Feeds:
Entradas
Comentarios

Archive for the ‘Geometría’ Category

Ayer en Gaussianos (creo que el blog no necesita presentación) propusieron un problema de área sombreada. El problema pide averiguar qué fracción del área del paralelogramo está sombreada (sí, no hace falta que te dejes los ojos: los hexágonos blancos son regulares).

area-sombreada-1

Ese problema me hizo recordar otro que aparece en el libro “¡Ajá!, Inspiración”, de Martin Gardner, y que a mí personalmente me gusta mucho. Primero un dibujo:

area-sombreada-2El problema consiste en averiguar el área de la corona circular. Para ello se da únicamente la longitud de la cuerda tangente al círculo interior (100 m). No hace falta matemáticas avanzadas ni fórmulas extrañas, aunque sí un alto grado de inspiración. Hay por lo menos dos formas de llegar al resultado (una más tramposa que la otra)

Y bueno, ya que estamos con áreas sombreadas y todo eso, ¿por qué no poner algunos problemas más?

3) En la siguiente página de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) se nos pide calcular el área de la zona sombreada sabiendo que el perímetro del triángulo es de 31 cm y tanto el radio de la circunferencia inscrita como los radios de los arcos de circunferencia miden 2 cm.

area-sombreada-3

4) Éste está sacado de una página de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y se nos pide calcular la proporción que guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS si M es un punto cualquiera de la diagonal.

area-sombreada-4

5) Hace tiempo en Acertijos y más cosas nos propusieron hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, ¿serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla?

area-sombreada-5

6) Y este último llega desde Problemas Matemáticos. Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

area-sombreada-6

Creo que por hoy ya es bastante. Si quieres más siempre puedes buscar en Internet. Seguro que te asombras de las figuras con sombras que encuentras.

[Actualización]: soluciones

Read Full Post »

El mundo de las demostraciones matemáticas es bastante engañoso. Muchas veces parecemos toparnos con una y, sin embargo, no es más que un espejismo. Entre las demostraciones, creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

En este post te muestro una “demostración” de que todo triángulo es isósceles y otra que intenta demostrar que si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo. Desde luego, como puede suponer el lector o la lectora, ambas son falacias, pero son falacias bastantes sutiles. Ambas provienen de uno de los libros de Martin Gardner, concretamente Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. ¿Dónde está el razonamiento erróneo en cada una de ellas?:

Teorema 1: Todo triángulo es isósceles.

falacia-geometrica-1

Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC, y desde D trazamos DE, perpendicular a BC. Tracemos la bisectriz del ángulo BAC.

1) Si la bisectriz no corta a DE, ambas rectas son paralelas. Por consiguiente, la bisectriz es perpendicular a BC. Por consiguiente, AB = AC, es decir, ABC es isósceles.

2) Si la bisectriz corta a DE, llamemos F al punto de intersección. Tracemos FB, FC y, desde F, las rectas FG, FH, perpendiculares a AC, AB.

Entonces los triángulos AFG, AFH son iguales, porque tienen el lado AF común, y los ángulos FAG, AGF repectivamente iguales a los ángulos FAH, AHF. Así pues, AH = AG, y FH = FG.

Como antes, los triángulos BDF, CDF son iguales, porque BD = DC, DF es común, y los ángulos de vértice D son iguales. Así pues , FB = FC.

Igualmente, los triángulos FHB, FGC son rectángulos. Por lo tanto, el cuadrado de FB es la suma de los cuadrados de FH y HB; y el cuadrado de FC = la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero FB = FC, y FH = FG. Por consiguiente, el cuadrado del lado HB = al cuadrado de GC. Así pues, HB = GC. Por otra parte, se ha demostrado ya que AH = AG. Así pues, AB = AC, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Por consiguiente, el triángulo ABC siempre es isósceles.

Teorema 2: Si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo

falacia-geometrica-2

En el cuadrilátero ABCD de la figura tracemos BX perpendicularmente a AD, y DY perpendicularmente a BC. Unimos B con D. Los triángulos ABX y CYD son congruentes y, por lo tanto, BX es igual a DY, y AX es igual a CY. Se sigue que los triángulos BXD y DYB son congruentes, y así pues, XD es igual que YB. Dado que AB es igual que CD y que AD es igual que BC, el cuadrilátero ABCD tiene que ser un paralelogramo.

[Actualización]: soluciones

Read Full Post »

La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

solucion-1

Solución 2:

solucion-2

 

Solución 3:

solucion-3

 

Solución 4:

solucion-4

Read Full Post »

Bueno, como había quedado en el anterior post, aquí dejo algunos de los rasgos que caracterizarían, a mi entender, el rostro del aprendizaje por descubrimiento a través de un software geométrico como es Regla y Compás. Para mí, la característica fundamental de este tipo de aplicaciones es que permiten la interactividad, permiten trasladar las figuras o deformarlas, conservando algunas de sus características. Esto me parece ideal, por ejemplo, para que los estudiantes descubran ciertas propiedades sin tener que construir muchas figuras (triángulos, por ejemplo): si tiramos de un vértice (con el botón secundario del ratón) obtendremos otras figuras (triángulo, en este caso) en las que podremos comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo o no… Pero, desde luego, hay muchas más posibilidades.

 

Eso es lo que he intentado reflejar en las actividades que a continuación presento, aunque no todas disfrutan de las ventajas de Regla y Compás, como las tareas 3 y 5, pero de todas formas las he puesto porque también se basan en el descubrimiento.

 

1) Construir tres segmentos y trasladarlos para formar un triángulo. ¿Siempre es posible?, ¿por qué? (Esta actividad nos fue propuesta por Chiti durante una de las clases de TEM).

2) Construir un triángulo cualquiera y mover uno de sus vértices: comprobar que en todos los triángulos la suma de los ángulos es de 180º. ¿Qué ocurre con los cuadriláteros?

 

3) Construir todos los triángulos diferentes que se puedan con 3 lados dados. Construir cuadriláteros con 4 segmentos. ¿Qué ocurre en uno y en otro caso? Con esto se pretende que los alumnos se fijen en que un triángulo queda determinado por sus lados, pero no así un cuadrilátero. Esta actividad sería más interesante si los triángulos se pudieran girar, pero creo que C.a.R. no lo permite, al menos de una manera fácil: así se podrían superponer los triángulos y comprobar que son congruentes. Es más rollo, pero de todas formas siempre pueden medir los ángulos y comprobar que los lados se “conectan” siguiendo el mismo orden. Estaría bien dejarles la libertad suficiente para que sean ellos (los estudiantes) los que descubran esta “característica” de los triángulos.

4) Construir un polígono y todas sus diagonales. Ahora mover el polígono para formar otros cóncavos y convexos. ¿Se nota alguna diferencia en las diagonales en ambos casos? Con esto se pretende que los alumnos lleguen a la conclusión de que en los convexos todas las diagonales van “por dentro” y en los cóncavos no todas “van por dentro” (que es otra manera de definir los polígonos cóncavos y convexos que no tiene nada que ver con la medida de los ángulos).

 

5) Construir un segmento AB y su mediatriz. Escoger un punto de la mediatriz (X) y trazar dos segmentos que vayan desde ese punto a cada uno de los extremos (XA y XB). Medir ambos segmentos. ¿Tienen la misma medida? Escoger otros puntos de la mediatriz. ¿Ocurre lo mismo? Intentar ver la razón. En cuanto a esta actividad, creo que normalmente se define una mediatriz como la perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, pero pocas veces como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Me parece importante que los alumnos conozcan (y mejor que descubran) dicha característica.

6) Trazar las mediatrices de los lados de un triángulo. ¿Se cortan las tres en el mismo punto? Repetir la experiencia con otros triángulos (o más fácil: mover los vértices del triángulo y comprobar lo que sucede). ¿El punto de corte queda siempre dentro del triángulo? Si no es así, ¿cuándo queda fuera del mismo o sobre uno de los lados? A este punto se le llama circuncentro. Construir una circunferencia de centro dicho punto y de radio la distancia entre ese punto y uno de los vértices. ¿Qué ocurre? Intentar ver por qué ocurre esto y por qué se cortan las tres mediatrices en un único punto. Esta actividad puede parecer difícil para Primaria, pero yo creo que no lo es tanto si se tiene asumida la propiedad de la mediatriz mencionada anteriormente.

7) Comprobar que, en general, las mediatrices (medianas, bisectrices…) de los lados de un cuadrilátero no se cortan en un único punto. ¿En qué casos sí lo hace?

 

8). También se pueden construir el resto de puntos notables de un triángulo y ver alguna de sus propiedades, comprobando que tanto las tres bisectrices, como las tres medianas y las tres alturas se cortan en un único punto.

Y ya está. Desde luego esto es sólo la punta del iceberg de lo que se puede hacer. Por eso, este sitio se enriquecería mucho más con tu aportación: ¿se te ocurre alguna otra actividad? La zona de comentarios está esperando impaciente a que dejes tu granito de arena. ¡Ánimo!

Read Full Post »

Todos sabemos los beneficios de una regla y un compás a la hora de hacer que nuestro trabajo tienda a la perfección. ¿Quieres crear una circunferencia?; pues mejor el compás que la mano alzada, desde luego, aunque seas Don Perfecto. ¡Qué mejor que una regla para hacer de una hoja en blanco una hoja cuadriculada!… Desde luego, desde que la unión entre regla y compás se consumó, hace muchísimos años, la cantidad de propiedades, figuras geométricas… que con ellas podemos realizar es infinita (o sólo limitada por la imaginación… o mejor dicho, por la escasez de imaginación).

 

Luego, con el paso de años, siglos, milenios… incluso hemos hecho grandes avances: ya no necesitamos una regla y un compás “materiales”. Hay programas informáticos que cumplen esos papeles con un sólo clic. Uno de ellos, cuyo nombre no deja lugar a dudas de sus funciones, es Regla y Compás o C.a.R. (por sus siglas en inglés). Mucha información sobre dicha aplicación se puede encontrar en esta página, que colaboradores de Chiti, de otros años, recabaron amablemente para que futuros ojos se posaran sobre sus líneas.

 

Pero no son las funciones, características y demás aspectos de C.a.R. lo que quería dejar plasmado entre estas palabras; más bien me gustaría mostrar mi opinión sobre su aplicación en el aula… (más…)

Read Full Post »

Éste es un post que escribí destinado a otro sitio, pero no he podido lograr llegar a ese sitio, por ello lo dejo aquí, abierto a todo el mundo:

El mundo se puede ver de múltiples formas: con ojos calculadores, con ojos negros o de color de rosa, con ojos de ladrón, con ojos llenos de paz y amor, con ojos de desesperación, de depresión, tristeza, alegría, con ojos de enano o de gigante, con ojos de “voy a comerme el mundo” o por el contrario con ojos de “el mundo es indigesto”, con ojos de Sara, Luis, Pedrito y Raquel… y también con ojos geométricos.

Cuando empiezas a ver todo lo que te rodea con ojos geométricos surgen transformaciones en ti… Vamos, no es que tu globo ocular tienda a ser más esférico ni nada parecido… pero te sientes como un explorador en la jungla en busca de una nueva especie geométrica que descubrir, de una nueva idea que adornar con un toque geométrico. Te das cuenta de que todo está envuelto en el papel de regalo de la geometría, de que ésta acecha escondida en cualquier rincón para gastarte una broma… y lo que es más importante: también sabes que la geometría, al igual que la matemática en general, tiene su lado humano…

La gente que todavía no ha desarrollado su visión de rayos geométricos me llamarán loca. Ja, se jactarán, <<¿su lado humano?>>, <<¿qué valores pueden aprenderse con la geometría?>>, <<¿es que acaso no sabemos ya que las matemáticas son frías y calculadoras?, lo hemos comprobado en la escuela>>… Sí, es una pena que muchas veces la escuela no haya hecho nada más que ponernos una venda en los ojos que nos impide ver estas cosas… Pero bueno, no seamos pesimistas, aquí estamos nosotros dispuestos a cambiar eso, ¿no es cierto, compañeros? (más…)

Read Full Post »

Ya, ya sé que he batido el récord este mes pasado de menos posts escritos. Razón: simplemente no me apetecía escribir, nada más. Me imagino que en éste que está entrando renovaremos este lugar aunque sea un poquito más que en el anterior (lo que es bastante fácil), pero eso no lo sé ni yo… Aunque por lo menos sí pondré varias soluciones que me quedaban por ahí pendientes.

Bueno, pues esta entrada tiene que ver con geometría (así no tengo que escribir tanto ;) ). A continuación te dejo con 4 acertijos que pondrán a prueba tu capacidad para no complicarte la vida (de eso me parece que no andamos muy bien la mayoría de las personas). Te piden a gritos que no les arrebates su sencillez, ¿serás capaz de hacerles ese favor?

1.- ¿Cuál es la medida del lado del rombo sabiendo que los segmentos marcados en negro miden 4 y 5 cm?

2.- ¿Cuánto mide el ángulo formado por las líneas discontinuas en este cubo?

3.- ¿Puedes demostrar que la suma de los ángulos A y B es igual a la medida del ángulo C? Intenta hacerlo sin usar trigonometría, unicamente geometría elemental.

4.- ¿Es el triángulo ABM equilátero? Si es que sí, demuéstralo, pero nada de usar trigonometría ni geometría analítica. Para su resolución sólo se requieren los conocimientos que podría tener un niño de Primaria, aunque quizás también una mayor habilidad para resolver problemas. Te digo de antemano que no es nada fácil, por lo menos así me lo parece a mí, pero, ¿te animas?

Y ya está. Como siempre, ya pondré más adelante las referencias y las soluciones. Como en alguno de los acertijos va a ser realmente complicado dar una solución verbal, si quieres me puedes enviar la solución al correo y ya me ocuparé después de publicarla

[Actualización]: Soluciones

Read Full Post »

Desde el blog de Chiti , y a través de su post Vuelos de fantasía por las matemáticas, me llegan ecos de un film que tiene pinta de ser muy interesante. Se llama Dimensions y, como en la propia página de presentación se dice, es

¡Un paseo a través de las matemáticas!

¡Una película para todos los públicos!

Nueve capítulos, dos horas de matemáticas, que le llevarán poco a poco hasta la cuarta dimensión. ¡Garantizado el vértigo matemático!

El trailer lo puedes ver en la propia página de presentación, clickando en la imagen que aparece a la izquierda; y también hay información más detallada (sólo el segundo en español en este momento) de cada uno de los capítulos.

Los distinos capítulos te los puedes descargar aquí (en varios idiomas; también en español). Aunque si prefieres también los puedes ver on-line (en español aquí) o adquirir en DVD por sólo 10 €.

¡Y a qué esperas para introducirte en un mundo paradisíaco: el de las matemáticas! La verdad es que proyectos como éste se agradecen. Esperemos que sus autores y demás colaboradores sigan acercando las tan temidas matemáticas al público en general… y esperemos que surjan muchas más iniciativas como ésta.

Read Full Post »

Bueno, es evidente que el papel (junto con algo para escribir) ha tenido siempre (es un decir) un papel destacado en las matemáticas. Incluso Claudi Alsina, en su libro Vitaminas matemáticas, incluye la afición de escribir en papelitos como uno de los “tics” de los matemáticos, junto con el despiste parcial, el rigor exagerado, la modesta ambición crematística y la tendencia al asociacionismo.

También es cierto que, junto con la tan querida pizarra, el papel ha tenido siempre (quizás ahora menos, con la aparición de los ordenadores) un lugar de honor en la enseñanza. Sí, cientos y cientos de páginas llenas de letras, números y algún que otro dibujito del profesor bigotudo de química, algún corazoncito o algún “violeta x francisco”. Parece mentira, sin embargo, que este gran recurso no haya sabido aprovecharse como se merece. En este post pretendo rescatar algunas de esas aplicaciones que tan poco entran en las aulas, de matemáticas en este caso, y de las que tanto se puede aprender. En concreto voy a tratar el tema del origami, ya que con el papel se pueden hacer infinidad de cosas y sería demasiado amplio hablar de todas ellas. Para empezar, me gustaría justificar que realmente el origami puede ser una gran ayuda en la educación en general y en las matemáticas en particular. Para ello me baso en los testimonios de personas entendidas en el tema. (más…)

Read Full Post »

Hace algo más de un mes propuse en esta entrada un problema y prometí dejar aquí una solución. El problema propuesto era el siguiente:

¿Cuál es el polígono de mayor número de lados que se puede construir en un geoplano de dimensiones nxn? ¿Hay una fórmula general? Demostrar que la fórmula se cumple para todos los geoplanos nxn (salvo excepciones).

Bueno, lo primero es ver cuál es la fórmula esa… No es difícil llegar a la conclusión de que, como máximo, un polígono construido en un geoplano de dimensión n x n tendrá n2 lados (se deja esa tarea para el lector, que no tengo demasiadas ganas de escribir). La cuestión es ver si realmente eso va a poder ser así o existirá alguna otra restricción que disminuya el número de lados posibles. Pues… ¡qué haces que no te has puesto ya a construir polígonos y polígonos! (más…)

Read Full Post »

« Newer Posts - Older Posts »

Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 39 seguidores

%d personas les gusta esto: