A continuación 3 problemas que aparentemente no tienen nada en común… aunque quién sabe. ¿Te atreves a resolverlos? Si lo haces tal vez descubras que son sangre de la misma sangre. ¡A por ellos!
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En una pizarra se escriben los números naturales desde el 1 hasta el 2n, siendo n un número impar. A continuación se escogen dos de esos números, se borran y en su lugar se escribe el resultado de restar al mayor el menor. Se continúa realizando el mismo proceso hasta que queda un único número en la pizarra. Probar que este número es impar.
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Ana y Beatriz, junto con otras 2009 personas, forman un corro, de tal manera que Ana y Beatriz no están al lado una de la otra. Ana y Beatriz juegan a tocar a una de las personas que tienen a su lado, la cuál tendrá que salir del círculo. Esto lo hacen de forma alternada, empezando Ana. Gana la persona que logre sacar del círculo a su oponente. ¿Hay alguna estrategía ganadora para alguna de las dos? Si es así, ¿para quién?
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Tenemos un cuadriculado de 8×8 y queremos saber si quedará infectado totalmente comenzando con menos de 8 cuadraditos infectados. Cuando un cuadradito queda infectado queda pintado de negro y se infecta si y sólo si hay dos cuadraditos adyacentes infectados, entendiendo por adyacentes el de arriba, abajo, izquierda y derecha, pero no los que le tocan en un vértice. Un ejemplo en el que quedaría totalmente infectado es el siguiente, pero se han utilizado 8 cuadraditos infectados:
Disposición inicial
Paso 1
Encuentra algún ejemplo comenzando con 7 cuadraditos infectados o demuestra que es imposible.
Como siempre, dentro de un mes pondré las soluciones junto con las fuentes de las que estos problemas proceden.
En un primer vistazo a los problemas, solo encuentro solución para el segundo problema. Tengo que pensar más el primero y el tercero a ver si se me ocurre algo.
Mi respuesta al segundo problema es que si que hay una estrategia ganadora favorable a Ana. Simplemente tiene que elegir una persona del lado en el que haya más. Al ser un número impar siempre puede seguir esta estrategia, mientras que si Beatriz intenta lo mismo en algún momento se encontrará con el mismo número de gente en ambos lados, y a partir de entonces tendrá siempre el mismo número de gente en ambos lados hasta llegar a tener solo una persona a cada lado. Al tener que retirar a una de esas personas, Ana la retirará a ella.
Hola, email Galicia.
Me encanta que aparezcan varias soluciones de un mismo problema (siempre hay más de una). ¡Eso es lo que ha ocurrido en este caso!
La solución que yo tenía en mente para el segundo problema es algo diferente a la que tú das, pero ambas son válidas.
Sería genial que pasara lo mismo con los otros dos problemas. A ver si tú u otra persona se anima. (Creo que el tercero es más difícil, así que te recomiendo que empieces por el primero).
Saludos
Creo que tengo una solución para el primer problema. Sería algo así: en primer lugar clasificamos los números en pares (P) e impares (I). Realmente no me importa nada más que el número de P e I que haya, pues al restar dos números de igual paridad nos quedaremos con un P y si son de distinta paridad nos quedaremos con un I. El segundo paso es analizar las distintas posibilidades. Si elijo dos números P la resta será P, por lo que disminuirá en 1 la cantidad de P. Si elijo un P y un I la resta será I por lo que de nuevo disminuirá en 1 la cantidad de P. Por último, si elijo dos I la resta será P por lo que disminuirá en 2 el número de I aumentando los P en uno. Dado que al principio había una cantidad impar de números I al ser n impar, y solo pueden disminuir de 2 en 2, puedo llegar a tener sólo un número I, pero este quedará hasta el final, será el último número que me quede. Con lo que queda probado.
¡Así es! ¿Te animas con el tercero? Creo que es el más difícil, pero me encanta su solución.
Saludos.