El problema propuesto esta semana, por Fernando Blasco, es el siguiente (se puede ver el vídeo entrando en la página):

Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas. Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?

¡Suerte a todos!

Los calzoncillos de Möbius

Se reta al lector a “encontrar” más prendas de vestir (u otro tipo de objetos) que pertenecieran a Möbius.

PD: Por cierto, como nos dicen en la wikipedia, la “banda de Möbius”: Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Es decir, aunque se llame como se llama no podemos olvidarnos de Benedict.

El diario El País ha iniciado un concurso de resolución de problemas de Matemáticas relacionado con el Centenario de la RSME.

Necesitamos vuestra implicación para conseguir que los periodistas se
convenzan de que las Matemáticas venden y tengan buena disposición a
la hora de hacer divulgación matemática.

El concurso durará 30 semanas y podéis ver en qué consiste y el
primer problema aquí.

Sólo tenéis que entrar y votar el vídeo. Todos los viernes habrá un nuevo vídeo y os haremos llegar el link de cada problema.

También os pedimos que de la forma que os parezca más oportuna hagáis llegar este link a personas que estén dispuestas a resolverlo para que el número de respuestas que se reciban sea también grande (vuestros estudiantes, al profesor de matemáticas de vuestros hijos, conocidos…).

Vuestra colaboración es muy importante.

Un saludo del Comité para la Celebración del Centenario y de la RSME



Se celebrará el 7 de mayo en el IES José Zorilla de Valladolid y las inscripciones se pueden realizar en la página web del Centro Superior de Formación del Profesorado de Soria. Concretamente aquí:

http://csfp.centros.educa.jcyl.es/sitio/index.cgi?wid_seccion=18&wid_item=40

Sólo hay que buscar el congreso (con poner “competencia matemática” o incluso “matemática” valdría, por lo menos a día de hoy) y rellenar el formulario.

El congreso va dirigido a profesores de todos los niveles, desde infantil hasta la Universidad.

El periodo de inscripción es del 21 de marzo al 11 de abril.

La superación de esta actividad dará derecho a un certificado de formación de 10 horas equivalentes a 1.0 créditos y la asistencia es gratuita.

Para más información puedes descargarte un folleto en el enlace:

Díptico congreso

Así que si no tienes planes para el sábado 7 de mayo y te apetece pasar un buen rato y aprender en compañía de un montón de compañeros… te esperamos.

AB y CD son dos diámetros perpendiculares de una circunferencia. La recta  es perpendicular a CD en E. Llamamos F al punto de intersección entre la recta AE y la circunferencia, y L al punto de intersección de las rectas   y OF. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo ELF?

Solución:

La recta EL es paralela a la recta AO. Entonces, de acuerdo con el teorema de Tales, en el triángulo OFA tenemos:

Ahora bien ,  siendo R el radio del círculo. Entonces

de donde concluimos que  .

Luego, el triángulo LEF es isósceles en L.

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¿A qué viene todo esto? Pues viene a lo mucho que me sorprendió una experiencia que llevó a cabo Antibi  en 1994 (sí, ya sé que mucho ha llovido desde entonces, pero aún así me parece interesante) en Francia (Toulouse) con algunos profesores, y que redacta en su libro “La constante macabra”. Quería saber si sus resultados se repetían.

Dejo que el propio Antibi cuente esta experiencia en 4 etapas (llevada a cabo por tres grupos con resultados análogos):

Primera etapa:

Como primer punto, debían elegir un ejercicio de geometría que consideraran como muy clásico para alumnos de final de 3º de ESO o comienzo de 4º de ESO.

Segunda etapa:

A continuación, cada uno de nosotros tenía que redactar, sobre una hoja, una solución de este ejercicio de la manera que desearíamos que un alumno de ese nivel lo hiciese en un examen de control. Además, nos habríamos puesto antes de acuerdo sobre la solución pretendida.

Tercera etapa:

Una fotocopia con todas las soluciones fue distribuida a cada miembro del grupo; luego, cada uno corrigió todas las soluciones (comprendida la suya) como lo hace habitualmente después de un examen. La puntuación máxima del ejercicio era de 5 puntos.

Cuarta etapa:

Cada uno de nosotros debía hacer públicas las notas que había puesto, justificando los puntos que no había concedido.

Los resultados:

La tabla contiene las calificaciones puestas por el primer grupo.

Los resultados de los otros dos grupos son análogos.

Las calificaciones puestas por cada corrector figuran en cada columna.

En la tabla podemos constatar que hay una columna que tiene solamente 5: es la que corresponde a las notas que yo puse, la columna 10. Efectivamente, es así como yo hubiera calificado a los alumnos de final de 3º de ESO o comienzo de 4º de ESO. Como fui el primero en terminar de corregir, pensé que no habría otra cosa que cincos en la tabla y que la actividad que había propuesto no tenía gran interés, ya estaba incluso pensando en el tema siguiente. ¡Comprenderéis entonces mi gran sorpresa, compartida además por todos los colegas del grupo, al ver las notas que habían puesto!

Conviene señalar que una diferencia de 1 punto sobre un total de 5 corresponde a un total de 2 puntos sobre 10; es la misma diferencia que hay, por ejemplo, entre 5,9 y 7,9; es decir, ¡entre una calificación de bien y una de notable, e incluso en algunos casos de sobresaliente!

Muchas veces se da un toque de humor aun en las situaciones más serias. En la diagonal de la tabla se podría esperar que todas las notas fueran 5 dado que corresponden a las notas que los profesores debían adjudicar a su propia solución. No es el caso en esta ocasión. En efecto, entre el momento de la redacción y el de la corrección, ciertos colegas se dieron cuenta de que, en definitiva, ¡algunas partes de su propia solución no les satisfacían!

Sorprendente, ¿no es cierto? Seguramente ahora te estés preguntando qué tiene que ver exactamente esto con la cuestión de arriba. ¡Muy fácil! Esa fue la pregunta que Antibi hizo y que él mismo contestó. Antibi vuelve a explicarnos qué pasó respecto a esta pregunta:

Entre los nueve colegas del grupo que corrigieron mi solución, cinco no la encontraron satisfactoria. Tres aspectos fueron considerados como incorrectos:

a) Se afirma que $latex \Delta$ y AB son paralelas sin justificación.

b) Los teoremas utilizados no están escritos bajo su forma general.

c) No se precisa que el teorema de Tales fue utilizado bajo la forma Tales triángulo.

Más precisamente:

Podemos constatar que:

Por un lado, una misma falta resta nota de manera diferente dependiendo del corrector, este es un problema de evaluación clásico.

Por otro lado, las partes consideradas como incorrectas no son las mismas. Además, ciertos colegas, cuatro sobre nueve, no quitaron ningún punto.

En mi opinión, este último aspecto es el más preocupante pues la mayoría de los alumnos corre el riesgo de no poder distinguir lo correcto de lo incorrecto y, en consecuencia, de tener una mala imagen de las matemáticas.

No quiero añadir mucho más a las palabras de Antibi. Cada uno que saque las conclusiones que quiera. Lo que sí voy a hacer es aprovechar para recomendar el libro de Antibi, “La constante macabra“. En Google Libros podemos hacernos una idea gracias a una vista restringida del libro. Para el que sienta curiosidad sobre el nombre creo que está muy bien el siguiente párrafo de la Introducción (Pág. 14):

El objetivo principal de este libro es resaltar una disfunción importante de nuestro sistema educativo: si en un trabajo o en un examen cierto porcentaje de alumnos no suspende, la evaluación es en general considerada como no fiable, “anormal”. Esta proporción constante de alumnos que suspenden, hagan lo que hagan, será definida como “constante macabra”.

Pero el libro habla de muchos más tópicos que el de la “constante macabra”. Me parece interesante porque rompe con muchos esquemas que de alguna manera pueden parecer totalmente acertados en el mundo educativo, pero que en realidad sólo lo son porque llevan vigentes mucho tiempo y porque de alguna manera, igual que pasa en casi cualquier ámbito, una vez que nos hemos acostumbrado a una forma de actuar y a unos hábitos dejamos de preguntarnos por su validez.

Supongamos que tenemos un círculo de 10 centímetros de diámetro. Dentro de él, marcamos 2 millones de puntos. Convénzase (y convénzame) de que, no importa cómo estén distribuidos esos puntos, siempre se puede trazar una recta que deje 1 millón de puntos de un lado y 1 millón de puntos del otro.

Desde luego, te reto a que encuentres una solución sin mirar el libro y a que la dejes en comentarios.

Por cierto, por si no conoces el resto de libros de Adrián Paenza, a continuación te dejo los enlaces:

• Matemática… ¿Estás Ahí?
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 2
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 3.14
• Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 100

¿Qué haces todavía aquí? ¡El libro de Adrián te espera!

Somos unos cuantos los que utilizamos la prensa en nuestras clases como recurso para acercar las Matemáticas al mundo real, por ello este año la celebración del día escolar de las Matemáticas nos puede servir para organizar un poco los artículos que cada uno conocemos y que en algún momento hemos utilizado en clase. Os invito y os animo a participar en una wiki que he creado para clasificar los artículos por categorías y de este modo facilitar su uso en el aula. El día 12 de Mayo no tiene por qué ser la fecha límite, sino que cuando veamos un artículo y nos apetezca clasificarlo de algún modo podríamos ir metiendolo en la wiki.

http://prensamatematica.wikispaces.com/

Ya sabéis que esta wiki no es mía, la hacemos entre todos, es de todos y la utilizamos todos. La wiki del número pi, quedó muy chula y sigue abierta a todo el que quiera hacer su aportación. Espero que ésta también nos sea de utilidad y nos permita utilizar este recurso de forma más cotidiana. Mandaré invitaciones a todos los que ya participastéis en la wiki del nº pi, a los demás si os interesa decidmelo para invitaros.

Muchas gracias a todos los que os animéis a participar y los que no lo tengan claro que al menos se den una vuelta para ver lo que estamos haciendo.

No tengo mucho que añadir, únicamente que muchos granos de arena pueden conformar un castillo precioso, pero para eso se necesita la colaboración de muchas manos: esperamos también la tuya.

Aquí puedes leer la entrada completa.

A continuación uno procedente de uno de los libros más populares sobre el tema: “Juegos y problemas de ajedrez para Sherlock Holmes”, de Raymond Smullyan. Éste me gusta especialmente por su mezcla de sencillez y complejidad: no requiere realizar largos razonamientos lógicos, en realidad sólo requiere uno, pero quizá más intuitivo que en la mayoría de los casos, es decir, no hay que recorrer muchos y largos caminos, pero hay que dar un salto bastante grande para llegar a la meta. Dice así:

En esta partida ninguna pieza movió de una casilla blanca a una negra y viceversa. En qué casilla está el alfil blanco, ¿en la e3 o en la e4?

¿En qué casilla se sitúa el alfil?

Si después de un rato no se te ocurre nada siempre puedes echar una ojeada a la pista, pero cuidado, porque igual te desconcierta más que te ayuda:

Pista.- Se podría quitar el alfil del tablero y exponer el problema de la siguiente manera, siendo el razonamiento análogo: En esta partida ninguna pieza movió de una casilla blanca a una negra y viceversa. Existe otra pieza en el tablero. Esa pieza, ¿está en una casilla blanca o negra?

Es bastante probable que la persona que esté leyendo estas líneas se haya imagino ya la razón del título del libro: es evidente que el día en el que nació Daniel no había una sola nube en el cielo, y, sin embargo, nada más lejos de la verdad… Dejemos a Daniel que nos lo explique:

Nací el 31 de enero de 1979, un miércoles. Sé que era miércoles porque para mí esa fecha es azul, y los miércoles siempre son azules, como el número nueve o el sonido de voces discutiendo.

Así empieza Daniel su libro y así empezamos nosotros a sospechar que lo que se esconde entre las líneas del libro y en la vida de Tammet no va a ser algo corrientucho… y ciertamente no lo es, o por lo menos en parte.

El libro de Daniel nos habla de Síndrome de Asperger, de epilepsia, de obsesión, de marginación, de una niñez solitaria, del aislamiento que produce el ser raro, de ansiedad, de miedo…, pero también de superación, de amistad, de amor, de sinceridad, de sinestesia, de una capacidad sobrenatural para aprender idiomas, de una forma muy peculiar de hacer operaciones y de “relacionarse” con los números… y, por encima de todo, nos habla de una persona, de un corazón más, un corazón que late, un corazón que se oye a través de cada una de las páginas del libro si se escucha con atención y no nos quedamos en la superficie. Un corazón que, en el fondo al igual que todos, nos susurra: “No te quedes en las apariencias, no te quedes en la piel. Debajo de todo eso estoy yo, esperándote, con los brazos abiertos de par en par. ¿Serás capaz de dar el paso?”. En definitiva, el libro de Daniel es un libro en el que se entremezcla lo cotidiano con lo anecdótico, un libro que grita: “Mírame, soy una persona más; aunque sea raro, por debajo de todo eso sigo siendo una persona, y no merezco ser marginado”.

¡Qué más decir! Que te sugiero que lo leas. Te puedes descargar el primer capítulo (en cualquiera de los dos enlaces) para ir abriendo boca hasta que te hagas con él:

http://www.editorialsirio.com/datos/colecciones/pdfs/9788478085507.pdf

 NacidoEnUnDiaAzul-Capitulo1

Y si no has leído “El curioso incidente del perro a medianoche”, que también es del mismo estilo, te invito a hacerlo.

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

• Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.

• ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?

• Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.