unidades… y esto nos da el resultado esperado.

Veamos ahora la multiplicación 17×19:

 

En general, para multiplicar dos números entre 15 y 20… pues procedemos de manera parecida a antes, cambiando por 15 donde pone 10, es decir, las diferencias (o el número de dedos a levantar) se obtienen restando a cada número, 15, y el resultado final es igual a la suma del cuadrado de 15 (225) más d1+d2 quincenas más d1xd2.

Y bueno, generalizar a partir de aquí es bien sencillo, como también lo es ver por qué funciona este procedimiento (pura propiedad distributiva). Veámoslo:

Dados dos números N1 y N2  (naturales, claro) tal que 5n≤N1≤5(n+1) y 5n≤N2≤5(n+1), para un n determinado, procedemos a multiplicarlos:

N1xN2= [ (N1-5n) +5n] x [(N2-5n) + 5n)= (d1+5n) x (d2+5n)= d1xd2 +d1×5n + 5nxd2 + 5nx5n=5nx5n + (d1+d2)x5n + d1xd2.

Como vemos, las manos nos sirven para mucho más de lo que pensamos, aunque, claro, con un poco de cabeza. 

P.D: Si no te apetece aprenderte los cuadrados de los múltiplos de 5 puedes encontrar una forma “fácil” de calcularlos mentalmente aquí.