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Archive for the ‘Geometría’ Category

Del proyecto Intergeo ya nos habló Chiti hace tiempo. Ayer me lo volví a encontrar; esta vez de la mano de “Matemáticas y sus fronteras“, y no quise dejar pasar la oportunidad de presentarlo en este espacio. Parece ser que la fuente de referencia [pdf] del post se encuentra en el nuevo número (nº 70) de la revista Números, de descarga gratuita [pdf] o para ver en la web.

Portal intergeo

Pero, ¿qué es eso del proyecto Intergeo? Es un proyecto “engendrado” por el programa econtentplus; este último nace como una iniciativa de la Unión Europea con el fin de hacer más asequible los contenidos digitales a los usuarios de Internet. En concreto, el proyecto Intergeo, como el propio nombre parece indicar, se refiere a las matemáticas y a la geometría interactiva, y pretende aportar un espacio para reunir todos esos recursos con esta temática que actualmente se encuentran desperdigados por la Red, en muchos servidores diferentes y en múltiples formatos. Desde luego, esto es una gran ventaja para el profesorado y un ahorro de su tiempo. Podemos concretar todo esto en tres objetivos:

  • Facilitar la búsqueda y elaboración de recursos relacionados con la Geometría Dinámica.
  • Crear un formato estándar de archivo que permita al docente usar su software preferido, ya sea de naturaleza comercial o libre.
  • Establecer estándares de calidad que permitan a la comunidad educativa evaluar adecuadamente los diversos recursos existentes.

En el proyecto (que comenzó en 2008 y que tiene una duración aproximada de 3 años) participan Alemania, la República Checa, Francia, Holanda, Luxemburgo y España

También participan, como era de suponer, los principales desarrolladores de software: Cabri, Geogebra, Cinderella, Wiris, Tracenpoche, Geoplan-Geospace, Geonext, Openmath y Activemath.

¿Y qué sería de un proyecto como este sin un portal donde poder realizar tamaña empresa? El portal, en este caso, es http://i2geo.net. Allí cualquiera (la única condición es tener más de 13 años) puede darse de alta y, lo que también es muy importante, aportar algún recurso. Como nos dicen en Números:

Para los interesados en aportar sus propias creaciones al portal de Intergeo, basta acceder a la sección [CONTRIBUIRAñadir un recurso]. Podemos distinguir los siguientes tipos de recursos que pueden aportarse a la plataforma:

Construcciones realizadas con software de geometría dinámica: Las construcciones pueden enviarse en forma de archivo en el formato adecuado o también puede indicarse el enlace donde se encuentran alojadas.


Videos explicativos: El sistema también admite la posibilidad de subir videos informativos relacionados con Intergeo y la geometría interactiva.

Lecciones (Lesson Plans): Permiten crear una completa unidad de aprendizaje en la que se especifican entre otras cosas los objetivos, los materiales necesarios y los contenidos de la unidad, así como el lugar que ocupa en el currículo educativo.


¿Y si no quieres contribuir y sólo buscas un recurso? Pues otra vez Números viene al rescate:

En la actualidad la herramienta de búsqueda de actividades se encuentra en proceso de desarrollo, y esto implica que la forma de acceder a las mismas no es todavía muy amigable y presenta carencias importantes. Lo mejor que podemos hacer es ir a [ENCONTRAR Buscar recursos por tema] y seleccionar uno de los recursos disponibles. Una vez hecho esto, se nos mostrará una nueva pantalla con la información principal del recurso

recurso en intergeo

Y… ¿qué podemos decir de la calidad de los recursos que actualmente están alojados en dicho portal?

En cuanto a la presencia de materiales didácticos en español, su calidad y variedad es notoria, y a fecha de hoy el portal de Intergeo recoge cerca de 1000 muestras elaboradas por profesores españoles que tienen una amplia experiencia en la creación de actividades de geometría interactiva para el aula, y que próximamente estarán disponibles públicamente. En particular, cabe destacar las aportaciones de Manuel Sada, José Antonio Mora, José Manuel Arranz y Rafael Losada.

Estos 4 hombres forman, para el que no lo sepa, el grupo G4D; una de cuyas aportaciones es la magnífica página web geometriadinamica.es

Otros aspectos a destacar son la posibilidad de crear equipos de trabajo y de evaluar los recursos alojados en el portal. Para más información acércate al propio portal o a cualquiera de los tres documentos mencionados en el primer párrafo.

Y dicho esto, ¿a qué esperas para darte de alta y contribuir de alguna manera?

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Pues vamos con ellos.

Soluciones de Falacias geométricas:

1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.

Falacia 1
2) Mira el contraejemplo de la figura:

Falacia_2

Soluciones de Problemas de áreas sombreadas


1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:

sol-area-sombreada-1

2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución. (más…)

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Me entero por Eva M, en su blog Matemáticas a nuestro lado, de la existencia del Dr. Quantum, personaje variopinto protagonista de una serie con la que se intenta divulgar las matemáticas, la física…  Eva M. nos acerca un vídeo de dicho personaje, en el que se perfilan algunas de las diferencias entre la dimensión dos y la dimensión tres, además de hacernos cuestionar si realmente lo que vemos es lo único que hay. Me gustan especialmente las frases: “Si sólo vemos lo que conocemos, ¿cómo puede ser que alguien vea una cosa nueva, lo desconocido?, ¿cómo logramos salir de nuestra caja?”.

Si te gusta esto de las dimensiones, y si todavía no lo has hecho, no puedes dejar de leer el magnífico libro de Edwin A. Abbott, Planilandia [pdf] (más información en este post de Eva M.).

No te olvides tampoco de visitar este post que escribí hace tiempo sobre unos vídeos de descarga gratuíta en los que se llega poco a poco hasta la cuarta dimensión.

Y por último, por si no es bastante, también te invito a pasar unos minutos en compañía de Carl Sagan, que nos habla de la dimensión 2 y de la 4 de una manera sencilla:

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Ayer en Gaussianos (creo que el blog no necesita presentación) propusieron un problema de área sombreada. El problema pide averiguar qué fracción del área del paralelogramo está sombreada (sí, no hace falta que te dejes los ojos: los hexágonos blancos son regulares).

area-sombreada-1

Ese problema me hizo recordar otro que aparece en el libro “¡Ajá!, Inspiración”, de Martin Gardner, y que a mí personalmente me gusta mucho. Primero un dibujo:

area-sombreada-2El problema consiste en averiguar el área de la corona circular. Para ello se da únicamente la longitud de la cuerda tangente al círculo interior (100 m). No hace falta matemáticas avanzadas ni fórmulas extrañas, aunque sí un alto grado de inspiración. Hay por lo menos dos formas de llegar al resultado (una más tramposa que la otra)

Y bueno, ya que estamos con áreas sombreadas y todo eso, ¿por qué no poner algunos problemas más?

3) En la siguiente página de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) se nos pide calcular el área de la zona sombreada sabiendo que el perímetro del triángulo es de 31 cm y tanto el radio de la circunferencia inscrita como los radios de los arcos de circunferencia miden 2 cm.

area-sombreada-3

4) Éste está sacado de una página de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y se nos pide calcular la proporción que guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS si M es un punto cualquiera de la diagonal.

area-sombreada-4

5) Hace tiempo en Acertijos y más cosas nos propusieron hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, ¿serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla?

area-sombreada-5

6) Y este último llega desde Problemas Matemáticos. Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

area-sombreada-6

Creo que por hoy ya es bastante. Si quieres más siempre puedes buscar en Internet. Seguro que te asombras de las figuras con sombras que encuentras.

[Actualización]: soluciones

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El mundo de las demostraciones matemáticas es bastante engañoso. Muchas veces parecemos toparnos con una y, sin embargo, no es más que un espejismo. Entre las demostraciones, creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

En este post te muestro una “demostración” de que todo triángulo es isósceles y otra que intenta demostrar que si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo. Desde luego, como puede suponer el lector o la lectora, ambas son falacias, pero son falacias bastantes sutiles. Ambas provienen de uno de los libros de Martin Gardner, concretamente Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. ¿Dónde está el razonamiento erróneo en cada una de ellas?:

Teorema 1: Todo triángulo es isósceles.

falacia-geometrica-1

Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC, y desde D trazamos DE, perpendicular a BC. Tracemos la bisectriz del ángulo BAC.

1) Si la bisectriz no corta a DE, ambas rectas son paralelas. Por consiguiente, la bisectriz es perpendicular a BC. Por consiguiente, AB = AC, es decir, ABC es isósceles.

2) Si la bisectriz corta a DE, llamemos F al punto de intersección. Tracemos FB, FC y, desde F, las rectas FG, FH, perpendiculares a AC, AB.

Entonces los triángulos AFG, AFH son iguales, porque tienen el lado AF común, y los ángulos FAG, AGF repectivamente iguales a los ángulos FAH, AHF. Así pues, AH = AG, y FH = FG.

Como antes, los triángulos BDF, CDF son iguales, porque BD = DC, DF es común, y los ángulos de vértice D son iguales. Así pues , FB = FC.

Igualmente, los triángulos FHB, FGC son rectángulos. Por lo tanto, el cuadrado de FB es la suma de los cuadrados de FH y HB; y el cuadrado de FC = la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero FB = FC, y FH = FG. Por consiguiente, el cuadrado del lado HB = al cuadrado de GC. Así pues, HB = GC. Por otra parte, se ha demostrado ya que AH = AG. Así pues, AB = AC, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Por consiguiente, el triángulo ABC siempre es isósceles.

Teorema 2: Si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo

falacia-geometrica-2

En el cuadrilátero ABCD de la figura tracemos BX perpendicularmente a AD, y DY perpendicularmente a BC. Unimos B con D. Los triángulos ABX y CYD son congruentes y, por lo tanto, BX es igual a DY, y AX es igual a CY. Se sigue que los triángulos BXD y DYB son congruentes, y así pues, XD es igual que YB. Dado que AB es igual que CD y que AD es igual que BC, el cuadrilátero ABCD tiene que ser un paralelogramo.

[Actualización]: soluciones

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La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

solucion-1

Solución 2:

solucion-2

 

Solución 3:

solucion-3

 

Solución 4:

solucion-4

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Bueno, como había quedado en el anterior post, aquí dejo algunos de los rasgos que caracterizarían, a mi entender, el rostro del aprendizaje por descubrimiento a través de un software geométrico como es Regla y Compás. Para mí, la característica fundamental de este tipo de aplicaciones es que permiten la interactividad, permiten trasladar las figuras o deformarlas, conservando algunas de sus características. Esto me parece ideal, por ejemplo, para que los estudiantes descubran ciertas propiedades sin tener que construir muchas figuras (triángulos, por ejemplo): si tiramos de un vértice (con el botón secundario del ratón) obtendremos otras figuras (triángulo, en este caso) en las que podremos comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo o no… Pero, desde luego, hay muchas más posibilidades.

 

Eso es lo que he intentado reflejar en las actividades que a continuación presento, aunque no todas disfrutan de las ventajas de Regla y Compás, como las tareas 3 y 5, pero de todas formas las he puesto porque también se basan en el descubrimiento.

 

1) Construir tres segmentos y trasladarlos para formar un triángulo. ¿Siempre es posible?, ¿por qué? (Esta actividad nos fue propuesta por Chiti durante una de las clases de TEM).

2) Construir un triángulo cualquiera y mover uno de sus vértices: comprobar que en todos los triángulos la suma de los ángulos es de 180º. ¿Qué ocurre con los cuadriláteros?

 

3) Construir todos los triángulos diferentes que se puedan con 3 lados dados. Construir cuadriláteros con 4 segmentos. ¿Qué ocurre en uno y en otro caso? Con esto se pretende que los alumnos se fijen en que un triángulo queda determinado por sus lados, pero no así un cuadrilátero. Esta actividad sería más interesante si los triángulos se pudieran girar, pero creo que C.a.R. no lo permite, al menos de una manera fácil: así se podrían superponer los triángulos y comprobar que son congruentes. Es más rollo, pero de todas formas siempre pueden medir los ángulos y comprobar que los lados se “conectan” siguiendo el mismo orden. Estaría bien dejarles la libertad suficiente para que sean ellos (los estudiantes) los que descubran esta “característica” de los triángulos.

4) Construir un polígono y todas sus diagonales. Ahora mover el polígono para formar otros cóncavos y convexos. ¿Se nota alguna diferencia en las diagonales en ambos casos? Con esto se pretende que los alumnos lleguen a la conclusión de que en los convexos todas las diagonales van “por dentro” y en los cóncavos no todas “van por dentro” (que es otra manera de definir los polígonos cóncavos y convexos que no tiene nada que ver con la medida de los ángulos).

 

5) Construir un segmento AB y su mediatriz. Escoger un punto de la mediatriz (X) y trazar dos segmentos que vayan desde ese punto a cada uno de los extremos (XA y XB). Medir ambos segmentos. ¿Tienen la misma medida? Escoger otros puntos de la mediatriz. ¿Ocurre lo mismo? Intentar ver la razón. En cuanto a esta actividad, creo que normalmente se define una mediatriz como la perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, pero pocas veces como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Me parece importante que los alumnos conozcan (y mejor que descubran) dicha característica.

6) Trazar las mediatrices de los lados de un triángulo. ¿Se cortan las tres en el mismo punto? Repetir la experiencia con otros triángulos (o más fácil: mover los vértices del triángulo y comprobar lo que sucede). ¿El punto de corte queda siempre dentro del triángulo? Si no es así, ¿cuándo queda fuera del mismo o sobre uno de los lados? A este punto se le llama circuncentro. Construir una circunferencia de centro dicho punto y de radio la distancia entre ese punto y uno de los vértices. ¿Qué ocurre? Intentar ver por qué ocurre esto y por qué se cortan las tres mediatrices en un único punto. Esta actividad puede parecer difícil para Primaria, pero yo creo que no lo es tanto si se tiene asumida la propiedad de la mediatriz mencionada anteriormente.

7) Comprobar que, en general, las mediatrices (medianas, bisectrices…) de los lados de un cuadrilátero no se cortan en un único punto. ¿En qué casos sí lo hace?

 

8). También se pueden construir el resto de puntos notables de un triángulo y ver alguna de sus propiedades, comprobando que tanto las tres bisectrices, como las tres medianas y las tres alturas se cortan en un único punto.

Y ya está. Desde luego esto es sólo la punta del iceberg de lo que se puede hacer. Por eso, este sitio se enriquecería mucho más con tu aportación: ¿se te ocurre alguna otra actividad? La zona de comentarios está esperando impaciente a que dejes tu granito de arena. ¡Ánimo!

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