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Archive for 28 abril 2009

Alberto Montt nos obsequió hace unos días con esta magnífica viñeta sobre las estadísticas:

estadistica-enganosa

Y ya, aprovechando, ¿puedes indicar si son ciertos los siguientes razonamientos sobre estadísticas? En este caso es Martin Gardner en su libro “¡Aja! Paradojas que hacen pensar” el que nos ha otorgado el regalito:

1) Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 150 km por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad?

2) Si las estadísticas mostrasen que la mortalidad por tuberculosis es mayor en Segovia que en las demás provincias, ¿significaría esto que el clima segoviano favorece el contagio por tuberculosis?

3) Un estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pie grande saben leer mejor que los de pie pequeño. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la capacidad de lectura de los niños?

4) Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren cerca de casa. ¿Significa esto que viajar por carretera, a muchos kilómetros de nuestra ciudad, es menos peligroso que callejear por nuestro barrio?

5) Un estudio demostró que en cierta región las tasas de fallecimiento por cáncer y de consumo de leche eran de las más altas del país. ¿Significa esto que beber leche puede ser causa de cáncer?

6) Otro estudio mostró que en cierta ciudad se produjo un súbito aumento de mortalidad por fallo cardíaco y un fuerte incremento en el consumo de cerveza. ¿Es posible que beber cerveza sea causa de que aumente la probabilidad de ataque al corazón?

7) Un estudio hizo ver que en cierta población europea se produjo simultáneamente un fuerte crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidos de cigüeñas. ¿No es esto demostración de que son las cigüeñas quienes traen a los niños al mundo?

8). Otro trabajo estadístico mostró que casi todos los grandes matemáticos fueron primeros hijos. ¿Significa esto que los niños nacidos los primeros reciben una dote de sensibilidad matemática mayor que sus hermanos posteriores?

Visto lo visto espero que de ahora en adelante estés un poco más atento/a a las estadísticas y sus engaños, sobre todo a los que aparecen en la publicidad y en los medios de, supuestamente, comunicación.

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Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):

[…]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.

Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.

Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):

La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.

Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.

Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.

Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. (más…)

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Hace poco en “Acertijos y mas cosas nos sorprendieron con un calendario para el mes de abril de 2009, pero no un calendario cualquiera, sino uno matemático. Eso me recordó los calendarios matemáticos que desde hace años se hacen desde la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “AL KHWARIZMIe indagué algo más por Internet, encontrando 3 tipos de calendarios matemáticos:

 

Calendarios “expresionantes”

 

Calendarios en los que el número del día viene dado a partir de la resolución de una expresión matemática, como es el caso del que nos presentan desde Acertijos y mas cosas“:

calendariomatematicoabril

 

Calendarios con fondo matemático

 

Calendarios en los que el fondo es una imagen que está relacionada con las matemáticas. Por ejemplo, como el hermoso calendario fractal que nos muestra Christiam Huertas en su blog.

2009-abril

 

2009-mayo

Para el resto de meses ver la entrada original.

 

Calendarios “problemáticos”

 

Éste es el tipo del que más ejemplos he encontrado. Como dije al principio, la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana hace años que los elaboran, con problemas adecuados al nivel de Secundaria e incluso con un concurso detrás. Actualmente Ediciones SM se encarga de su impresión y distribución. Para más detalles lee Diciembre matemático o este pdf

 

Abril 2009

Abril 2009

Mayo 2009

Mayo 2009

 

 

Para descargarte otros meses y años entra aquí.

 

Christiam Huertas, en la misma entrada de antes, nos presenta también calendarios de corte problemático; de álgebra y más generales. Por ejemplo:

febrero_algebraiconoviembre-2008

 

Pero aquí no termina todo. Parece ser que hay más calendarios matemáticos [pdf] navegando por la Red. A continuación se muestran los meses de abril y mayo. Éste tiene el aliciente de que cada mes viene acompañado por un tema de corte matemático (no lo muestro en las imágenes); por ejemplo, en abril nos hablan de las paradojas y en mayo de cómo enseñar el azar en la escuela.

abril_2009

mayo_2009

 

 

Y si lo que quieres es gastarte un poco de dinero, siempre puedes acercarte hasta googolmx.com y comprar un calendario matemático. También lo hay infantil.

 

Pues ya sabes… Si en tu vida no hay problemas, ahora puedes tener 2 ó 3 diarios. ¡Qué los disfrutes!

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El mundo de las demostraciones matemáticas es bastante engañoso. Muchas veces parecemos toparnos con una y, sin embargo, no es más que un espejismo. Entre las demostraciones, creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

En este post te muestro una “demostración” de que todo triángulo es isósceles y otra que intenta demostrar que si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo. Desde luego, como puede suponer el lector o la lectora, ambas son falacias, pero son falacias bastantes sutiles. Ambas provienen de uno de los libros de Martin Gardner, concretamente Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. ¿Dónde está el razonamiento erróneo en cada una de ellas?:

Teorema 1: Todo triángulo es isósceles.

falacia-geometrica-1

Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC, y desde D trazamos DE, perpendicular a BC. Tracemos la bisectriz del ángulo BAC.

1) Si la bisectriz no corta a DE, ambas rectas son paralelas. Por consiguiente, la bisectriz es perpendicular a BC. Por consiguiente, AB = AC, es decir, ABC es isósceles.

2) Si la bisectriz corta a DE, llamemos F al punto de intersección. Tracemos FB, FC y, desde F, las rectas FG, FH, perpendiculares a AC, AB.

Entonces los triángulos AFG, AFH son iguales, porque tienen el lado AF común, y los ángulos FAG, AGF repectivamente iguales a los ángulos FAH, AHF. Así pues, AH = AG, y FH = FG.

Como antes, los triángulos BDF, CDF son iguales, porque BD = DC, DF es común, y los ángulos de vértice D son iguales. Así pues , FB = FC.

Igualmente, los triángulos FHB, FGC son rectángulos. Por lo tanto, el cuadrado de FB es la suma de los cuadrados de FH y HB; y el cuadrado de FC = la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero FB = FC, y FH = FG. Por consiguiente, el cuadrado del lado HB = al cuadrado de GC. Así pues, HB = GC. Por otra parte, se ha demostrado ya que AH = AG. Así pues, AB = AC, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Por consiguiente, el triángulo ABC siempre es isósceles.

Teorema 2: Si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo

falacia-geometrica-2

En el cuadrilátero ABCD de la figura tracemos BX perpendicularmente a AD, y DY perpendicularmente a BC. Unimos B con D. Los triángulos ABX y CYD son congruentes y, por lo tanto, BX es igual a DY, y AX es igual a CY. Se sigue que los triángulos BXD y DYB son congruentes, y así pues, XD es igual que YB. Dado que AB es igual que CD y que AD es igual que BC, el cuadrilátero ABCD tiene que ser un paralelogramo.

[Actualización]: soluciones

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Leo en 3tris3tigres sobre el fantástico hobby del fotógrafo Michael Hughes. Éste se dedica a desplazarse a diferentes puntos de interés turístico del mundo y a suplantar en sus fotos esos puntos con los típicos souvenirs que venden en sus proximidades. En xeduced nos enteramos de cómo empezó esta afición:

Todo comenzó durante un viaje a Nueva York. Me encontraba tomando café frente a la Estatua de la Libertad cuando me di cuenta que la taza en mi mano llevaba impresa la efigie del monumento y de repente se me ocurrió la idea. Tiré el contenido y coloqué la taza frente a mi cara superponiendo la estatua ficticia con la real y entonces tomé la primera fotografía de estas características a la que luego siguieron muchas otras. Desde entonces se ha convertido en un hobby, algo que roza la obsesión hasta el punto que mis últimos viajes los he realizado exclusivamente para tomar fotografías de su lugar o monumento más famoso y característico reemplazado por un souvenir.

A continuación te dejo con algunas de estas bellezas, pero si quieres más siempre puedes acercarte hasta su galería de Souvenirs en Flickr, su página oficial, con más trabajos, o su blog, en el que nos habla de la historia detrás de cada foto.

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Torre de Pisa, Italia

Buddy Holly Memorial, Lubbock, Texas

Buddy Holly Memorial, Lubbock, Texas

Big Ben, Londres

Big Ben, Londres

Pero Flickr es un mundo lleno de sorpresas y no podemos dar de lado tampoco el trabajo de Jason Powell. Éste se dedica a suplantar fotografías antiguas en su sitio correspondiente en la actualidad. Os dejo algunas. Para el que quiera más sólo tiene que dirigirse hasta su galería Looking into the past.

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Si te ha gustado todo esto te recomiendo que te acerces hasta 3tris3tigres y leas (y veas) tanto el post como las entradas relacionadas, todas muy interesantes y sin desperdicio.

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Hace ya varios días que tanto en Edumate Perú como en En clase de MATEmaTICas se hicieron eco de los magníficos proyectos que Carlos Morales, profesor de matemáticas en el IES Valsequillo (Gran Canaria), lleva a cabo con sus alumnos. Las matemáticas que los estudiantes aprenden con Carlos tienen los dos pies en el suelo, los dos pies en nuestra realidad cotidiana. Sólo hace falta ver el siguiente vídeo en el que Carlos cede la palabra a alguno de sus alumnos para darse cuenta de que la cosa funciona y de que proyectos así se pueden hacer:

Esperanza Gesteira, la autora de En clase de MATEmaTICas, nos acerca algunos de esos proyectos:

  • Galileo: Matemática Aplicada a la Astronomía (Vídeo con la opinión de los alumnos)
  • Clepsidra: Agua, Matemáticas y Tiempo (¡Vídeo genial!Felicidades a los alumnos!). También una presentación.
  • Tunguska: ¿Meteoritos o Alienígenas?
  • CannonBasket: Cañones, Baloncesto y Matemáticas
  • F1: Matemática Aplicada a la Fórmula 1
  • Indiana Jones: Matemática Aplicada a la Arqueología
  • TopoGIC: Matemática Aplicada a la Ingeniería de Caminos
  • Virus: Matemática Aplicada a la Medicina…

Y también puedes entrever algo de algunos de ellos en la siguiente presentación:

Qué decir de todo esto… Pues que otra educación es posible y que, como muy bien nos recuerda Carlos:

Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer.

Johann W. Von Goethe

Mis más sinceras felicitaciones a Carlos. Esperemos que la educación siga su ejemplo.

Y hablando de ejemplos… No me gustaría terminar este post sin echar una mirada a la experiencia relacionada con la medida del radio de la Tierra que el pasado 26 de marzo llevaron a cabo varios cientos de institutos. Era una iniciativa para conmemorar que es el Año Internacional de la Astronomía. Da-beat y Eugenio Manuel fueron dos de los profesores que se atrevieron con ella. También mis sinceras felicitaciones.

[Actualización]: Alexis González nos deja un enlace en el que recordamos (se me había olvidado comentarlo) que el Proyecto Clépsida obtuvo el primer puesto en el  I Concurso de Experiencias de  la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas. En esa misma página nos encontramos con más información sobre el proyecto [pdf]

[Actualización 26 Abril]: Ulises Álvarez nos informa a través de este enlace de que Carlos ha obtenido también el premio nacional “Francisco Giner de los Ríos”. ¡Enhorabuena!

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La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

solucion-1

Solución 2:

solucion-2

 

Solución 3:

solucion-3

 

Solución 4:

solucion-4

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