Ya decíamos que El País había puesto en marcha un concurso con sabor a Matemáticas, en el que cada semana (el viernes) se propondría un problema y entre los que llegaran a una solución correcta (las soluciones se pueden enviar a problemamatematicas@elpais.es hasta las oo.oo horas del martes) se sortearía una colección completa de libros de matemáticas.
El problema propuesto esta semana, por Fernando Blasco, es el siguiente (se puede ver el vídeo entrando en la página):
Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas. Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?
¡Suerte a todos!
1-0-0
Hola.
Le estoy dando vueltas y no logro ver donde esta la trampa. ¿Si no se acota el numero de movimientos, la solucion no es obvia?
Hombre, no lo sé… A mí no me lo ha parecido (he llegado a una solución, que no sé si estará bien, después de darle bastantes vueltas, aunque también es cierto que la probabilidad no es lo mío), pero puede ser que haya una solución obvia y yo no haya caído en ella. También es cierto que con la probabilidad hay que tener mucho cuidado y que la intuición no suele ser muy buena consejera en estos casos… Yo lo que entiendo es que la hormiga se va a desplazar de vértice a vértice hasta que muera o bien, si no lo hace, indefinidamente. Las tres opciones posibles, por lo tanto, son que muera en el vértice 7, que muera en el vértice 8 o que no muera nunca (es decir, con averiguar dos de ellas ya sabremos la tercera). Entonces hay que mirar la probabilidad de que muera en el vértice 7 en el primer paso, la probabilidad de que lo haga en el 2º paso, la probabilidad de que lo haga en el 3º paso…, la probabilidad de que lo haga en el n-ésimo paso, etc… y luego sumar esas probabilidades para obtener la probabilidad final de que muera en el vértice 7. Lo mismo con el vértice 8… ¿Hay otra forma más rápida de llegar a la solución? Pues seguramente, pero yo no veo otra forma más “obvia”, a no ser que se pueda deducir algo por simetría, pero, la verdad, yo he preferido hacerlo por el camino más largo porque como ya dije, hay que tener cuidado con las “obviedades”, y más en probabilidad.
vivir: 7/9. A partir del paso 2 (que en el primer paso morir es imposible)
morir en 7: 2/9 (pasos pares)
morir en 8: 2/9 (pasos impares)
morir en 7: 0 (pasos impares)
morir en 8: 0 (pasos pares).
Eso es lo que hay ya que se forman dos grupos de tres vértices posibles en cada paso.
La solución no es obvia, no sé por qué pensáis eso.
Y no hace falta calcular explícitamente la probabilidad de morir en cada paso, saldría un churro enorme.
Razón tienes. Yo lo hice así (calculando la probabilidad en cada paso) y no me pareció tan difícil… pero eso fue porque me faltó un “pequeño” detalle. Al final me dio 0, 2/5, 3/5, que no está tan alejada de la verdadera solución (o la que creo ahora que es la solución) pero, claro, por cerca que esté no es la solución.
Decididamente la probabilidad no es lo mío
.
Yo lo decía porque creo que si calculas exactmente las probabilidades de morir en n pasos te van a salir unos churros con sumas de raíces no enteras elevadas a n. No lo he calculado explícitamente así que podría estar equivocado, pero eso es lo que me parece que saldría a simple vista.
La soluciones son: 0;3/7;4/7
En efecto
La primera creo que es obvia; Para las otras dos, he utilizado cadenas de Markov, pero me imagino que habra un metodo mas facil, tal y como lo habia en el primer problema.
¡A ver si me toca!
En efecto
La primera creo que es obvia; Para las otras dos, he utilizado cadenas de Markov, pero me imagino que habra un metodo mas facil, tal y como lo habia en el primer problema.
¡A ver si me toca!
Asi es.
La primera pregunta creo que es obvia; Para las otras dos, he utilizado cadenas de Markov, pero me imagino que habra un metodo mas facil, tal y como lo habia en el primer problema.
¡A ver si me toca!
La probabilidad de morir en 8 es mayor que en 7, eso está claro. ¿Cuánto mayor? Pues 1/3, que es la probabilidad de pasarse de la “cara del 8″ a la “cara del 7″. Así que, si x es la probabilidad de morir en 7, la probabilidad de morir en 8 es x + x/3
x + (x + x/3) = 1, y por lo tanto, x=3/7 y la otra, 4/7
2/8, 3/12 y 3/12
0 ; 11/15; 4/15
por la “cuenta de la vieja”
Pero ¿como puede no morir nunca si sigue andando?
Tiene que morir necesariamente
Solución:
http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/una-hormiga-amenazada.html
El problema de este juego es que los movimientos no están acotados y que puede volver al mismo vértice.
Si por ejemplo la hormiga decide volver todo el rato del vértice 1 al vértice 2, nunca moriría. Yo la verdad es que la solución no la veo obvia.
Por lo tanto la probabilidad de no morir es infinita es decir 100. Y la probabilidad de morir tanto en el punto 7 y en el punto 8 tiene que ser un número cercano a 0. (Pero tiene que ser representado con numeros n-esimos, no con números enteros).
Morir tie’ que morir, pues si sus movimientos son infinitos, cualquier probabilidad (número menor que 1) elevado a infinito vale cero, luego no hay posibilidad de que se salve. Ahora la cuestión es ver cual es la probabilidad de que muera en uno u otro vértice. Habrá que strujarse un poco el cerebro, que para algo lo tenemos. En principio se me ocurre: 1/2 y 1/2, pero hay que deducir el porque.
Suerte.
La solución que obtengo yo es:
0 para la probabilidad de que no muera.
0,4375 probabilidad de que muera en el vertice 7.
0,5625 probabilidad de que muera en el vertice 8.
A alguien le da lo mismo?
Mmmm… 3/7=0.4375…
4/7=0.5625…
Que es lo que hemos dicho arriba.
Para ser Euler no te salen muy bien los cálculos, podrías comprobar esas igualdades (falsas) antes de decir que son lo mismo…
0, 6/7, 1/7
Gracias.
Cierto, es que como he visto 0.4 y 0.5 he pensado automaticamente que eran 0.4285 y 0.571428, respectivamente. Por lo tanto, revisa tu tambien los calculos, Jose A.
solución al 3er problema:
5 225 3
9 15 25
75 1 45
explicación por si hace falta……, no obstante esto lo ha estudiado mi hijo de primaria, por lo que parece que han bajado el nivel bastante. Se construye así:
a a2·b2 b
b2 a·b a2
a2·b 1 a·b2
Bueno como yo entiendo el problema, la probabilidad de que la hormiguita la guiñe, es que esta esté en los vertices, 5,6,4 o 3 (como se muestran en la figura del video), multiplicado por 1/3, que es la probabilidad de que estando en esos vertices, accedan a los vertices 7 u 8 que es la casilla muerte.
El problema es saber cual es la probabilidad de que la hormiguilla acceda a esos vertices.
Los designaré como P(5)1, P(N)n, a la probabilidad de que la hormiguilla esté en la posición (vertice) N en el número de movimiento n.
Obviamente para los primeros movimientos conocemos las probabilidades. Si parte del N=1 y n=1 Tendremos:
P(1)1=0
P(2)1=1/3
P(3)1=1/3
P(4)1=0
P(5)1=1/3
P(6)1=0
Bien,resumiendo (que no voy a poner toda la relación de recurrencia) cuando se realizan n movientos las probabilidades serán:
P(1)n=1/3(P(2)n-1+P(3)n-1+P(5)n-1)
P(2)n=1/3(P(1)n-1+P(4)n-1+P(6)n-1)
P(3)n=1/3(P(1)n-1+P(4)n-1)
P(4)n=1/3(P(2)n-1+P(3)n-1)
P(5)n=1/3(P(1)n-1+P(6)n-1)
P(6)=1/3(P(3)n-1+P(2)n-1)
De esta manera temos una relación de recurrencia, de estar en cierta posicion ( excepto las de 7 y 8) con el numero de movimientos que hace la hormiguita (viva).
Bueno si encontramos la relacion de recurrencia obtenemos que la probabilidad de no sobrevivir ser:
P(Muerte)=0,2957*Exp[-2175*n]
Bueno esta era la solución en forma de aproximación ya que no encuentro la forma en forma de sumatorio, además de que está mal escrita realmente la aproximación sería:
Pmuerte(n)=0,2957*Exp(-0,2175*n) con n numero natural >1.
La aproximación la hago al ajustarla a una exponencial, con un R2>>0,99, en los primeros dos valores el resultado es mas bien malo, con un error del 13% y el 5%. Despues el error se comporta y decrece menos del 1%.
Si alguien ha logrado obtener la relación de recurrencia que lo postee que no logro sacarla!
Hola
Creo que la probabilidad de que no muera nunca es de 9/4
y de que muera al tocar el punto 7 u 8 ess de 3/4
Sólo una anotación. 9/4 es mayor que 1 y una probabilidad nunca es mayor que 1. Más o menos vienes a decir que de cada 4 veces que la hormiga echa a andar, 9 veces no muere. Como ves es algo imposible.