La media aritmética es uno de los conceptos matemáticos que más conocen/conocemos los estudiantes, aunque nada más sea por su implicación a la hora de obtener una nota final cuando se quieren tener en cuenta varias notas “menores” (en este caso nos atendremos sólo a dos de esas notas). Quizás no sea tan conocido el hecho ventajoso que supone que nos apliquen esta media y no la media geométrica, resultante de multiplicar esas dos notas y luego hallar la raíz cuadrada. Menos conocida aún (apostaría algo), a pesar de que resulta más ventajosa para el estudiante, es la media cuadrática, que consiste en sumar los cuadrados de las notas, dividir el resultado por dos y finalmente hallar la raíz cuadrada. Pues la demostración de que la media geométrica de dos números es siempre menor o igual que la media aritmética, que a su vez es siempre menor o igual que la media cuadrática, admite una versión visual muy bonita que es recogida en el nuevo número (¡por fin!) de La Hoja Volante; el nº 17 [pdf].
Por si no ha quedado claro, lo que queremos demostrar es que dados dos números a y b:
Bien, ahora la demostración:
Por cierto, quizás no sepas de dónde salen la media geométrica y la media cuadrática. Eso es porque te has olvidado del Teorema de Pitágoras y del Teorema de la Altura… ¿Cuándo se igualan las medias?
La media artimetica yo recuerdo que la utilizan en los examenes para la nota final.