Creo que ya había quedado claro que la centena cuadriculada guarda muchas sorpresas y que puede ser un recurso mucho más útil de lo que parece a simple vista. Algunas personas (Eva M., da-beat y Frank) se animaron también a plasmar algún otro uso que se le puede dar a dicho recurso en comentarios, lo que les agradezco enormemente.

En este post, por si acaso al lector le quedan todavía dudas de la utilidad de dicho recurso, voy a mostrar (y demostrar) algunas de las conjeturas que sobre la centena cuadriculada aparecen en el artículo que ya mencioné en su momento: ““Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. Además, tampoco puedo olvidarme de las conjeturas que da-beat y Frank me dejaron en comentarios, y también completaré el post con algunas conjeturas propias. Para que queden más claras las conjeturas diré que a_ij indica el elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j.

Conjetura 1 (de Frank):

“En tres números consecutivos en la cuadrícula, el del medio es el promedio de los extremos. Para el caso de una triada horizontal, vertical o en diagonal.”

Conjetura 2 (de da-beat):

“Todas las parejas de números que tienen como centro de simetría el número n suman 2n.”

Podemos observar que la conjetura de da-beat generaliza la de Frank. Vamos ahora con algunas de las conjeturas del artículo:

Conjetura 3 (de Maiyelines):

“La suma de los elementos de cualquiera de las filas es un múltiplo de 5”.

Conjetura 4 (de Eneida):

Dada una centena cuadriculada; si se considera un triángulo isósceles cuyos vértices sean a_ij, a_(i+3)(j+3), a_(i+3)(j-3); entonces el centro del triángulo, a_(i+2)j, viene dado por la trisección de la suma de sus vértices. Ver Figura 1.

Conjetura 5 (de Efraín):

Los elementos situados en las diagonales ascendentes de una centena cuadriculada constituyen los términos de una progresión aritmética de razón -9.

Voy a permitirme introducir aquí una de mis conjeturas, ya que tiene también que ver con las diagonales ascendentes.

Conjetura 6 (de Sara F.):

La suma de los elementos de una diagonal ascendente que comienza en la primera columna viene dada por la fórmula Dn = n(11n-9)/2; donde n se refiere al valor de la fila desde la que comienza la diagonal. Por ejemplo, la diagonal ascendente formada por los términos 21, 12 y 3 comienza en la tercera fila (en el término 21). Por lo tanto su suma será: 3(11*3-9)/2 = 36, que como se puede comprobar fácilmente, coincide con la suma hecha directamente: 21+12+3. La diagonal ascendente 98, 89, 80, sin embargo, no cumple la fórmula, porque su primer elemento no está situado en la primera columna, si no en la octava. Ver Figura 2.

Conjetura 7 (de Efraín):

Se denomina “cuadrado principal” a todo “cuadrado” de lado n, con n un número natural entre 3 y 10, ambos incluidos. Se denomina “cuadrado encajado” dentro de un cuadrado principal  de lado n a todo cuadrado de lado m = n-2.

En una centena cuadriculada, la semisuma de los “vértices” de un cuadrado principal de lado n = 4, es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal de su cuadrado encajado. Ver Figura 3.

Conjetura 8 (de José):

La suma de los vértices de todo “Cuadrado Simétrico con respecto a los lados de la Centena Cuadriculada” es constantemente igual a 202. Ver la Figura 4, en la que aparecen varios Cuadrados Simétricos.

Conjetura 9 (de Sara F.):

La suma de todos los elementos de un Cuadrado Centrado (llamo Cuadrado Centrado a lo mismo que José llama Cuadrado Simétrico) es igual a 202*(n-1), donde n se refiere al número de elementos que componen el lado del cuadrado.

Conjetura 10 (de Sara F.):

Llamamos Rectángulo Inclinado a aquel que tiene cada uno de sus vértices en uno de los lados de la Centena, es decir, aquel que tiene uno de sus vértices en la fila 1, otro en la fila 10, otro en la columna 1 y el último en la columna 10. La suma de todos los elementos que componen un Rectángulo Inclinado es constantemente igual a 909.

Pues bien, aunque seguramente haya muchas más conjeturas, creo que con éstas ya se suficiente. Te invito a buscar otras. Ahora voy a demostrar sólo una de ellas para no hacer esto demasiado largo y tedioso. El lector interesado puede demostrar el resto y mostrar el proceso seguido en comentarios. Pues vamos a convertir la conjetura número 7 en un teorema. Pero antes me gustaría introducir una idea que va a servir para demostrar, sino todas, la mayoría de estas conjeturas:

a_ij = (i-1)10 + j, para todo i, j pertenecientes a los números naturales del 1 al 10, ambos incluidos.

Creo que al lector no le resultará difícil darse cuenta de la validez de dicha propiedad. Ahora ya podemos comenzar con la demostración:

Sean a y b dos elementos consecutivos cualesquiera de una Centena Cuadriculada situados en una de las diagonales ascendentes. Queremos demostrar que su diferencia (b-a) es constantemente igual a -9. Si a y b son dos elementos cualesquiera de una centena cuadriculada situados consecutivamente en una de las diagonales ascendentes; entonces podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad, que: a = a_ij y b = a_(i-1)(j+1). Por lo tanto:

(b – a) = [(i-1-1)10 + (j+1)] – [(i-1)10 + j] = -9, como queríamos demostrar.

Pues creo que por hoy ya es suficiente, ¿no? Espero nuevas conjeturas y demostraciones, pero eso ya queda en tu mano.

No soy mucho de cumpleaños. Me gusta más la idea de la Tribu de los Auténticos (una tribu de aborígenes australianos), de la que nos habla Marlo Morgan en su libro “Las voces del desierto“. Hay (o quizá hubo) mucho revuelo en torno a la existencia de esta tribu y a la veracidad de la historia narrada. Independientemente de que exista o no, me habría gustado pasar una temporada con una tribu así. Sus ideas encajan más conmigo que las que me “corresponden” por mi lugar de nacimiento.

¿Qué cuál es esa idea? La siguiente:

Durante nuestro viaje se realizaron dos celebraciones para honrar el talento de sendas personas. Todos los miembros de la tribu reciben este reconocimiento mediante una fiesta especial, pero no tiene nada que ver con la edad ni los cumpleaños; con ella se reconoce el caracter único de ese talento y su contribución a la vida. Según sus creencias el paso del tiempo cumple el proposito de permitir a las personas que se vuelvan mejores, que expresen más y mejor su propio ser. Así pues, si eres mejor persona este año que el anterior, y solo tú lo sabes con seguridad, debes ser tú quien convoque la fiesta. Cuando tú dices que estás preparado, todos lo aceptan. No celebran el hecho de envejecer sino de que cada vez son mejores.

Quizá por todas estas razones no celebré el primer añito de matemaTICs. ¿Que por qué entonces sí lo hago con el segundo? Bueno, hablar con cierta persona (que además es probable que lea esto), me hizo darme cuenta de que el cumple era una buena excusa para reflexionar sobre la marcha del blog, sobre lo que queda pendiente, sobre lo que he aprendido (y bueno, hay que ser sincera, también porque sé que al blog matemaTICs le encantará que alguna persona lo felicite )… Eso es lo que voy a dejar reflejado aquí, aunque bastante escueto (¿Escueto? Sara, tú no sabes ser escueta… escribiendo posts).

Lo normal en estos casos es dejar constancia del número de visitas, número de lectores, número, números y más números. Es algo que no me interesa demasiado, por lo que no voy a hablar de ello (de todas formas, si a alguien le interesa no tengo ningún inconveniente en decírselo ).

Para mí escribir en el blog, “conversar” con los comentaristas… ha sido una grata y gran experiencia. Quizá más por mi forma de ser, encerrada en mi mundo particular, reservada hasta límites extremos. Aunque temo que esto pueda ser como otro mundo particular con el que cerrarme al aire puro que me esperaría ahí fuera, si quisiera tirar los barrotes.

La verdad es que “matemaTIcs” no ha sufrido muchos cambios externos desde el comienzo de su andadura. Sigue con la misma plantilla, el mismo ambigrama que le da nombre… y con pocos plugins añadidos. Quizá sea hora de un cambio.

En cuanto a cambios internos… Bueno. Tampoco han sido demasiados. Se puede decir que cuando empecé a escribir, gracias al impulso de Chiti y de Fernando, no tenía pensado exactamente sobre qué hablar. Los post iban surgiendo cuando me apetecía hablar sobre determinado aspecto (me cuesta mucho escribir sin ganas o sobre algo que no me interesa), casi siempre relacionado con las matemáticas (aunque no exclusivamente). Por ello, es un poco difícil definir a “matemaTICs”, porque no es un blog exclusivo de didáctica de las matemáticas, de divulgación matemática, de acertijos matemáticos o de matemáticas recreativas. Es de todo un poco… Nunca he sido muy ordenada y eso también se puede apreciar en el blog. Hay semanas en las que escribo varios posts y luego pueden pasar unas cuantas sin actualizar.

Entonces, si no ha habido apenas cambios externos ni internos, ¿qué cambios ha habido? Ha habido cambios que son difíciles de apreciar a simple vista. Ha habido cambios positivos en mi seguridad a la hora de escribir, en mis ganas de hacerlo, en disfrutar de cada momento que paso delante de la pantalla escribiendo, sin importar el resultado final, en lo que he aprendido (desde luego); quizás también en la fluidez a la hora de hacerlo… No sé, para mí esos cambios son más que suficientes.

Y ya, para terminar (ya era hora, lo reconozco), me gustaría volver a enlazar algunos de los post de “matemaTICs” que a mí personalmente más me gustan. Enlazaré sobre todo de los que escribí hace tiempo, porque es más probable que tú, lector, no los hayas leído:

• ¿Cálculadora en clase de matemáticas?… ¡ Sí, por favor!

• El papel de las matemáticas en el papel: Éste lo enlazo porque me llevó mucho tiempo escribirlo (y todo lo que eso conlleva, como buscar información, pensar cómo estructurar las ideas… ). Me acuerdo de pasarme el día entero delante de la pantalla… Creo que ese día comí en cinco minutos y no sé siquiera si iría al baño.

• 197 entre 6: ¿32? ¿33? ¿32,83333…?

• El poligonito feo: creo que es el cuento que más me gusta de los que he escrito.

• Early-Algebra: ¿álgebra en Primaria?

• Demostraciones increíbles

Lo queramos o no, los seres humanos vamos dejando huella por todas partes: dejamos huella en la gente a la que conocemos, en los amigos, en los enemigos… y en los CDs; y, al igual que una huella dejada por una persona en otra puede producir en esta última un cambio radical de su forma de apreciar el mundo, puede cambiar por completo su estructura de valores, creencias, miedos, etc., también una huella en un CD puede transformar totalmente la información almacenada en el mismo… ¿Qué hacer? En el caso de la huella dejada por una persona en otra, las matemáticas no pueden decir ni “mu”, habrá que hacer uso de otros recursos si es que queremos cambiar eso; sin embargo, las matemáticas sí que tienen mucho que decir en el caso del CD.

Fuente de la imagen: http://columbia.edu

Un CD no es nada más que un Disco Compacto, un disco con un montón de información almacenada en espiral (si pusiéramos recta la espiral su longitud sería de más o menos ¡5 km!) en forma de “valles” y “llanuras” (que, matemáticamente, podemos hacer corresponder con ceros y unos). El lector láser es el encargado de “leer” estos “valles” y “llanuras” para poder “traducirlo” a un lenguaje comprensible para el ser humano (una melodía, una imagen, palabras…). Lógicamente, el lector láser no es infalible en su lectura, sobre todo si hay algún tipo de interferencia, como una huella, que puede cambiar la disposición de ceros y unos y, con ello, la información final. ¿Cómo hacer frente a estos errores? Pues mediante códigos correctores de errores. 

La tecnología digital, tan imprescindible hoy en día, almacena la información, precisamente, en forma de, para entendernos, ceros y unos, es decir, únicamente dos símbolos. Gracias a ello muchos procedimientos, como la corrección de errores, se pueden matematizar fácilmente. Veamos qué serie de pasos hay que seguir para ello:

1. Antes de corregir hay que detectar el error
2. Para detectar el error hay que introducir información redundante
3. Al introducir información redundante no todas las “palabras” de nuestro código serán válidas
4. La corrección de errores se basa en la “distancia” entre estas “palabras”
5. Si la lista recibida no es una “palabra” válida, le asignaremos la “palabra” más “cercana”.

Veamos más en profundidad cada uno de ellos:

Antes de corregir hay que detectar el error

 Creo que este paso no requiere ninguna aclaración.

Para detectar el error hay que introducir información redundante

 ¿Cómo hacerlo? Por ejemplo, podríamos repetir cada lista de información, de manera que si la repetición no coincide con el original, hay algún error. Claro, esto alargaría demasiado el mensaje, así que tendremos que buscar otras formas. Aquí es donde entran en escena el NIF, los códigos de barras, el Código Cuenta Cliente de los bancos, el ISBN… Todos ellos contienen información redundante que nos “avisa” de si es correcto o no en algunos casos determinados. Por ejemplo, veamos un poco el caso del NIF. El número del DNI está compuesto de 8 cifras. Pues bien, cualquier número de 8 cifras podría ser un DNI válido, de tal manera que si nos confundimos y en lugar de 71446957 escribimos 71449657, no habría forma de detectar el error. La letra al final de la ristra de dígitos es la información redundante que se usa para evitar estas situaciones, y lo que nos indica en realidad es el resto de dividir el número del DNI entre 23 (cada uno de los posibles restos tiene asociado una letra distinta). Como vemos, el resto es una información redundante, es una información que ya viene implícita en el número del DNI.

Fuente de la imagen: http://lewebpedagogique.com

Lo mismo ocurre con los otros números y códigos mencionados más arriba. Hay información sobre ello en las referencias.

Al introducir información redundante no todas las “palabras” de nuestro código serán válidas

En la lengua española no vale cualquier palabra. Por ejemplo, “acita” no es una palabra válida a pesar de que, por la construcción, podría serlo… Algo parecido ocurre cuando introducimos información redundante en un código. En el ejemplo del DNI, que es el que nos ocupa, aunque cualquier número de 8 cifras se puede dar por válido, no son correctas cualesquiera “palabras” formadas por 8 dígitos y una letra. Así, aunque 71449657 y 71446957 son ambos DNIs válidos, no ocurre lo mismo con 71449657L y 71446957L: el primero es un NIF válido (el resto de 71449657 entre 23 es 19, que se corresponde con la letra L), pero no así el segundo (el resto en este caso es 10, que tiene asociada la letra X y no la L).

Esto nos permite detectar el error si hemos llegado a una “palabra” no válida (un procesador de textos, por ejemplo, es capaz de detectar un error y subrayarlo en rojo porque “conoce” las palabras que son válidas y las que no. Claro, a veces no nos corrige algo aunque sea erróneo porque, a pesar de que no era lo que queríamos decir, sí que es una palabra válida. Eso también puede ocurrir en el caso del DNI, pero no es lo normal).

La corrección de errores se basa en la “distancia” entre estas “palabras” válidas.

Puede que el lector sólo conozca lo que se denomina distancia euclídea y piense que las distancias se miden únicamente en metros o en cualquier otra medida de longitud… Lo cierto es que ésta no es la única distancia posible, por lo menos en matemáticas. A los matemáticos les gusta generalizar los conceptos para así poder generalizar también las propiedades que se desprenden de esos conceptos a diversos contextos. Un ejemplo de distancia distinta a la habitual nos la mostraba  hace tiempo emulenews en su blog.

Volviendo al diccionario y al idioma español. ¿Qué palabras te parecen más cercanas, cana y casa o cana y coto? Desde luego la primera pareja es más “cercana” de alguna manera, porque sólo se diferencian en una letra.

Veamos un ejemplo binario. ¿Qué “palabras” están a menor “distancia”, 11011 y 11010 ó 11011 y 00101? Salta a la vista que la primera pareja vuelve a estar a menor “distancia”…

Surge así la denominada distancia de Hamming, que es el número de posiciones de dos palabras que tienen bit diferente (si en una es 0, en la otra es 1 y al revés). Así, la primera pareja está a distancia 1 porque difieren en la última posición y la segunda pareja a distancia 4, porque difieren en todas las posiciones menos en la última.

Si la lista recibida no es una “palabra” válida, le asignaremos la “palabra” más “cercana”.

Imaginemos que hemos escrito “cisa”. El procesador de textos nos la subraya de rojo porque no es una palabra válida y nos ofrece varias palabras válidas alternativas para corregir, pero claro, cualquier palabra del español no nos es ofrecida como alternativa, sólo aquellas palabras que están “cerca” de la palabra errónea, como sisa, cesa, cima, cita, ciña, casa… Cojamos otra palabra, por ejemplo, polabra. En este caso el procesador sólo nos da una alternativa, “palabra”, porque es la única palabra válida que se encuentra cerca de polabra.

Imaginemos ahora un ejemplo parecido con las palabras binarias de 5 cifras. Imaginemos que sólo son válidas las palabras 11111 y 00000. En este caso, si recibimos la palabra 11110, la podemos cambiar por 11111, que está más cerca que 00000, sin demasiado riesgo de confundirnos.

*************

Pues en todos estos conceptos e ideas previas se basa un código corrector de errores. Veamos ahora un ejemplo, el código Hamming (7,4), que, aunque es muy rudimentario, nos puede dar una idea mayor de cómo funcionan estos códigos:

• Antonia quiere enviar el siguiente mensaje: “MENSAJE”, a su amigo Benjamín.

• Para ello codifica el mensaje a través de, por ejemplo, el código ASCII, del que aparecen las equivalencias aquí abajo:

 Dando como resultado la siguiente lista de ceros y unos:

 01001101010001010100111001010011010000010100101001000101

•  Ahora Antonia divide el mensaje en “palabras” de 4 cifras y a cada una de ellas le añade tres bits redundantes para obtener “palabras” de 7 cifras (ahora entenderá el lector por qué el código se llama (7, 4) ). ¿Cómo añade esos bits redundantes? Para ello tenemos que introducir otro concepto que nos llevará a la conclusión de que, a pesar de que muchos lo nieguen, 1 + 1= 0. El concepto es la suma en el cuerpo de 2 elementos, cuyos elementos son el 0 y el 1 y cuya tabla de sumar es la siguiente:

Que, como podemos observar, se basa en la siguiente ley: si la suma es par, el resultado es 0, si la suma es impar, el resultado es 1.

 Bien, pues a nuestra palabra original a₁a₂a₃a₄ le añadimos 3 bits redundantes p₁, p₂, p₃, calculados de la siguiente manera:

P₁= a₁+a₂+a₄

P₂=a₁+a₃+a₄

P₃=a₂+a₃+a₄

Donde la suma es la descrita un poco más arriba, es decir, el resultado será 0 si la suma da un número par y 1 si da un resultado impar.

A continuación transformamos cada palabra a₁a₂a₃a₄ en la palabra p₁p₂a₁p₃a₂a₃a₄, en este caso, transformamos:

0100 1101 0100 0101 0100 1110 0101 0011 0100 0001 0100 1010 0100 0101

 en:

1001100 1010101 1001100 0100101 1001100 0010110 0100101 1000011 1001100 1101001 1001100 1011010 1001100 0100101.

•  Y ya Antonia está en condiciones de enviar el mensaje, pero por el camino se producen algunos errores (este código tiene una distancia de Hamming entre palabras de 3, por lo que sólo se podrá corregir la palabra si hay un único error), que se señalan en negrita.

1001000 1010101 1001100 0100101 1011100 0010110 0100101 1000011 1001100 1101001 1001100 1011010 1001100 0000101.

•  Benjamín recibe el mensaje y pasa a comprobar si hay algún error. Para ello mira a ver si las palabras recibidas son todas válidas. ¿Cómo lo hace? Bien, pues volviendo a calcular por su cuenta los bits de redundancia, es decir, en la palabra p₁p₂a₁p₃a₂a₃a₄, calcula, de la misma forma que antes, p₁, p₂ y p₃ (a los que por comodidad, ahora llamaremos s₁, s₂ y s₃). Puede ocurrir que éstos bits coincidan o que no. Calcularemos entonces tres números r₁, r₂ y r₃ de la siguiente manera: r_n es igual a 0 si p_n y s_n coinciden, en caso contrario es igual a 1. En el caso en el que las tres “r” sean igual a 0, la palabra es una palabra válida y será correcta o, por lo menos, este código no es capaz de detectar el error. Si ese no es el caso, lo único que hay que hacer es construir el número r=r₃r₂r₁ y pasarlo a base decimal. El número en base decimal nos indica el lugar en el que se ha cometido el error. La razón se deduce de la siguiente tabla (recordemos que este código sólo corrige un error):

Hagamos el proceso en una de las palabras erróneas, por ejemplo en 1001000.

s1= 0, p1= 1. Entonces r1 = 1

s2= 0, p2= 0. Entonces r2 = 0

s3= 0, p3= 1. Entonces r3 = 1

El número r será 101, que en base decimal se corresponde con 5, por lo tanto la cifra que ocupa el lugar 5 es errónea, así, la palabra correcta será 1001100.

Y los detalles que quedan se los dejo al lector, que puede ojear las referencias si quiere más información.

• Códigos numéricos: NIF, ISBN…

LEZAUN, M. (2009): Matemáticas para detectar y corregir errores [pdf]. Números, nº 71, 87-100

 BEATO, J. (2008): Códigos numéricos para la vida. Suma, nº 57, 43-54

http://www.gratisweb.com/juanfco20004/PAG.12-24.pdf

• Códigos correctores de errores

FERNÁNDEZ, P. (2000): Códigos, quinielas y empaquetamientos [pdf].

 LEZAUN, M. (2009): Matemáticas para detectar y corregir errores [pdf]. Números, nº 71, 87-100

LÓPEZ, J.A.; PERALTA, J. (2006): Las matrices, la base 2 y la tecnología digital[Pdf]. Suma, nº 51, 9-13

A continuación 3 problemas que aparentemente no tienen nada en común… aunque quién sabe. ¿Te atreves a resolverlos? Si lo haces tal vez descubras que son sangre de la misma sangre. ¡A por ellos!

• En una pizarra se escriben los números naturales desde el 1 hasta el 2n, siendo n un número impar. A continuación se escogen dos de esos números, se borran y en su lugar se escribe el resultado de restar al mayor el menor. Se continúa realizando el mismo proceso hasta que queda un único número en la pizarra. Probar que este número es impar.

• Ana y Beatriz, junto con otras 2009 personas, forman un corro, de tal manera que Ana y Beatriz no están al lado una de la otra. Ana y Beatriz juegan a tocar a una de las personas que tienen a su lado, la cuál tendrá que salir del círculo. Esto lo hacen de forma alternada, empezando Ana. Gana la persona que logre sacar del círculo a su oponente. ¿Hay alguna estrategía ganadora para alguna de las dos? Si es así, ¿para quién?

• Tenemos un cuadriculado de 8×8 y queremos saber si quedará infectado totalmente comenzando con menos de 8 cuadraditos infectados. Cuando un cuadradito queda infectado queda pintado de negro y se infecta si y sólo si hay dos cuadraditos adyacentes infectados, entendiendo por adyacentes el de arriba, abajo, izquierda y derecha, pero no los que le tocan en un vértice. Un ejemplo en el que quedaría totalmente infectado es el siguiente, pero se han utilizado 8 cuadraditos infectados:

Disposición inicial

Paso 1

Encuentra algún ejemplo comenzando con 7 cuadraditos infectados o demuestra que es imposible.

Como siempre, dentro de un mes pondré las soluciones junto con las fuentes de las que estos problemas proceden.

Hace tiempo que quería presentar en el blog el Proyecto Agrega, desde que me hablaron sobre él en este comentario. Por suerte (o igual no), hoy voy a tener que currarme poco el post, porque hace un tiempo que en “Tu blog en mi blog” ya presentaron dicho proyecto. Por ello, te invito a que te acerques hasta dicha página  y/o a que leas de qué va esto a continuación:

 Agrega es una plataforma de recursos digitales educativos, validados pedagógicamente, de acceso gratuito y pensada para la comunidad educativa.

Surge del esfuerzo conjunto del Ministerio de Educación de España, Red.es y las Comunidades Autónomas, con el objetivo de facilitar a docentes y padres una herramienta útil para integrar las Tecnologías de la Información y la Comunicación en el aula y en el hogar.

Los contenidos digitales educativos de Agrega son objetos multimedia elaborados por expertos y adaptados al currículo español de enseñanza reglada no universitaria. Son de uso libre y gratuito y están disponibles en todos los idiomas oficiales de España e inglés.

Nuestros recursos didácticos pueden compartirse y modificarse para adaptarse a las necesidades específicas de cada alumnado y pueden reproducirse en entornos de aprendizaje virtual.

Así mismo, Agrega ofrece acceso a Simuladores para la Formación Profesional que facilitan la adquisición de conocimientos mediante la experimentación en entornos que reproducen situaciones reales.

Agrega es además una comunidad virtual donde padres y docentes pueden aportar sus contenidos, valorar los recursos disponibles y participar con sus comentarios haciendo llegar sus experiencias a los demás miembros.

Con el objetivo de mantenernos en contacto con la comunidad educativa estamos presentes en la red social a través de nuestros perfiles en Twitter, Facebook, Vimeo, flickr, etc. y a través de nuestro blog mantenemos informados a docentes y padres de las principales novedades de la plataforma y de todos aquellos temas relacionados con las TIC y la educación que creemos les puedan interesar.

Queremos ser un referente para todos aquellos interesados en la educación 2.0. Si este es tu caso no lo dudes y entra a formar parte de Agrega.

Hace unos días recibí un e-mail en el que se me hablaba de, por lo menos aparentemente, un interesante curso destinado a niños de 6-12 años con el que se pretende que éstos aprendan matemáticas de una manera amena y divertida a través del ordenador. Curiosamente la página del curso tiene el mismo nombre que este blog: www.matematics.es

El responsable de comunicación, Carlos Mir Riera, me envió documentación (nota de prensa) sobre este recurso. Al final del post la tienes en formato Word o Pdf por si te la quieres descargar. También te dejo con sus palabras. Para qué usar otras :

Desde www.Matematics.es te presentamos un programa educativo online totalmente innovador en España, que contempla el currículo académico oficial de la LOE de 1ero a 6xto de Primaria en la asignatura de matemáticas, con el fin de servir de apoyo a la materia impartida en el colegio.

Teniendo presentes los cambios que se están llevando a cabo actualmente en la enseñanza de los más pequeños (camino de la digitalización con la inclusión de ordenadores portátiles y pizarras digitales en las aulas), www.matematics.es se erige como el primer soporte online para que los niños a modo de videojuego, disfruten de las matemáticas y aprendan su asignatura más complicada, sin que ello les suponga algo cansino y sin interés. Los padres pueden llevar un total seguimiento de los avances de su hijo y conseguir que paralelamente a la escuela, éstos sigan las mismas unidades en www.matematics.es, a modo de juego.

 

Y me parece que la mejor forma de informarse sobre este programa es ¡probarlo! En la propia página hay una versión de prueba. La persona interesada tiene que dirigirse a la página web, facilitar su nombre y una dirección de e-mail. Allí le llegará una cuenta de usuario y contraseña válidas durante 24 horas. Si una vez probado la persona sigue interesada, podrá hacer uso de él por el precio de 99 € al año o 25 € trimestrales.

 La verdad es que no tengo ni idea de qué tal está el programa o de si merece la pena porque no he podido probarlo debido a la lentitud de mi conexión. Estaba esperando a ver si lograba conectarme con una conexión más rápida, pero me parece que no va a poder ser en bastante tiempo, por ello me he decidido a hablar sin probar. Así que el lector tiene la palabra. Si lo prueba me gustaría que dejara reflejadas sus apreciaciones.

De todas formas quiero dar mi opinión: un recurso es eso, un recurso. No pensemos que un recurso por sí sólo nos va a resolver nuestros problemas o que es una panacea. Hay que tener en cuenta muchas cosas; una de ellas es el contexto en el que estudiamos, trabajamos, aprendemos. Internet, los recursos informáticos… tampoco son una panacea por sí solos. Una de las desventajas de los libros de texto es que son muy rígidos y que su contenido es muy general, no hay ejemplos reales de la vida cotidiana propia del alumno. Un recurso interactivo tiene la ventaja de que nos permite aprender haciendo uso de un mayor número de sentidos y con una mayor interactividad pero, si nos “lanzamos en sus brazos” sin más, puede que nos demos de bruces con el duro suelo, porque igual que pasaba con el libro de texto, aquí también nos podemos encontrar con unidades rígidas y descontextualizadas, que no sirven de mucho por sí solas, incluso aunque sea más divertido teclear que usar un lápiz. Por ello bienvenidos los recursos interactivos, sí, pero siempre que los supeditemos al contexto y necesidades del alumno y no al revés.

NDP MATEMATICS-educaci ón digital (pdf)

NDP MATEMATICS (word)

Este post surge a raíz de dos imágenes que he visto recientemente. Una en el post “Fractales desde la prensa” y otra en “Stop Playing With Yourself“, y que son las siguientes:

Me gustaron tanto que me decidí a realizar una búsqueda de más muebles matemáticos. Es una búsqueda poco exhaustiva, por lo que invito al lector a que me deje más enlaces que conozca sobre esta temática… ¡Quién sabe! La casa que va a ser mi hogar durante este año apenas está amueblada. No estaría mal hacerse con alguno de estos muebles.

Después de cada imagen aparece el enlace del que lo he sacado. Te invito a que te acerques por el sitio, porque a veces te cuentan cosas interesantes:

Estantes de ecuación matemática

Estantería de cocina (II)

Inspiración tetris

Mesa fractal

Taburete 72 grados de Victoria Gunzler

OBSESSION: Dust Furniture

Un diseñador desconocido, un mueble eterno

Mobius

Mesa Rubick

Y para que no sea todo matemáticas:

Tipografía con mobiliario

[Actualización]: Eva M. nos propone unos cuadros con “pinturas matemáticas” para darle un poco más de “colorido” a nuestra casa (más en el enlace):

El fotógrafo de fórmulas

Joaquín García pone las lámparas para que no nos quedemos a oscuras. Si necesitáis alguna no dudéis en comentárselo a sus alumnos del Taller de Matemáticas que ya tienen experiencia en esto (pincha en los enlaces para más información sobre el asunto y más imágenes):

Lámpara fractal 1

Joaquín también me habla de unas lámparas geométricas de la que, desgraciadamente, ahora mismo no tiene fotografía:

El curso pasado también construimos unas lámparas geométricas con (10 y 12) cuadrados de papel en los que recortamos un polígono:

http://i-matematicas.com/blog/?p=11

unimos 5 de ellos con grapas quedando en el interior un pentágono. Con otra pieza de 5 cuadrados como la anterior, grapamos los extremos obteniendo una especie de toro y como lámpara quedó genial. La pena es que no tengo fotos ni hice entrada en mi blog. Como este año volveremos a repetir la experiencia, la anunciaré.

¡Gracias a los dos por las aportaciones!

[Actualización]: Parece que al final Joaquín ha hecho un post para las lámparas geométricas. A continuación algunas fotografías:

]]> http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/10/muebles-matematicos/feed/ 8 F.arSa muebles-fractal mueble-puzzle estantes ecuacion estanteria_cocina_tangram tetris-muebles-296x300 mesa fractal taburete mueble hiperbólica moebius-mesa mesa mobius mesa rubick tipografia-muebles Cuadro Euler lamparafractal1 lampara1 matematicasenuncuadrado41 http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/08/la-centena-cuadriculada-un-buen-recurso-para-hacer-matematicas/ http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/09/08/la-centena-cuadriculada-un-buen-recurso-para-hacer-matematicas/#comments Tue, 08 Sep 2009 08:45:40 +0000 Sara http://sferrerobravo.wordpress.com/?p=1478 ]]>

Mucho se ha hablado y se habla en el ámbito de la educación matemática, quizá desde el empujón que Pólya dio, de la resolución de problemas, de que los estudiantes aprendan a introducirse en el mundo matemático y en el quehacer propio de un matemático. Con la resolución de problemas se pretende que el estudiante se haga con todas las herramientas necesarias (contenidos relacionados, estrategias…) para intentar llegar a una solución (o a varias) de un determinado problema del que a simple vista no se sabe cómo abordarlo. Esto es lo que lo distingue de un mero ejercicio: hay que hacer uso de todo tipo de recursos para llegar a buen puerto, un puerto del que sólo conocemos su nombre, pero nada de cómo acercarnos hasta él.

Quizá menos se ha hablado de otro aspecto muy importante, desde mi punto de vista, del quehacer matemático: el planteamiento de problemas propios, la búsqueda de patrones y regularidades y la posterior demostración ⁽¹⁾. Está muy bien resolver problemas matemáticos; a mí es algo que me ha llegado a apasionar, pero esos problemas, sino todas, la mayoría de las veces han sido inventados por otros. Sin embargo poco sé de cómo crear problemas propios y admiro mucho a esas personas que sí saben. Creo que la invención de problemas, el encontrar patrones… es ir un paso más allá de la mera resolución de problemas. Este aspecto es el que pretendo tratar en el post, y para ello hago uso de un recurso que puede parecer muy tonto a simple vista, pero como lo que se ve a simple vista no suele coincidir con lo que es, invito al que está leyendo estas letras a que le dé una oportunidad a la centena cuadriculada, esa que le mira suplicante justo desde debajo de estas líneas.

Sí, una tabla 10×10 con los números del 1 al 100 parece algo tan simplón que por lo menos nos invita a dudar de su eficacia. Sin embargo, es un recurso tan “maleable” que nos permite trabajar y hacer matemáticas tanto con estudiantes de infantil como con los de educación superior. Por si al lector todavía le quedan dudas, esta tabla es protagonista en la páginas números 96-97 (en el estándar de Álgebra⁽²⁾ de la etapa Pre-K-2, que se corresponde con infantil y primer ciclo de primaria aquí en España) y en la 127 (en el estándar de Razonamiento y Demostración de la misma etapa) del libro de “obligada” lectura (o por lo menos consulta) para cualquier docente de las matemáticas: “Principios y Estándares para la Educación Matemática” del NCTM. Veamos las alabanzas que se hacen de ella en las mencionadas páginas:

Contar a saltos con diferentes números, sobre cuadrículas numeradas del 1 al 100, permite crear una variedad de patrones que los alumnos pueden reconocer y describir con facilidad.

Simultáneamente, los profesores pueden utilizar estas cuadrículas para ayudarles a aprender acerca de los patrones numéricos y evaluar su comprensión de los patrones de conteo. Los profesores pueden darse cuenta de si los alumnos comprenden la correspondencia entre el patrón visual formado por los números coloreados y el patrón de conteo, formulando preguntas como las siguientes: Si cuentas de 10 en 10, empezando en 36, ¿cuál es el próximo número que debes colorear? Si continúas contando de 10 en 10, ¿tendrás que colorear el 87? Usar una calculadora y un cuadriculado del 1 al 100, capacita a los alumnos para ver el mismo patrón en dos formatos diferentes.⁽³⁾

Encontrar patrones en un tablero de cien casillas permite a los alumnos relacionar los patrones visuales con los numéricos, y formular e investigar conjeturas. Los profesores extienden el pensamiento de los alumnos explorando más allá de sus observaciones iniciales. Éstos describen con frecuencia los cambios en los números o los patrones visuales, a medida que se desplazan hacia abajo por las columnas o a través de las filas. Por ejemplo, si se les pide que coloreen los números de tres en tres, empezando en el 3, es probable que todos no vean el mismo patrón: “Unas filas tienen tres y otras cuatro” o “el patrón va lateralmente a la izquierda”. Algunos alumnos, observadno las diagonales, no seguirán contando de tres en tres para completar la tarea. Los profesores necesitan pedir a estos alumnos que expliquen a sus compañeros cómo saben colorear sin contar. También pueden ampliar el razonamiento matemático de sus alumnos proponiéndoles nuevas cuestiones y pidiéndoles que argumenten sus respuestas. “Encontraste patrones al contar de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de diez en diez en el tablero. ¿Crees que habrá patrones si cuentas de seis en seis, de siete en siete, de ocho en ocho o de nueve en nueve? ¿Qué pasará si lo haces de once en once, de doce en doce o con cualquier otro número? Los alumnos podrían ampliar sus exploraciones de estos y otros patrones numéricos más allá del 100.

Pero no sólo la ya conocida tabla puede ayudarnos a crear buenas prácticas en Infantil. Una tesis realizada en la Universidad de Granada, a la que me habría gustado echar una ojeada, tiene por nombre: “La Tabla-100. Representaciones geométricas de relaciones numéricas. Un estudio con profesores de primaria en formación.” Una pena conocer únicamente el título. Espero que el lector pueda hacerse con ella si le interesa el tema.

Finalmente, un artículo muy interesante es “Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. El artículo se basa en una experiencia con este recurso llevada a cabo con un grupo de estudiantes para profesor de secundaria. En él se nos acercan las habilidades que se pueden desarrollar con estos 100 números:

• Reconocer y describir patrones numéricos
• Usar variables para expresar relaciones matemáticas
• Formular y probar conjeturas
• Comunicar ideas matemáticas

 Y éstas son las tareas que se les propusieron a los estudiantes:

• Explorar las centenas cuadriculadas y señalar algunos usos que pueda dárseles.

• Trabajando por parejas, desarrollar las actividades que se indican en cada una de las hojas que contienen una centena cuadriculada.

• Trabajando en parejas, construir otras versiones de centenas cuadriculadas e identificar en ellas patrones numéricos (si es que hay alguno)

• Reunidos en grupo total, compartir ideas, discutir hallazgos, y resolver diferencias de opinión, si es que hay alguna.

Entre las actividades que se incluían en el punto 2 se encuentra:

• Señalar la mayor cantidad de nociones matemáticas que observaban en la centena cuadriculada.

• Tratar de establecer alguna relación entre el número incluido en una celdilla cualquiera y la posición de ésta dentro de la centena cuadriculada. Buscar una notación adecuada.

• En esta figura se ha dibujado un cuadrado alrededor del 12; esta figura será llamada cuadrado de cuatro puntos alrededor de 12 porque como vértices tiene los cuatro números, 2, 13, 22, y 11, y como centro tiene al número 12. Dibuje y denomine otros cuadrados de cuatro puntos. ¿Cuál es la relación existente entre los vértices y el centro? Elabore una conjetura y trate de demostrarla.

• A partir de aquí los estudiantes fueron invitados a que exploraran la centena cuadriculada y formularan conjeturas en la búsqueda de nuevas relaciones algebraicas existentes entre sus elementos.

En el artículo aparecen también unas cuantas conjeturas hechas por los estudiantes y sus respectivas demostraciones rigurosas. Muy interesantes, por cierto… En un principio pensé en poner en este post algunas junto con otras que la que escribe descubrió, pero he preferido dejar este territorio puro para que la lectora, lector no se vea contaminado por las carreteras y autopistas demasiado recorridas y pueda descubrir nuevos o viejos caminos por ella misma o él mismo. Me gustaría mucho que estas palabras fueran enriquecidas con un montón de comentarios con conjeturas y demostraciones. Con un poco que investigue, el que lee esto se dará cuenta de la potencia como recurso de la centena cuadriculada⁽⁴⁾.

¿Y qué utilidad le podemos dar a este recurso en Primaria y Secundaria? Creo que no es difícil llegar a la conclusión de que se pueden realizar las mismas actividades que se les propusieron a estos aspirantes para profesor pero siendo menos rigurosos en las demostraciones y en la notación utilizada. Lo bueno de ser una actividad tan abierta es esa: nos permite trabajar con chicos y no tan chicos de múltiples edades.

Ahora, ya sabes, es tu turno. Dentro de un mes más o menos (ya saben mis lectores asiduos que no suelo cumplir muy bien los plazos) escribiré un nuevo post en el que se presenten algunas de las conjeturas y demostraciones que aparecen en el artículo y que aparecerán (espero) en comentarios.

Ya por último me gustaría mostrar otros dos tipos de centena cuadriculada de los muchos que hay (el límite sólo viene impuesto por el mayor o menor grado de imaginación):

[Actualización]: Conjeturas y demostraciones en la Centena Cuadriculada.

Notas:

1) Es cierto que este aspecto se puede tratar de alguna manera dentro de la resolución de problemas: una vez resuelto el problema se pueden buscar e inventar otros afines. De todas formas me da la sensación, aunque ojalá me equivoque, de que esto no aparece  demasiado ni siquiera en las aulas en las que la resolución de problemas es bienvenida.

2) Igual te sorprende que se hable de álgebra en edades tan tempranas. Si es así te invito a leer un artículo que escribí hace tiempo: Early-Algebra: ¿álgebra en Primaria?.

3) ¿Usar la calculadora? Sí, la calculadora no es ese monstruo terrorífico e intocable que desde algunas esferas nos pretenden hacer creer. Aunque sea barrer para casa de nuevo te invito a leer este otro artículo sobre el tema.

4) Si quieres puedes incluso echar una ojeada al post: “Matemáticas en el calendario“, que tiene algo que ver con todo esto.

Como hoy no tengo muchas ganas de escribir y me he encontrado este interesante post de Jose Alayo con 5 demostraciones visuales, voy a rescatar dos de ellas (las que me parecen menos conocidas) para deleitar los ojos y la mente inquieta del lector o de la lectora. Las imágenes las he copiado de ese mismo post.

1) La suma de las potencias de 1/3 es igual a 1/2, es decir:

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + … = 1/2

2) La suma de las potencias de 1/4 es igual a 1/3, es decir:

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … = 1/3

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es/

Ayer escribí este post. Bien, pues el caso es que una mosca cojonera no paraba de molestarme en la mente. Esa mosca cojonera era la idea de que había leído en un libro de Ian Stewart un capítulo relacionado con este tema. El caso es que como ando en, por lo menos, dos mundos diferentes, y el libro lo tenía en el otro mundo, no pude confirmar mis sospechas hasta hoy… Y sí, ahí estaba él, esperando a que le echara una ojeada. Desde luego, lo primero que hice es releer el capítulo para comprobar que no había nada nuevo. El que está leyendo estas líneas seguramente sospecha, acertadamente, que sí que había algo digno de contar (o por lo menos que a mí me lo parece) y que “eso” va a aparecer aquí debajo. Aunque te cueste creerlo, el Triángulo de Sierpinski nos lo podemos encontrar todavía en otro paraje matemático diferente, pero dejemos a Stewart que hable:

Ron Menendez, de Chatman, Nueva Jersey, señaló otro ejemplo más del triángulo de Sierpinski. Dibuje tres puntos A, B y C en el plano en los vértices de un triángulo equilátero, y elija de forma aleatoria un punto de partida X en el plano. Escoja al azar uno de los vértices A, B o C, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 1/3. (Por ejemplo, lance un dado y establezca que 1 o 2 corresponden a A, 3 0 4 a B y 5 o 6 a C.) Encuentre el punto intermedio de la línea que une X con el vértice elegido: ésta es la nueva posición de X. Ahora repita, eligiendo siempre un vértice A, B o C de forma aleatoria y moviendo X al punto intermedio entre su posición actual y ese vértice. Aparte de unas cuantas posiciones iniciales en las que el paseo se <<asienta>>, ¡la nube de puntos resultante es un triángulo de Sierpinski!

Esto es bastante sorprendente dado su carácter aleatorio, pero la teoría de los fractales autosimilares del matemático Michael Barnsley lo explica. El triángulo de Sierpinski tiene tres esquinas A, B y C. Está construido a partir de tres copias de sí mismo, cada una de la mitad de su tamaño: esto es, se obtiene al reemplazar cada punto en el triángulo por el punto medio de la línea que lo une con A, con B, o con C. Esta característica del triángulo corresponde a las reglas para el paseo aleatorio. Barnsley ha demostrado que, con probabilidad 1, cualquier paseo aleatorio que siga las reglas <<converge>> con el triángulo, lo que significa que después de unos cuantos pasos cada punto que dibuje se encuentra muy cerca del triángulo.

Lo bonito de este ejemplo es que el triángulo emerge de forma bastante azarosa de una nube de puntos, en lugar de ser dibujado por partes.

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es

¡Casi se me olvida! El libro de Ian Stewart en el que aparece esto es “Cómo cortar un pastel”. No te olvides tampoco de echar un ojo a esta página de Eduteka si quieres trabajarlo en clase. Pincha aquí para acceder a un applet (requiere Java). Si te apetece buscar más información por tu cuenta te recomiendo que busques por “Juego del Caos”.