Creo no equivocarme si afirmo que las fracciones son uno de los contenidos matemáticos que más dolores de cabeza levanta entre los estudiantes de Primaria y que luego se va arrastrando durante los cursos de Secundaria. Escolano y Gairín (2005) nos informan de que un estudio del INCE de 2002 concluye que “son casi 3 de cada 4 [alumnos de 6º de Primaria] los que tienen dificultad para comprender el concepto de fracción y operar con fracciones”.
Aquí, desde luego, no voy a resolver esos problemas, pero me gustaría mostrar el significado que se le puede dar a las operaciones con fracciones. Es seguro que el lector conoce, si no todos, la mayoría de ellos; mas me apetecía recordarlos. Para ello se va a hacer uso de la fracción como parte-todo, o de la conocida técnica de cortar y coger, a pesar de que estudios recientes (Escolano y Gairín, 2005) muestran de una manera razonada que las palabras de Henri Poincaré no son tan evidentes como parecen:
Sólo hay dos métodos para enseñar fracciones: cortar, aunque sea mentalmente, un pastel, o hacerlo con una manzana. Con otro método cualquiera de enseñanza, los escolares prefieren sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Ellos proponen el trabajo de las fracciones como medida, cociente y razón. Remito al lector al magnífico artículo que sobre este asunto han escrito, en el que se diferencian cada uno de estos significados de la fracción del de parte-todo, se justifica su introducción en las aulas y se muestra, de forma resumida, parte de una propuesta realizada en un colegio, con buenos resultados.
Vayamos ahora al meollo del post. Intentaremos ver, ayudándonos de explicaciones, por qué se realizan los pasos que se realizan a la hora de hallar fracciones equivalentes y sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de quebrados.
Fracciones equivalentes
Si un rectángulo lo divides en tres partes iguales y sombreas dos de ellas, la parte sombreada serán los 2/3 del rectángulo. Si no te has quedado a gusto con el resultado, siempre puedes dividir cada parte en dos partes iguales. Entonces, al final, tendrás el doble de partes. ¿Y cuántas has cogido en este caso? Pues también el doble, porque cada una de las partes sombreadas iniciales las has dividido en dos. Es decir, has cogido 4 partes de 6 iguales o, lo que es lo mismo, 4/6. Si ahora vuelves a hacer la misma disección de antes obtienes, al final, 8/12. En realidad, es fácil observar que esto se da en general, es decir, que si tenemos una fracción a/b, ésta es equivalente a ac/bc.
Sumas y restas de fracciones
Aunque a muchos escolares se les olvida, no se pueden sumar fracciones con distinto denominador. Esto se debe a que no hay forma de comparar unos trozos con otros si no hacemos una transformación. Por ejemplo, ¿cuánto es 2/5 + 1/4? Pero las fracciones equivalentes vienen a socorrernos. Siempre podemos dividir el rectángulo en 5 x 4 partes de igual área. En el primer rectángulo trazando 3 líneas horizontales y en el segundo creando 4. Estas partes, aunque no tengan la misma forma en ambos rectángulos, sí que tienen igual área (hecho que también les cuesta bastante a los estudiantes aceptar). Así, en el primer rectángulo obtenemos 8/20 y en el segundo 5/20, es decir, en total 13/20. En general lo que hacemos es hallar dos fracciones equivalentes con el mismo denominador. Así tenemos el rectángulo dividido en partes de igual tamaño. Luego es fácil saber cuántas partes tenemos en total sin más que sumar los numeradores de las fracciones equivalentes. El razonamiento es idéntico para la resta.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones se entiende mejor si al “por” le damos el significado de “de”, es decir, 1/5 x 1/4 quedaría como 1/5 de 1/4; aunque bueno, también se puede entender como 1/5 veces 1/4. Es decir, lo que hay que hacer en este caso es dividir el rectángulo en 4 partes iguales y coger una. Luego, esa parte que hemos cogido la dividimos en 5 partes iguales y escogemos de nuevo 1. Al final nos quedaría un rectángulo como el que se muestra en el dibujo. Queremos saber qué parte hemos cogido del rectángulo inicial. ¿Cómo saberlo?
Pues lo que hacemos es dividir también cada una de las otras partes que nos quedan en 5 trozos iguales, por lo que al final tenemos 5×4 trozos iguales. De esos trozos hemos cogido 1 solamente (de una sola parte de las 4 iniciales, hemos cogido un sólo trozo de los cinco en que queda dividido).
Imaginémonos ahora que queremos obtener, por ejemplo, 1/5 x 3/4. En este caso los pasos son los mismos hasta que llega el momento de escoger, en el que nos percatamos de que hemos sombreado 1×3 (de 3 partes de las 4 iniciales hemos cogido un sólo trozo en cada una de ellas). Razonar para 2/5 x 3/4, por ejemplo, es análogo. En general tenemos que para hallar el resultado de una multiplicación de fracciones multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.
División de fracciones
La división de un número entre otro se puede entender como cuántas veces cabe uno en el otro. Por ejemplo, dividir 2/3 entre 1/6 equivale a preguntarse cuántos 1/6 caben en 2/3. Otra vez, como en el caso de las sumas y restas, tenemos que hacer uso de las fracciones equivalentes para conseguir llegar a algún sitio (es fácil percatarse que caben, por ejemplo, 2 veces 2/5 en 4/5). Por ello, lo único que tenemos que hacer es hallar dos fracciones con el mismo denominador o, con los rectángulos, lo que hacemos para este ejemplo en concreto es dividirlos en 3×6 partes iguales, de tal manera que al final llegamos a la pregunta “cuántos 3/18 caben en 12/18”, es decir, cuántos lotes de 3 rectángulos caben en 12 rectángulos de la misma medida; cuya respuesta viene dada, evidentemente, por la división 12:3 = 4. Al final tenemos que 2/3 : 1/6 es igual a 4.
En general, para dividir a/b : c/d lo que hacemos es hallar dos fracciones equivalentes, ad/bd y cb/db. Así, lo que queremos saber es cuántos cd/bd caben en ad/bd, o lo que es lo mismo, cuántos cd caben en ad, es decir, al final la operación a realizar es ad : bc (de ahí que la división de fracciones se resuelva mediante productos cruzados).
Referencias:
ESCOLANO, R; GAIRÍN, J.M. (2005): Modelos de medida para la enseñanza del número racional en Educación Primaria [pdf, 227 Kb], Unión, nº 1, 17-35
POTTER, L. (2008): A jugar con las matemáticas. Ediciones Robinbook. Barcelona.
ME GUSTO MUCHO Y YA SE LOS QUEBRADOS SIN QUEBRARME LA CABEZA
encerio entonces explicame
tengo una pregunta me podeis decir un quebrado que se pueda acortar con los numeros 3 y 7
como puedo resolver el siguiente problema
5-{2/7+53[7-(-3/8-1/4)-2/5]+10/3}
comienza eliminando los paréntesis o corchetes de adentro hacia afuera:
(-3/8-1/4) = -5/8 quedando de la siguiente forma:
5-{2/7+53[7-(-5/8)-2/5]+10/3}
el siguiente paso es la multiplicación del signo que afecta al parentesis:
-(-5/8)= 5/8 y ahora nos queda la ecuación asi:
5-{2/7+53[7+5/8-2/5]+10/3}
ahora tendrás que resolver el quebrado que esta dentro de los corchetes, posteriormente multiplicaras 53 por el resultado que haya quedado dentro de los corchetes, solucionar el quebrado resultante dentro de las llaves, después multiplicaras el signo que afecta a las llaves y el resultado se lo sumaras o restaras al 5.
no le entendi ni papa yo quiero saber como se hace la suma de quebrados
mui facil
ESTO ESTA PERFECTAMENTE VIEN ESPLICADO ME AYUDO VASTANTE
En cuantas formas diferentes se puede dividir un cuadrado en cuatro partes iguales?
esta bien pero la operaciones de enteros y quebrados ???
eneserio me diverti mucho grasias por aserme reir
todo esta bien dicho sigan adelante con todo esto es de mucha ayuda mas claro ni el agua
hola me podran ayudar a resolver el siguiente quebrado
4/5mas2/3mas1/2
no encontre lo ke buscaba pero grasias
AYUDAAAAAAAA!
POR FAVOR VOY EN 5o.GRADO Y NO LE ENTIENDO MUY BIEN A LAS SUMAS Y RESTAS DE QUEBRADOS EN LOS CUADROS MAGICOS.
AGRADEZCO ME AYUDEN GRACIAS.
Pues quebrados no se pero lengua nos falta aun bastante jeje
AYUDAAAAA
necesito que alguien me ayude lo que se de los quebrados es solo restarlos ya ven que los quebrados traen suma de fracciones divisiones restas y multiplicaciones de ello solo seee restar asi que intente preguntarles a mis padres y no saben bueno siii pero no entiende mi forma de dividir y me dicennn «COMO NO VAS A SABER LOS DEMAS QUEBRADOS SI SABES RESTAR»
pus esta chida esta pagina porque asi c ven los ibujos representados por las fracciones bno creo que es todo gracias me sirvio de mucho .
bno pus que chido eh pero me gustasria que pusieran unpoqito + de ejemplos de las fracciones para as i y o e n t e n d e r l e + y bno pus b.b.b.a..a.a.y.y.y.y.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
no pues, yo entendi mas o menos algo pero, falta lo de los enteros, si me medio ayudo pero, la verdad sigo sin entenderles bien, podrian explicar con ejemplos un poquito mas elaborados?
alguien me puede ayudar a resolver esto?? por favor
3x(1+y)=9+z donde y=4, x =2
hola Ana, mira ps el resultado es 45z. y te prugutaras como llegue a el. ps mira; de antemano ya te estan dando el valor de (y) y de (x), solo tienes que sustituirlos y listo. seria algo asi.
3x(1+y)=9+Z
32+4=9+z
36=9+z
45z
solo toma encuenta que los parentecis indican multiplicasion espero y te lo hayan explicado sale bye……
Hola q tal Ana, mira el resultado es 45z, como resolverlo, ps mira.
3x(1+y)=9+z
32(1+y)=9+z
32+4=9+z
36=9+z
45z
Hay q recordar q el valor de (x) y (y), ya los tienes. ok
por favor ayudenme a realisar un cuadro magico de quebrados que de resultado me de 24
Maria gastò la cuarta parte del dinero que llevaba.Si le quedan 30 euros,¿con cuanto dinero saliò de casa?
ayuda porfavor
hola no son tan conplicados como parece solo hay q poner mucha atencion, por que son como las ?, capciosas nadamas q hay q tener rasonamiento ok….
pz la vdd no encontre lo we buskba pero bueno d todas formas grax
nO encOntre lO ke buscava perO de tOdas fOrmass graxx
solo tienes que sumar los lados.
estos quebrados tienes que estudiarlos bien para entenderlos
No l entendii nada
uuuuuuuuuuuu yo menos
Esta muy bueno y creativo ahora enseñarles a ms alumnos sera mas divertido