Suma visual de cuadrados

Hace tiempo que se demostró visualmente en un post que la suma de los n primeros números naturales es igual a n(n+1)/2. Hoy me gustaría demostrar aquí la fórmula para la suma de los n primeros cuadrados, también haciendo un guiño a la intuición y a la vista. La demostración es debida a Martin Gardner, según nos informan en el artículo Deducción por inducción ⁽¹⁾, del que está extraída.

Para el que no lo sepa, la fórmula mencionada es la siguiente:

1²+ 2² + 3² + … + n² = (2n + 1)n(n+1)/6

Y a continuación la demostración (desde luego, lo que se muestra es el caso particular para n = 4, pero el lector se dará cuenta fácilmente de que el proceso es válido para cualquier n):

Si sumamos tres veces 1²+ 2² + 3² + … + n², obtenemos un rectángulo de base 2n + 1 y altura 1 + 2 + 3 + … + n (¿por qué?):

Por lo tanto, usando la fórmula para la suma de los n primeros números naturales obtenemos que la suma que buscamos es:

1²+ 2² + 3² + … + n² = 1/3 (2n +1) n (n + 1).1/2, que evidentemente es el mismo resultado que el de arriba.

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1) CASÁS FERREÑO, N. (2007): Deducción por inducción, Suma, 55, 55-60.

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