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Archive for 24 julio 2008

La llamada paradoja de Russell produjo muchos quebraderos de cabeza a los matemáticos allá por el comienzo del siglo XX. Por esa época había empezado a cobrar relevancia la idea de conjunto, y se intentaba reducir todas las matemáticas a esa idea, es decir, se pretendía que todas las matemáticas se basaran finalmente en la Teoría de Conjuntos.

Como ocurre muchas veces, los conceptos más intuitivos son los más difíciles de definir, y el uso indiscriminado de la idea de conjunto fue el que originó finalmente el humo que salía insistentemente de las cabezas de los matemáticos de la época, quemados por las paradojas que un concepto tan “simple” producía.

Fuente de la imagen: http://tualtavoz.wordpress.com

Mas, dejémonos de historias o, mejor dicho, de Historia (aunque no tengo nada contra ella, que conste)… El caso es que aún no he dicho en qué consiste la paradoja… Bueno, ya sabemos cómo son los matemáticos: les encanta jugar a “y si…”. En este caso, en la cabeza de Russell (y también anteriormente Cantor había estado “divirtiéndose” con cuestiones del mismo tipo) surgió la pregunta: ¿y si consideramos conjuntos cuyos elementos sean otros conjuntos?… Hasta aquí no parece haber problema. Éste hace acto de presencia con el siguiente “y si”: ¿Y si definimos como conjunto ordinario a aquel que no se contiene a sí mismo como elemento? Bueno, en ese caso podemos llamar conjunto extraordinario a aquel que es elemento de sí mismo.

Por ejemplo, un conjunto ordinario sería el conjunto de todos los monos del mundo. Ese conjunto no es un mono y, por lo tanto, no pertenece al conjunto. Un conjunto extraordinario podría ser… pues “el conjunto de todas las cosas que no son monos” (hadas madrinas, duendecillos, unicornios, aunque sean muy monos, personas, aunque muchas hagan el mono o estén con el mono… y también el propio conjunto, claro) o “el conjunto de todas las cosas que se pueden definir con menos de 20 palabras”.

Me había confundido. El “y si” “culpable” viene ahora: ¿y si formamos el conjunto de todos los conjuntos ordinarios?, ¿es este conjunto ordinario o extraordinario? Veamos, si fuese ordinario no se contendría a sí mismo como elemento (por definición), pero entoces se tendría que contener a sí mismo (y por lo tanto ser extraordinario), porque el conjunto de todos los conjuntos ordinarios no puede rechazar a ninguno de sus elementos (por suerte). Por el contrario, si fuera extraordinario, por la propia definición, tendría que ser elemento del conjunto, pero el conjunto de todos los conjuntos ordinarios no puede contener a ningún conjunto extraordinario. Total: el conjunto no puede ser ni ordinario ni extraordinario.

¿Qué pasa entonces?, ¿dónde se encuentra la solución a la paradoja? La solución es sencilla: simplemente, es imposible que exista tal conjunto… Pero esto produjo jaquecas y quebraderos de cabeza entre el mundillo matemático, porque… ¿dónde estaba el límite de conjunto?, ¿qué podía ser conjunto y qué no?, ¿cómo estar seguros de que lo que teníamos delante de las narices era realmente un conjunto y no un producto del País de lo que no Existe (¡como si las matemáticas existieran! Igual es eso lo que ahora mismo tienes en mente, pero, ¡quién sabe!)? (más…)

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MDEL es el nombre de una nueva revista electrónica que nos ha abierto sus brazos en junio y a la cual, desde aquí, le mandamos una calurosa bienvenida. De ella se dice en la propia página de inicio:

MSEL is a publication devoted to the use of models in science education, with special attention to mathematical models. The implementation of a mathematical model is the way used by science and technology to approach the reality and to solve problems. As a consequence, mathematical objects are the necessary elements to understand the technological and scientific concepts, through constructions and results. Mathematical models provide a general framework where concepts of different sciences interrelate and, in this sense, modelling is revealed as an important tool for teaching mathematics and science. On the other hand, the use of models can contribute in anchoring basic concept in science, improving the learning.

Fuente de la imagen: http://unizar.es

Pero, ¿qué es eso de la modelización? En un artículo con el mismo nombre que la revista, Modelling in Science Education and Learning (1), nos lo aclaran:

La modelización matemática […] se puede concretar en un esquema relativamente sencillo. Se parte de un problema real, que se plantea en términos de la ciencia y la ingeniería, se realiza un proceso de simplificación a la luz de las ciencias involucradas […] y ello conduce a un planteamiento del problema en términos matemáticos que culmina con la formulación del modelo (ecuaciones, formas geométricas, desigualdades…) que describe el problema. El siguiente paso es la resolución del problema matemático y, éste es el punto más importante, su interpretación a la luz del modelo y su comparación con la realidad para validar la capacidad predictiva del mismo. (más…)

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¿Calculadora en clase de mates? Miremos lo que responde el siguiente gato a la pregunta:

Aunque la tira cómica nos puede sacar una sonrisa, creo que el asunto es bastante serio. Seguramente que la mayor parte de las personas están de acuerdo en que ésta se introduzca en Secundaria. Lo que parece crear más duda es si sería recomendable introducirla en Primaria o incluso antes. Por ello quizás no sea raro oír frases como:

“Los niños que aprenden a calcular con máquinas luego no saben hacerlo sin ellas. ¿Qué pasa cuando se acaban las pilas o se estropea la calculadora?”

“No se deben usar, porque acaban sabiendo menos Matemáticas.”

“Las calculadoras no se deben usar en clase porque los alumnos no saben qué hacer luego sin ellas. Les pides que calculen 56 x 10 y lo primero que hacen es encender la calculadora.” (más…)

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Desde el blog de Chiti , y a través de su post Vuelos de fantasía por las matemáticas, me llegan ecos de un film que tiene pinta de ser muy interesante. Se llama Dimensions y, como en la propia página de presentación se dice, es

¡Un paseo a través de las matemáticas!

¡Una película para todos los públicos!

Nueve capítulos, dos horas de matemáticas, que le llevarán poco a poco hasta la cuarta dimensión. ¡Garantizado el vértigo matemático!

El trailer lo puedes ver en la propia página de presentación, clickando en la imagen que aparece a la izquierda; y también hay información más detallada (sólo el segundo en español en este momento) de cada uno de los capítulos.

Los distinos capítulos te los puedes descargar aquí (en varios idiomas; también en español). Aunque si prefieres también los puedes ver on-line (en español aquí) o adquirir en DVD por sólo 10 €.

¡Y a qué esperas para introducirte en un mundo paradisíaco: el de las matemáticas! La verdad es que proyectos como éste se agradecen. Esperemos que sus autores y demás colaboradores sigan acercando las tan temidas matemáticas al público en general… y esperemos que surjan muchas más iniciativas como ésta.

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Acertijos con balanzas o pesos hay muchos. Aquí te dejo con algunos. Los hay muy fáciles y más difíciles, pero como me era muy complicado pesar su dificultad, pues el orden no se basa en ningún criterio, aunque sí que es cierto que los más fáciles han quedado por el principio.

  • 1.- Para empezar a calentar motores, aquí tienes uno fácil y de un tipo muy conocido

¿Cuántas bolitas harán falta para equilibrar este trompo?

  • 2.- Si un ladrillo se equilibra con ¾ de ladrillo y ¾ de un kilo, ¿cuánto pesa el ladrillo?
  • 3.- Supongamos que tienes que pesar exactamente diez kilos de azúcar. Para lograrlo, se tienen dos pesas de cinco kilos cada una, y una balanza con dos platillos. La dificultad reside en que la balanza está desbalanceada. Esto significa que, sin que haya ningún peso en ninguno de los dos platillos, hay uno que está más arriba que el otro. ¿Cómo hacer? (más…)

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Bueno, es evidente que el papel (junto con algo para escribir) ha tenido siempre (es un decir) un papel destacado en las matemáticas. Incluso Claudi Alsina, en su libro Vitaminas matemáticas, incluye la afición de escribir en papelitos como uno de los “tics” de los matemáticos, junto con el despiste parcial, el rigor exagerado, la modesta ambición crematística y la tendencia al asociacionismo.

También es cierto que, junto con la tan querida pizarra, el papel ha tenido siempre (quizás ahora menos, con la aparición de los ordenadores) un lugar de honor en la enseñanza. Sí, cientos y cientos de páginas llenas de letras, números y algún que otro dibujito del profesor bigotudo de química, algún corazoncito o algún “violeta x francisco”. Parece mentira, sin embargo, que este gran recurso no haya sabido aprovecharse como se merece. En este post pretendo rescatar algunas de esas aplicaciones que tan poco entran en las aulas, de matemáticas en este caso, y de las que tanto se puede aprender. En concreto voy a tratar el tema del origami, ya que con el papel se pueden hacer infinidad de cosas y sería demasiado amplio hablar de todas ellas. Para empezar, me gustaría justificar que realmente el origami puede ser una gran ayuda en la educación en general y en las matemáticas en particular. Para ello me baso en los testimonios de personas entendidas en el tema. (más…)

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Las voces del desierto es uno de esos libros que te dejan huella… o por lo menos en mi caso, claro… Quizás porque uno de mis sueños es encontrarme algún día con una tribu, una de esas que llaman, tan a la ligera, salvajes. Este libro trata de eso (y de mucho más): el viaje de una norteamericana de ciudad, la propia autora del libro, por el Outback australiano en compañía de una tribu de aborígenes.

La verdad es que el libro entero es una lección en toda regla para la sociedad en la que vivimos, tan competitiva, tan dormida, con un ritmo tan frenético; y sería aún mayor si la historia relatada fuera verídica… pero parece que hay cierta polémica al respecto, a pesar de que la autora lo vende como algo que realmente le sucedió. Sin ir más lejos, en la propia entrada para Marlo Morgan, la autora del libro, en la wikipedia, se dice que En una reunión con los representantes autralianos Marlo Morgan admitió que la novela era un trabajo de ficción. De todas formas, sea la historia real o no, creo que de ella podemos aprender mucho.

Para una reseña amplia puedes acercarte hasta aquí, pero lo que ahora quería compartir contigo es un trocito del libro. Trocitos hay muy buenos, y me imagino que cada uno eligiría uno diferente dependiendo de su forma de ser, pensar… o incluso del momento. A mí me gusta mucho el que a continuación muestro, quizás porque relata muy bien uno de mis principios para vivir: no hay nada bueno ni malo. Todo tiene las dos caras de la moneda. (más…)

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