Soluciones a los acertijos con balanzas

Como prometí, aquí te dejo con las soluciones a Acertijos con balanzas. Si encuentras algún error, ya sabes:

1) En este simple ejemplo de “álgebra visual”, descubrimos una ejemplificación capital de los principios de sustitución y suma de cantidades iguales en ambos miembros de una ecuación, sin que afecte al equilibrio, por así decirlo. Demuestra la verdad del axioma que afirma que las cosas que son iguales a las mismas cosas son iguales entre sí. En la primera ecuación vemos que 1 trompo y 3 cubos son iguales a 12 bolitas. En la segunda ecuación, 1 trompo solo iguala a 1 cubo y 8 bolitas. Ahora agreguemos 3 cubos a cada platillo de la segunda balanza. Como agregar cantidades iguales en ambos lados no afectará al equilibrio, seguimos teniendo una ecuación. Pero el platillo de la izquierda es idéntico al platillo de la izquierda de la balanza anterior. Por lo tanto, debemos concluir que los dos platillos de la derecha también son iguales, es decir, que 4 cubos y 8 bolitas deben ser iguales a 12 bolitas. Por lo tanto, 4 cubos deben pesar lo mismo que 4 bolitas. En resumen, 1 cubo y 1 bolita tienen el mismo peso. El segundo cuadro nos dice que 1 trompo se equilibra con 1 cubo y 8 bolitas, de modo que sustituimos el cubo por 1 bolita y tenemos que el trompo tiene igual peso que 9 bolitas.

(Acertijos de Sam Loyd [descarga gratuita o lectura on-line]; acertijo nº 43)

2) La pesa de ¾ de kilo es claramente igual a ¼ de ladrillo, por lo tanto, el ladrillo debe pesar 12/4, o sea 3 Kg.

(Nuevos acertijos de Sam Loyd; acertijo nº 58)

3) Primero, pon las dos pesas (5 kilos + 5 kilos) sobre uno de los platillos. Pon azúcar en el otro hasta que los dos platillos queden a la misma altura. Cuando lo logres, retira las dos pesas y reemplázalas con azúcar hasta que los platillos queden otra vez a la misma altura. Obviamente, el azúcar que te hizo falta poner en el platillo en donde estaban las dos pesas cumple con lo que se quería: ¡pesa 10 kilos!

(Matemáticas… ¿estás ahí? Episodio 3,14 [descarga gratuita pdf]; Acertijo en Pág. 26 y Solución en Pág. 186)

4) La señora O’Toole pesa 135 libras, el bebé 25 libras y el perro10 libras.

(Acertijos de Sam Loyd [descarga gratuita o lectura on-line]; acertijo nº 20)

5) La Q, que tiene una línea curva y una recta

(El Acertijo nº 3, acertijo en Pág. 8 y solución en Pág. 17).

6) Si tengo que decidir qué bola es la más ligera de dos posibles, basta poner cada una en un platillo y compararlas. ¿Y si tengo que elegir entre tres candidatas? Pues, simplemente, ponemos una bola en cada platillo y dejamos otra fuera. Si la balanza está desequilibrada, compruebo cuál es más ligera y, si está equilibrada, la más ligera es la que se ha quedado fuera.

Por tanto, el objetivo será quedarse sólo con tres “finalistas”. ¿Cómo lo haremos? Realizando el mismo procedimiento pero con grupos de tres. Separo las nueve bolas en tres grupos de tres y comparo dos de esos grupos. Si la balanza está desequilibrada el grupo más ligero de tres bolas será el de las finalistas. Si está equilibrada será el grupo que se ha quedado fuera.

Así, bastan dos pesadas para comprobar cuál de las nueve es la que pesa menos que el resto.

(Las matemáticas no dan más que problemas [descarga gratuita pdf], Acertijo en Pág. 53 y Sol. en Pág. 73

7) Tomas una bola del primer saco, dos bolas del segundo… y así sucesivamente hasta tomar 100 bolas del saco número 100. Ahora las pesas todas juntas. Si las bolas de todos los sacos pesaran 10 gramos, obtendríamos un peso de 10 x (1 + 2 + … + 99 + 100) gramos, o lo que es lo mismo 10 x 5050 g (puedes mirar cómo se suman los números del 1 al 100 en esta entrada), es decir, 50,5 kg. Pero en el caso que nos ocupa, la balanza pesará algo menos; este algo menos nos dará la clave para saber qué saco es el que contiene las bola diferentes. Por ejemplo: imaginemos que la balanza marca 50480 g, es decir, marca 20 gramos menos, lo que quiere decir que hay 20 bolas que pesan 9 gramos (un gramo menos de lo debido) y sólo hay un saco del que hemos sacado 20 bolas (el número 20).

(Solución más detallada en Las matemáticas no dan más que problemas [descarga gratuita en pdf], Acertijo en Pág. 54 y Solución en pág 74)

8.) Para resolver este problema deberemos hallar una sucesión que no sólo asigne un número distinto a cada saco, como antes, sino que, además, todos los subconjuntos de la sucesión den sumas distintas. ¿Existen sucesiones así? Sí, la más sencilla es la progresión 1, 2, 4, 8… (las potencias de 2).

Ahora alineamos los sacos y tomamos una bola del primero, dos del segundo, 4 del tercero… y a continuación las pesamos todas juntas. Si no hubiera ninguna con sobrepeso, la balanza marcaría 256 g (2⁸). Ahora la balanza marcará más. Imaginemos que la balanza marca 27 gramos de más. Hay una única forma de obtener 27 como potencias de 2 (porque ya hemos escogido la sucesión de manera que cualquier subconjunto dé sumas distintas): 1 + 2 + 8 + 16. Esto nos indica que los sacos defectuosos son el número 1, el 2, el 4 y el 5. Para quien sepa numeración binaria es más fácil: expresa 27 (o el número que sea) en numeración binaria (11011 en este caso) y los unos le indican el lugar de los sacos con más peso (de derecha a izquierda).

(Referencia: ¡Ajá! Inspiración, Autor: Martin Gardner)

9) Un procedimiento para resolver el problema de las seis pesas, dos rojas, dos blancas y dos azules consiste en colocar en un platillo una pesa blanca y una roja, y en el otro, una blanca y una azul.

Si la balanza quedase en equilibrio, sabríamos que en cada platillo hay una pesa liviana y otra con sobrepeso. Retiremos de los platillos las pesas de color, dejando únicamente las blancas, una en cada uno. Sabremos así en qué platillo está la pesa blanca más ligera, y en cuál la más pesada. Al mismo tiempo, ello nos dice cuál de las pesas antes empleadas (una roja, una azul) es más ligera que la otra, lo que a su vez nos aclara cuáles son las pesas liviana y pesada del par azul-rojo no usado todavía.

Si la balanza no queda en equilibrio al efectuar esta primera pesada, es seguro que caerá del lado donde se encuentre la pesa blanca de mayor peso. Empero seguimos a oscuras con respecto a la roja y la azul. Compararemos pues la roja ya utilizada con la gemela de la azul empleada para la primera pesada (o bien, la azul primitiva con la gemela de la roja). El resultado de la segunda comparación más el recuerdo de lo ocurrido en la primera, ya es suficiente para distinguir las seis pesas.

(Circo matemático [para lectura on-line o descarga]; acertijo nº 6 del capítulo 11)

10) Compara A con B, C con D, y luego las dos más pesadas entre sí. Sin perder generalidad, sea A más pesada que B y C, con C más pesada que D. Esto puede hacerse en 3 pesadas.

Ahora compara E con C. Si E>C, compara A con E (quinta pesada).

Si A>E, compara B con C y con D, si es necesario, lo que completa el ordenamiento en 7 pesadas o menos

El caso C>E puede resolverse de forma similar.

Es dudoso que puedan ordenarse las pesas en menos de 7 pesadas, pero sigue siendo un asunto abierto (Desafíos matemáticos, acertijo 40)