Solución de “Tenemos un problema con el geoplano”

Hace algo más de un mes propuse en esta entrada un problema y prometí dejar aquí una solución. El problema propuesto era el siguiente:

¿Cuál es el polígono de mayor número de lados que se puede construir en un geoplano de dimensiones nxn? ¿Hay una fórmula general? Demostrar que la fórmula se cumple para todos los geoplanos nxn (salvo excepciones).

Bueno, lo primero es ver cuál es la fórmula esa… No es difícil llegar a la conclusión de que, como máximo, un polígono construido en un geoplano de dimensión n x n tendrá n² lados (se deja esa tarea para el lector, que no tengo demasiadas ganas de escribir). La cuestión es ver si realmente eso va a poder ser así o existirá alguna otra restricción que disminuya el número de lados posibles. Pues… ¡qué haces que no te has puesto ya a construir polígonos y polígonos!

Si me has hecho caso seguramente hayas intuido que realmente se pueden construir polígonos de n² lados en un geoplano nxn (salvo para el caso 3×3 y 5×5, que son las excepciones). Ahora, te llevaría un tiempo infinito comprobar que realmente es así para todos los geoplanos de dimensión nxn. Todavía puedes buscar una estrategia que te permita verificarlo en “algo” menos de tiempo. Si no es esa tu intención, pues sigue leyendo, que ya te la doy yo mascada.

Lo primero que vamos a hacer es estudiar dos casos por separado (algo bastante típico en mates): geoplanos donde n sea par y geoplanos donde n sea impar. Empecemos con los pares, que son más fáciles… y hagámoslo con un dibujo:

Como puedes observar, son polígonos del mayor número de lados posible construidos en geoplanos de dimensión 2×2, 4×4, 6×6 y 8×8. Aquí (y también en los siguientes esquemas) las líneas azules representan las líneas que también aparecen en el geoplano “anterior” (cuyo lado tiene dos clavos menos), las líneas verdes indican las líneas del geoplano anterior que desaparecen y las líneas rojas son las líneas nuevas… Aunque quizás todavía no lo intuyas, la construcción de estos polígonos sigue un método basado en el polígono construido en el geoplano “anterior”, que nos permite ir construyendo “hasta” el infinito.

Si nos fijamos detenidamente, cada polígono es de la forma ⁽¹⁾:

O de la forma:

Y lo curioso es que a partir de la primera forma obtenemos la segunda:

Y a través de la segunda obtenemos la primera:

Y aquí reside todo el meollo de la cuestión: vamos obteniendo cada vez polígonos del mayor número de lados en un geoplano “inmediatamente superior” a partir del que tenemos, y podemos seguir así hasta donde queramos o hasta donde nos lo permita nuestra paciencia.

¡Vayamos ahora con los impares! A continuación polígonos en geoplanos de dimensión 3×3, 5×5, 7×7 y 9×9. Se puede comprobar que el primer polígono tiene 7 lados y el segundo 24, es decir, no cumplen la regla de los n² lados, pero, por lo menos yo, no he sido capaz de aumentar ese número. Los otros sí tienen 49 y 81 lados, como tiene que ser.

Pero es a partir del geoplano de dimensión 11×11 donde se pueden intuir cuales son las formas milagrosas que ahora nos permitirán construir polígonos con las características pedidas (se invita al lector a seguir si quiere con geoplanos de dimensión 15×15, 17×17…Aunque si no tiene demasiada paciencia mejor que ni lo intente).

Las formas que ahora obtenemos son ésta:

Y ésta:

E igual que antes, a partir de la primera forma obtenemos la segunda:

Y a partir de la segunda, la primera:

El razonamiento es análogo al de antes.

Y ya podemos concluir, ahora sí, afirmando que en un geoplano de dimensión nxn, si exceptuamos los geoplanos de dimensión 3×3 y 5×5, el polígono con mayor número de lados que podemos construir tendrá n² lados… y además sabemos cómo construirlo .

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1) En los esquemas sólo aparece “la parte de fuera” porque el resto es irrelevante para la demostración. Las líneas discontinuas grises indican que el patrón se repite las veces que queramos.