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Archive for 28 abril 2009

Alberto Montt nos obsequió hace unos días con esta magnífica viñeta sobre las estadísticas:

estadistica-enganosa

Y ya, aprovechando, ¿puedes indicar si son ciertos los siguientes razonamientos sobre estadísticas? En este caso es Martin Gardner en su libro “¡Aja! Paradojas que hacen pensar” el que nos ha otorgado el regalito:

1) Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 150 km por hora. ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad?

2) Si las estadísticas mostrasen que la mortalidad por tuberculosis es mayor en Segovia que en las demás provincias, ¿significaría esto que el clima segoviano favorece el contagio por tuberculosis?

3) Un estudio psicopedagógico ha mostrado que los niños de pie grande saben leer mejor que los de pie pequeño. ¿Permitirá el tamaño del pie medir la capacidad de lectura de los niños?

4) Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren cerca de casa. ¿Significa esto que viajar por carretera, a muchos kilómetros de nuestra ciudad, es menos peligroso que callejear por nuestro barrio?

5) Un estudio demostró que en cierta región las tasas de fallecimiento por cáncer y de consumo de leche eran de las más altas del país. ¿Significa esto que beber leche puede ser causa de cáncer?

6) Otro estudio mostró que en cierta ciudad se produjo un súbito aumento de mortalidad por fallo cardíaco y un fuerte incremento en el consumo de cerveza. ¿Es posible que beber cerveza sea causa de que aumente la probabilidad de ataque al corazón?

7) Un estudio hizo ver que en cierta población europea se produjo simultáneamente un fuerte crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidos de cigüeñas. ¿No es esto demostración de que son las cigüeñas quienes traen a los niños al mundo?

8). Otro trabajo estadístico mostró que casi todos los grandes matemáticos fueron primeros hijos. ¿Significa esto que los niños nacidos los primeros reciben una dote de sensibilidad matemática mayor que sus hermanos posteriores?

Visto lo visto espero que de ahora en adelante estés un poco más atento/a a las estadísticas y sus engaños, sobre todo a los que aparecen en la publicidad y en los medios de, supuestamente, comunicación.

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Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):

[...]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.

Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.

Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):

La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.

Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.

Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.

Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. (más…)

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Hace poco en “Acertijos y mas cosas nos sorprendieron con un calendario para el mes de abril de 2009, pero no un calendario cualquiera, sino uno matemático. Eso me recordó los calendarios matemáticos que desde hace años se hacen desde la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “AL KHWARIZMIe indagué algo más por Internet, encontrando 3 tipos de calendarios matemáticos:

 

Calendarios “expresionantes”

 

Calendarios en los que el número del día viene dado a partir de la resolución de una expresión matemática, como es el caso del que nos presentan desde Acertijos y mas cosas“:

calendariomatematicoabril

 

Calendarios con fondo matemático

 

Calendarios en los que el fondo es una imagen que está relacionada con las matemáticas. Por ejemplo, como el hermoso calendario fractal que nos muestra Christiam Huertas en su blog.

2009-abril

 

2009-mayo

Para el resto de meses ver la entrada original.

 

Calendarios “problemáticos”

 

Éste es el tipo del que más ejemplos he encontrado. Como dije al principio, la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana hace años que los elaboran, con problemas adecuados al nivel de Secundaria e incluso con un concurso detrás. Actualmente Ediciones SM se encarga de su impresión y distribución. Para más detalles lee Diciembre matemático o este pdf

 

Abril 2009

Abril 2009

Mayo 2009

Mayo 2009

 

 

Para descargarte otros meses y años entra aquí.

 

Christiam Huertas, en la misma entrada de antes, nos presenta también calendarios de corte problemático; de álgebra y más generales. Por ejemplo:

febrero_algebraiconoviembre-2008

 

Pero aquí no termina todo. Parece ser que hay más calendarios matemáticos [pdf] navegando por la Red. A continuación se muestran los meses de abril y mayo. Éste tiene el aliciente de que cada mes viene acompañado por un tema de corte matemático (no lo muestro en las imágenes); por ejemplo, en abril nos hablan de las paradojas y en mayo de cómo enseñar el azar en la escuela.

abril_2009

mayo_2009

 

 

Y si lo que quieres es gastarte un poco de dinero, siempre puedes acercarte hasta googolmx.com y comprar un calendario matemático. También lo hay infantil.

 

Pues ya sabes… Si en tu vida no hay problemas, ahora puedes tener 2 ó 3 diarios. ¡Qué los disfrutes!

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El mundo de las demostraciones matemáticas es bastante engañoso. Muchas veces parecemos toparnos con una y, sin embargo, no es más que un espejismo. Entre las demostraciones, creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

En este post te muestro una “demostración” de que todo triángulo es isósceles y otra que intenta demostrar que si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo. Desde luego, como puede suponer el lector o la lectora, ambas son falacias, pero son falacias bastantes sutiles. Ambas provienen de uno de los libros de Martin Gardner, concretamente Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. ¿Dónde está el razonamiento erróneo en cada una de ellas?:

Teorema 1: Todo triángulo es isósceles.

falacia-geometrica-1

Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC, y desde D trazamos DE, perpendicular a BC. Tracemos la bisectriz del ángulo BAC.

1) Si la bisectriz no corta a DE, ambas rectas son paralelas. Por consiguiente, la bisectriz es perpendicular a BC. Por consiguiente, AB = AC, es decir, ABC es isósceles.

2) Si la bisectriz corta a DE, llamemos F al punto de intersección. Tracemos FB, FC y, desde F, las rectas FG, FH, perpendiculares a AC, AB.

Entonces los triángulos AFG, AFH son iguales, porque tienen el lado AF común, y los ángulos FAG, AGF repectivamente iguales a los ángulos FAH, AHF. Así pues, AH = AG, y FH = FG.

Como antes, los triángulos BDF, CDF son iguales, porque BD = DC, DF es común, y los ángulos de vértice D son iguales. Así pues , FB = FC.

Igualmente, los triángulos FHB, FGC son rectángulos. Por lo tanto, el cuadrado de FB es la suma de los cuadrados de FH y HB; y el cuadrado de FC = la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero FB = FC, y FH = FG. Por consiguiente, el cuadrado del lado HB = al cuadrado de GC. Así pues, HB = GC. Por otra parte, se ha demostrado ya que AH = AG. Así pues, AB = AC, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Por consiguiente, el triángulo ABC siempre es isósceles.

Teorema 2: Si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo

falacia-geometrica-2

En el cuadrilátero ABCD de la figura tracemos BX perpendicularmente a AD, y DY perpendicularmente a BC. Unimos B con D. Los triángulos ABX y CYD son congruentes y, por lo tanto, BX es igual a DY, y AX es igual a CY. Se sigue que los triángulos BXD y DYB son congruentes, y así pues, XD es igual que YB. Dado que AB es igual que CD y que AD es igual que BC, el cuadrilátero ABCD tiene que ser un paralelogramo.

[Actualización]: soluciones

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Leo en 3tris3tigres sobre el fantástico hobby del fotógrafo Michael Hughes. Éste se dedica a desplazarse a diferentes puntos de interés turístico del mundo y a suplantar en sus fotos esos puntos con los típicos souvenirs que venden en sus proximidades. En xeduced nos enteramos de cómo empezó esta afición:

Todo comenzó durante un viaje a Nueva York. Me encontraba tomando café frente a la Estatua de la Libertad cuando me di cuenta que la taza en mi mano llevaba impresa la efigie del monumento y de repente se me ocurrió la idea. Tiré el contenido y coloqué la taza frente a mi cara superponiendo la estatua ficticia con la real y entonces tomé la primera fotografía de estas características a la que luego siguieron muchas otras. Desde entonces se ha convertido en un hobby, algo que roza la obsesión hasta el punto que mis últimos viajes los he realizado exclusivamente para tomar fotografías de su lugar o monumento más famoso y característico reemplazado por un souvenir.

A continuación te dejo con algunas de estas bellezas, pero si quieres más siempre puedes acercarte hasta su galería de Souvenirs en Flickr, su página oficial, con más trabajos, o su blog, en el que nos habla de la historia detrás de cada foto.

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Torre de Pisa, Italia

Buddy Holly Memorial, Lubbock, Texas

Buddy Holly Memorial, Lubbock, Texas

Big Ben, Londres

Big Ben, Londres

Pero Flickr es un mundo lleno de sorpresas y no podemos dar de lado tampoco el trabajo de Jason Powell. Éste se dedica a suplantar fotografías antiguas en su sitio correspondiente en la actualidad. Os dejo algunas. Para el que quiera más sólo tiene que dirigirse hasta su galería Looking into the past.

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Si te ha gustado todo esto te recomiendo que te acerces hasta 3tris3tigres y leas (y veas) tanto el post como las entradas relacionadas, todas muy interesantes y sin desperdicio.

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Hace ya varios días que tanto en Edumate Perú como en En clase de MATEmaTICas se hicieron eco de los magníficos proyectos que Carlos Morales, profesor de matemáticas en el IES Valsequillo (Gran Canaria), lleva a cabo con sus alumnos. Las matemáticas que los estudiantes aprenden con Carlos tienen los dos pies en el suelo, los dos pies en nuestra realidad cotidiana. Sólo hace falta ver el siguiente vídeo en el que Carlos cede la palabra a alguno de sus alumnos para darse cuenta de que la cosa funciona y de que proyectos así se pueden hacer:

Esperanza Gesteira, la autora de En clase de MATEmaTICas, nos acerca algunos de esos proyectos:

  • Galileo: Matemática Aplicada a la Astronomía (Vídeo con la opinión de los alumnos)
  • Clepsidra: Agua, Matemáticas y Tiempo (¡Vídeo genial!Felicidades a los alumnos!). También una presentación.
  • Tunguska: ¿Meteoritos o Alienígenas?
  • CannonBasket: Cañones, Baloncesto y Matemáticas
  • F1: Matemática Aplicada a la Fórmula 1
  • Indiana Jones: Matemática Aplicada a la Arqueología
  • TopoGIC: Matemática Aplicada a la Ingeniería de Caminos
  • Virus: Matemática Aplicada a la Medicina…

Y también puedes entrever algo de algunos de ellos en la siguiente presentación:

Qué decir de todo esto… Pues que otra educación es posible y que, como muy bien nos recuerda Carlos:

Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer.

Johann W. Von Goethe

Mis más sinceras felicitaciones a Carlos. Esperemos que la educación siga su ejemplo.

Y hablando de ejemplos… No me gustaría terminar este post sin echar una mirada a la experiencia relacionada con la medida del radio de la Tierra que el pasado 26 de marzo llevaron a cabo varios cientos de institutos. Era una iniciativa para conmemorar que es el Año Internacional de la Astronomía. Da-beat y Eugenio Manuel fueron dos de los profesores que se atrevieron con ella. También mis sinceras felicitaciones.

[Actualización]: Alexis González nos deja un enlace en el que recordamos (se me había olvidado comentarlo) que el Proyecto Clépsida obtuvo el primer puesto en el  I Concurso de Experiencias de  la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas. En esa misma página nos encontramos con más información sobre el proyecto [pdf]

[Actualización 26 Abril]: Ulises Álvarez nos informa a través de este enlace de que Carlos ha obtenido también el premio nacional “Francisco Giner de los Ríos”. ¡Enhorabuena!

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La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

solucion-1

Solución 2:

solucion-2

 

Solución 3:

solucion-3

 

Solución 4:

solucion-4

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El Ser Humano se distingue en gran medida del resto de seres. Una de esas diferencias tiene que ver con su incansable búsqueda de algo superior a sí mismo, con algo más, con lo imposible, con lo improbable. Es esa búsqueda la que le ha permitido grandes proezas, como volar. Pero claro, como aquí, al igual que una moneda, todo tiene su cara y su cruz: es esa misma búsqueda, mal enfocada, la que le ha dado la llave de la destrucción en forma de bombas cada vez más ingeniosas y eficaces, por poner un ejemplo.

¿Qué tiene que ver todo esto con el post que nos ocupa? Tiene que ver porque una de esas búsquedas se ha dirigido al desconocido mundo de otras dimensiones. No es difícil por ejemplo oír hablar a un matemático de un espacio de dimensión 6 ó 7 o, de forma más general, de dimensión n. Ya se mencionaron en “Dimensions: las matemáticas en otra dimensión unos videos que nos acercan a este mundo matemático lleno de otras dimensiones.

Mas no nos vamos a ir tan lejos. Nos vamos a quedar con la tercera dimensión. No podemos negar que este espacio es el más conocido por las personas; quizá de ahí venga su intento de convertir un espacio de dos dimensiones en uno de tres, intento que todos hacemos al ver una fotografía, la televisión… Aunque los intentos a los que me refiero son mucho más vívidos. No nos vamos a detener en los maravillosos dibujos de Julian Beever y de Edgar Müller, por ejemplo (aquí y aquí algunas de sus contribuciones a la anamorfosis) más que nada porque el post de hoy (si logro alguna vez ir al grano) tiene que ver con los estereogramas.

ojo_magicoLos estereogramas se pusieron de moda (por lo menos fue cuando yo los conocí) allá por la década de los 90 con “El Ojo Mágico”, un libro lleno de imágenes aparentemente abstractas y sin ningún sentido al que le siguieron luego otros. Este libro prometía llevarte hasta una dimensión desconocida si tenías un poco de paciencia y seguías sus indicaciones (aunque lo parezca, nada de prácticas ocultistas ni brujería).

No es raro tampoco que los estereogramas hayan llegado a la publicidad. Por ejemplo, como nos dicen en 3tris3tigres, Nikon los aprovechó para acompañar al siguiente ingenioso eslogan: “Nikon D3, enfoca más rápido“, que puede que ahora no entiendas, pero que lo harás cuando logres adentrarte en este mundo de los estereogramas. Para empezar, intenta ver algo en la imagen del anuncio:

estereograma-nikon

Si no conoces esto de los estereogramas, lo más seguro es que no hayas visto nada salido de lo normal. No te voy a desvelar qué se “oculta” tras la imagen “cebrada” (aunque puedes suponértelo). Si eres paciente y sigues las indicaciones que a continuación muestro, lograrás ver dentro de la pantalla una imagen virtual en 3D, y no tendrás dudas de que eso era lo que había que ver. En principio podemos decir que para que se forme la imagen virtual hay que enfocar la vista o bien por delante (visión cruzada, bizqueando) o detrás (visión paralela) del plano de la imagen. Lo que se ve en ambos casos no es lo mismo. Haciendo una analogía con la dimensión dos y las fotografías podemos decir que una es el negativo de la otra. La dificultad reside en que estamos acostumbrados a enfocar las cosas de manera natural, por lo que nuestros ojos se resistirán a enfocarse en otro punto. Además quizá sea mejor probar primero en papel, porque la pantalla del ordenador cansa más. Veamos algunos consejos sacados de Animación 3D: (más…)

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El Tres en Raya es uno de los juegos de papel y lápiz más universales. Está en boca de todo el mundo con nombres como tic tac toe, trique, vieja, gato o ceros y cruces. Aunque tenga tantos nombres, la forma de jugarlo es siempre la misma.

La verdad es que llama la atención que un juego tan trivial, en el que con juego óptimo llegas al empate y en el que hasta los niños pequeños consiguen desvelar sus misterios más recónditos, sea tan conocido. A pesar de ello, también es cierto que aplicaciones más o menos ingeniosas del mismo sí que pueden ser interesantes, así como algunas variantes. Una de esas variantes es Placas. Placas es un juego rescatado por Sid Sackson en su libro “Un montón de juegos”… y digo rescatado porque ya se conocía en el siglo XVI. Eso sí, es un juego en el que requerirás algo más que un papel y un lápiz, pero no te llevará más de una hora construirte tu propio material. Veamos los pormenores de dicho juego.

Número de jugadores: de 2 a 4

Material:

material-placas

  • 12 “placas”. Las placas son rectángulos de cartón en los que la medida del largo es el triple que la medida del ancho, de manera que se pueden construir 3 cuadrados en él, cada uno de un color (blanco, azul y rojo), como se muestra en la figura. Habrá 4 placas de cada tipo (Hay tres tipos. Los tres que se ven en la ilustración).
  • 24 marcadores, que pueden ser fichas de algún otro juego o cuadrados de un tamaño más pequeño que los de las placas. Habrá cuatro series de seis marcadores cada una, identificadas con las letras A, B, C y D. Cada serie se compone de dos marcadores de cada color.

El juego para dos personas:

Disposición inicial: se reparten 6 placas a cada jugador y una de las series de marcadores. La serie A para un jugador y la serie B para el otro. Las placas se pondrán delante de los jugadores boca arriba.

Reglas:

Empieza un jugador colocando una de sus placas en el centro de la mesa y un marcador encima de uno de los cuadrados de la placa, teniendo en cuenta que tienen que ser del mismo color. A continuación su oponente puede colocar un marcador en la misma placa (aunque no encima del marcador de su compañero) o colocar otra placa junto a la original, uniéndola por el lado largo, y colocar un marcador en la nueva placa. El juego continúa de esta manera, turnándose.

Después de que se hayan situado los seis marcadores, el jugador mueve uno de los marcadores ya existentes a una placa antigua o a una recién colocada.

Cuando todas las placas estén colocadas, los jugadores se limitan a mover sus marcadores por encima de las placas ya presentes.

En resumen: los marcadores siempre deben colocarse en cuadrados del mismo color que el marcador; si un jugador coloca una placa nueva en ese mismo turno debe colocarle un marcador encima; las placas siempre se disponen tocándose por el lado largo.

¿Quién gana? El primer jugador en colocar tres de sus marcadores, rojo, blanco y azul (es decir, de distinto color, pero no necesariamente en este orden) en una línea recta continua. La línea puede estar situada sobre una única placa u ocupar tres placas, pero no puede ser diagonal.

Ejemplo de partida (extraído de Un montón de juegos):

A los lados de la figura se muestran las placas repartidas a cada jugador. En el centro se muestra la partida al completo, con la secuencia de juego indicada mediante números. Es mucho más fácil seguir el ejemplo si se usan los componentes del juego para reproducir el ejemplo paso a paso.

ejemplo-placas

  1. A inicia la partida colocando una placa con centro azul, ya que tiene tres, y poniendo un marcador azul en el cuadrado de ese color.
  2. B debe impedir que A coloque dos marcadores en fila vertical con ambos extremos abiertos, o la partida prácticamente terminará antes de empezar. La placa usada detiene a A en una dirección y colocar un marcador rojo ofrece a B una línea libre con la que trabajar. Sin embargo, al hacerlo ha usado su única placa con centro azul.
  3. A amenaza con completar una línea
  4. B responde a la amenaza de A usando de nuevo una placa para bloquear y colocar un marcador azul en una línea libre.
  5. A no coloca placa. En su lugar sitúa un marcador rojo que amenaza con completar línea y, al mismo tiempo, bloquea a B en una dirección.
  6. B debe defenderse de la amenaza
  7. A está prácticamente bloqueado. Es un intento de abrir un nuevo territorio
  8. B amenaza doblemente
  9. A sitúa su marcador en el cuadrado rojo, ya que B ya ha colocado sus dos marcadores azules
  10. B responde a la amenaza de A. También abre otra amenaza potencial que se manifestará tan pronto como todos los marcadores estén colocados y comience el movimiento a nuevas posiciones.
  11. A bloquea esa amenaza potencial usando una placa. Coloca su último marcador en el cuadrado azul.
  12. B coloca su último marcador en posición para amenazar otra vez. A ahora puede mover un marcador azul para detener la amenaza superior o un marcador blanco para detener la amenaza de abajo, pero no puede detener los dos. B gana.

Juego para más personas

Para tres jugadores se reparten a cada jugador sendas series de marcadores (A, B y C) y 4 placas a cada uno. Las reglas del juego son iguales.

Para cuatro jugadores se reparten a cada jugador sendas series de marcadores (A, B, C, D) y 3 placas a cada uno. A jugará en pareja con C, y B con D. Cada jugador emplea sus propios marcadores y placas y no puede jugar con los de su compañero. Un equipo gana cuando cualquiera de sus miembros completa una línea ganadora. Una línea ganadora no puede estar compuesta por una combinación de marcadores de la pareja. El resto de reglas igual que en el juego de dos.

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