Pues vamos con ellos.
Soluciones de Falacias geométricas:
1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.
2) Mira el contraejemplo de la figura:
Soluciones de Problemas de áreas sombreadas
1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:
2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución. Una es un poco tramposa y consiste en percatarse de que si con el dato de una cuerda tangente a la circunferencia interior podemos llegar a la respuesta, entonces cualquier corona circular en la que la cuerda siga midiendo 100 metros tendrá la misma área. Desde aquí sólo tenemos que irnos a un caso extremo: aquel en el que la circunferencia interior tiene de radio 0. En este caso la cuerda se convierte en el diámetro de un círculo cuya área es la que buscamos. Como el área de un círculo es 
Para la otra necesitamos trazar algunas líneas y hacer uso del Teorema de Pitágoras:
En el dibujo hemos llamado 
3) Aquí lo más difícil es calcular el área del triángulo. Un dibujo, nuevamente, puede aclarar un poco la situación:
Hemos dividido el triángulo grande en 6 triángulos rectángulos de los que conocemos la medida de uno de sus catetos, 2 cm (en cada triángulo uno de esos catetos coincide con el radio de la circunferencia inscrita). Llamemos a los otros catetos 
4) La solución es 10, como nos dicen en los comentarios de “Acertijos y más cosas”
5) Solución citada textualmente de aquí:
El segmento MS es la diagonal de un rectángulo, por lo cual los 2 triángulos que lo tienen como lado son de la misma área. Lo mismo pasa con MQ y con QS, lo cual implica que las áreas de los rectángulos grises siempre son iguales.
6) Solución en Problemas Matemáticos
Solución de Problema de las siete naves:
Hay por lo menos tres vías para llegar a la solución. Agradezco tanto a Sebastián como a Claudio su participación y sus respuestas acertadas. Una de esas maneras de llegar a la solución la da Claudio en comentarios. Veamos ahora otras dos. Para la primera necesitamos un dibujo… y casi que dejo al lector que se las apañe para deducir por qué la gráfica nos da la solución sin más que contar los puntos de cruce de, por ejemplo, el segmento que parte del punto 9 desde Le Havre, con el resto de segmentos.
El último camino consiste en darse cuenta de que para resolver el problema sólo tenemos que conocer el primer y el último barcos con los que se encuentra nuestro navío. Si conocemos estos datos, con contar los barcos que salen desde Nueva York los días intermedios, llegaremos al resultado. ¿Cuál es el primer barco con el que nos encontramos? Pues el barco que llega de Nueva York nada más zarpar, es decir, el barco que partió de Nueva York hace 7 días. ¿Cuál es el último barco con el que nos encontramos? El que va a salir de Nueva York en el momento de nuestra llegada, es decir, 7 días después de nuestra partida. Pongamos, para facilitar las cosas, que llamamos 0 al día en el que parte ese primer barco de Nueva York; entonces nosotros partimos el día 7 y llegamos a Nueva York el día 14. Por lo tanto nos encontramos con todos los barcos desde el día 0 hasta el día 14, ambos incluídos, lo que nos da un resultado final de 15 embarcaciones con las que nos cruzamos.
Excelente material.