Creo que ya había quedado claro que la centena cuadriculada guarda muchas sorpresas y que puede ser un recurso mucho más útil de lo que parece a simple vista. Algunas personas (Eva M., da-beat y Frank) se animaron también a plasmar algún otro uso que se le puede dar a dicho recurso en comentarios, lo que les agradezco enormemente.
En este post, por si acaso al lector le quedan todavía dudas de la utilidad de dicho recurso, voy a mostrar (y demostrar) algunas de las conjeturas que sobre la centena cuadriculada aparecen en el artículo que ya mencioné en su momento: ““Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. Además, tampoco puedo olvidarme de las conjeturas que da-beat y Frank me dejaron en comentarios, y también completaré el post con algunas conjeturas propias. Para que queden más claras las conjeturas diré que aij indica el elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j.
Conjetura 1 (de Frank):
“En tres números consecutivos en la cuadrícula, el del medio es el promedio de los extremos. Para el caso de una triada horizontal, vertical o en diagonal.”
Conjetura 2 (de da-beat):
“Todas las parejas de números que tienen como centro de simetría el número n suman 2n.”
Podemos observar que la conjetura de da-beat generaliza la de Frank. Vamos ahora con algunas de las conjeturas del artículo:
Conjetura 3 (de Maiyelines):
“La suma de los elementos de cualquiera de las filas es un múltiplo de 5”.
Conjetura 4 (de Eneida):
Dada una centena cuadriculada; si se considera un triángulo isósceles cuyos vértices sean aij, a(i+3)(j+3), a(i+3)(j-3); entonces el centro del triángulo, a(i+2)j, viene dado por la trisección de la suma de sus vértices. Ver Figura 1.
Conjetura 5 (de Efraín):
Los elementos situados en las diagonales ascendentes de una centena cuadriculada constituyen los términos de una progresión aritmética de razón -9.
Voy a permitirme introducir aquí una de mis conjeturas, ya que tiene también que ver con las diagonales ascendentes.
Conjetura 6 (de Sara F.):
La suma de los elementos de una diagonal ascendente que comienza en la primera columna viene dada por la fórmula Dn = n(11n-9)/2; donde n se refiere al valor de la fila desde la que comienza la diagonal. Por ejemplo, la diagonal ascendente formada por los términos 21, 12 y 3 comienza en la tercera fila (en el término 21). Por lo tanto su suma será: 3(11*3-9)/2 = 36, que como se puede comprobar fácilmente, coincide con la suma hecha directamente: 21+12+3. La diagonal ascendente 98, 89, 80, sin embargo, no cumple la fórmula, porque su primer elemento no está situado en la primera columna, si no en la octava. Ver Figura 2.
Conjetura 7 (de Efraín):
Se denomina “cuadrado principal” a todo “cuadrado” de lado n, con n un número natural entre 3 y 10, ambos incluidos. Se denomina “cuadrado encajado” dentro de un cuadrado principal de lado n a todo cuadrado de lado m = n-2.
En una centena cuadriculada, la semisuma de los “vértices” de un cuadrado principal de lado n = 4, es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal de su cuadrado encajado. Ver Figura 3.
Conjetura 8 (de José):
La suma de los vértices de todo “Cuadrado Simétrico con respecto a los lados de la Centena Cuadriculada” es constantemente igual a 202. Ver la Figura 4, en la que aparecen varios Cuadrados Simétricos.
Conjetura 9 (de Sara F.):
La suma de todos los elementos de un Cuadrado Centrado (llamo Cuadrado Centrado a lo mismo que José llama Cuadrado Simétrico) es igual a 202*(n-1), donde n se refiere al número de elementos que componen el lado del cuadrado.
Conjetura 10 (de Sara F.):
Llamamos Rectángulo Inclinado a aquel que tiene cada uno de sus vértices en uno de los lados de la Centena, es decir, aquel que tiene uno de sus vértices en la fila 1, otro en la fila 10, otro en la columna 1 y el último en la columna 10. La suma de todos los elementos que componen un Rectángulo Inclinado es constantemente igual a 909.
Pues bien, aunque seguramente haya muchas más conjeturas, creo que con éstas ya se suficiente. Te invito a buscar otras. Ahora voy a demostrar sólo una de ellas para no hacer esto demasiado largo y tedioso. El lector interesado puede demostrar el resto y mostrar el proceso seguido en comentarios. Pues vamos a convertir la conjetura número 7 en un teorema. Pero antes me gustaría introducir una idea que va a servir para demostrar, sino todas, la mayoría de estas conjeturas:
aij = (i-1)10 + j, para todo i, j pertenecientes a los números naturales del 1 al 10, ambos incluidos.
Creo que al lector no le resultará difícil darse cuenta de la validez de dicha propiedad. Ahora ya podemos comenzar con la demostración:
Sean a y b dos elementos consecutivos cualesquiera de una Centena Cuadriculada situados en una de las diagonales ascendentes. Queremos demostrar que su diferencia (b-a) es constantemente igual a -9. Si a y b son dos elementos cualesquiera de una centena cuadriculada situados consecutivamente en una de las diagonales ascendentes; entonces podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad, que: a = aij y b = a(i-1)(j+1). Por lo tanto:
(b – a) = [(i-1-1)10 + (j+1)] – [(i-1)10 + j] = -9, como queríamos demostrar.
Pues creo que por hoy ya es suficiente, ¿no? Espero nuevas conjeturas y demostraciones, pero eso ya queda en tu mano.
Hola,
He leído con interés y perplejidad el artículo de la centena cuadriculada.
El interés por el recurso es obvio pero la perplejidad que me causa quizá no lo sea tanto. Lo que me sorprende de este artículo es que no soy capaz de imaginar a qué alumnos va dirigido así como tampoco veo la posibilidad de que las habilidades algebráicas que se pueden suponer a los alumnos del currículum actual den para tanto.
Así pues, ¿alguien puede decirme a qué curso podrían presentárseles las conjeturas de la centena cuadriculada?
Jordi.
Hola, Jordi.
Voy a darte mi opinión, pero ten en cuenta que yo aún no soy profesora y entiendo que puedo estar muy alejada de lo que se “cuece” en realidad en las aulas. Por eso agradecería si algún profesor se animara a dar su punto de vista.
Como ya apunté en el otro artículo relacionado, la centena cuadriculada se podría trabajar a cualquier edad. Todo depende de lo que se haga con ella. Frank la usó, por ejemplo, para trabajar los múltiplos en 5º de Primaria. Escribió un comentario muy interesante sobre ello en el otro artículo.
En cuanto a las conjeturas y demostraciones… Bueno, lo primero que quiero aclarar es que desde mi punto de vista tiene mucho más valor dejarles a ellos trabajar con la cuadrícula y que encuentren sus conjeturas que presentarles nuestras conjeturas… No era esa mi intención con este post. Lo único que prentendía era mostrar la gran cantidad de patrones y regularidades que se podían encontrar en este recurso (y eso que lo que se ha mostrado es sólo la punta del iceberg). Desde luego, puede que estas conjeturas sean un poco avanzadas para los primeros cursos de Secundaria (aunque yo creo que son perfectamente comprensibles en Bachiller y últimos cursos de la ESO, por lo menos siempre que se hayan introducido las progresiones), pero de lo que se trata, como ya he dicho, es de que ellos busquen sus propias conjeturas y, si es posible, las demuestren. En ese sentido, no tienen que ser conjeturas tan elaboradas. Ellos crearán las conjeturas propias de su nivel.
Saludos.