Siguiendo la tónica de Problemas para desengañarse, te propongo aquí algunos problemas más. Todos proceden del maravilloso libro Inspiración, ¡Ajá!, de Martin Gardner. Teniendo en cuenta que ya te has entrenado con los otros y que éstos son en la mayoría más fáciles, seguro que no te cuesta mucho llegar a una solución:

• 1.- La semana pasada conseguí apagar la luz de mi dormitorio y meterme en la cama antes de que la habitación quedase a oscuras. Hay tres metros desde la cama al interruptor de la luz. ¿Cómo pude apañármelas?

• 2.- Siempre que mi tía viene a visitarme a mi estudio tiene que bajar del ascensor cinco plantas antes, y subir andando por la escalera hasta mi piso. ¿Puedes explicar por qué?

• 3.- Una noche, aunque mi tío estaba leyendo un libro apasionante, su mujer le apagó la luz. La sala estaba oscura como el carbón, pero mi tío siguió leyendo sin inmutarse. ¿Cómo es posible?

• 4.- Esta mañana se me cayó un pendiente en el café. Y, aunque la taza estaba llena, el pendiente no se mojó. ¿Y eso?

• 5.- A mi padre, que iba sin paraguas ni sombrero, lo pilló ayer un chaparrón. La ropa se le empapó, pero pese a llevar la cabeza descubierta, no se mojó ni un pelo. ¿Cómo lo explicas?

• 6.- En una línea de ferrocarril, el tendido tiene doble vía excepto en un túnel, que no es lo bastante ancho para acomodar ambas. Por ello, en el túnel la línea es de vía simple. Una tarde entró un tren en el túnel marchando en un sentido, y otro tren entró en el mismo túnel, pero en sentido contrario. Ambos iban a toda velocidad; sin embargo no llegaron a colisionar. ¿Cómo es posible?

• 7.- Un preso fugado iba caminando por una carretera comarcal cuando vio acercarse velozmente un auto de la policía. Aunque la intención del fugado era huir hacia el bosque, echó a correr 10 metros en dirección al vehículo que se acercaba. ¿Hizo esto para mostrar su desdén por las fuerzas del orden, o pudo tener otra razón más poderosa?

Creo que las aulas están repletas de diálogos de sordos. Ante preguntas que flotan en el aire, como pompas de jabón, los niños también dan respuestas muy alejadas de su realidad cotidiana. A lo largo de su escolarización el niño se hace a la idea de que una vez que traspasa las puertas de la escuela tiene que dar de lado su forma de razonar en la vida cotidiana y construir una nueva, casi me atrevería a decir que basada en la fe, que más o menos viene a decir: “lo que el profesor dice está bien siempre aunque no tenga sentido para mí. Tendré que aprenderme todo ese galimatías de memoria”.

También opino que demasiadas veces no se da al estudiante la oportunidad de expresarse y justificar su respuesta, que no tiene por qué ser tan incoherente como se imagina el maestro o le puede permitir ver a éste último dónde está estancado el discente, sobre todo si es un error generalizado. En este sentido me gustaría reflejar aquí varias respuestas de estudiantes (la mayoría de matemáticas) y analizarlas en cierta medida.

Pregunta: Dibuja una bandera de España

Respuesta: El estudiante dibuja la bandera de Castilla y León.

Opinión: Debo reconocerme como “culpable” de dicha respuesta cuando tenía unos 8 ó 9 años. Mi maestro no comprendió mi punto de vista y me echó una reprimenda, pero lo cierto es que los estudiantes no pueden estar en la cabeza de sus profesores. A mí me parecía que la bandera de Castilla y León era una bandera de España, ya que Castilla y León se encuentra en España, pero mi maestro quería que dibujara LA bandera de España.

Pregunta: Ves a una anciana en un paso de peatones con intención de pasar. ¿Qué haces?

Respuesta: Le digo: ¡Buenos días, señora!

Opinión: ésta es una respuesta que dio mi hermana María cuando era muy pequeña en un examen. Aunque la respuesta esperada es: “ayudarla a pasar”, en realidad, esa cuestión es tan abierta que admite, a mi entender, muchas respuestas. Además, no me parece una pregunta muy acertada para un examen, porque el responderla “correctamente” no nos indica que eso se vaya a hacer en la realidad.

Representaciones de 5 y medio y 10 y medio por niños de Infantil ⁽¹⁾:

Opinión: creo que hay que dejar a los niños de estas edades que hagan representaciones propias, aunque más tarde se les introduzca en las universales. En realidad todos los símbolos matemáticos que conocemos son acuerdos y muchas veces han tenido una larga evolución (por ejemplo, el signo igual). ¿Por qué no permitir que los niños creen sus propias representaciones en un primer momento?

Pregunta ⁽²⁾: Propón un problema acorde con tu nivel.

Respuesta: Un conejo tiene 4 patas. Si una gallina tiene 2 patas y 2 ojos. ¿Cuántos ojos tiene el conejo?

Opinión: Respuesta de una estudiante de 3º ESO. Bueno, podría ser un problema de los que no se puede resolver con los datos que aparecen (la respuesta más lógica sería 2, pero también podría ser 1 ó igual 3), pero lo curioso es que esta estudiante lo “resuelve” y le da una solución de 4. Es claro que para esta chica las matemáticas son sólo un montón de entes abstractos sin ningún sentido y muy alejados de la realidad. Pero bueno, ¿quién la culpa?, este problema no se aleja demasiado de muchos otros que aparecen en los libros de texto.

Pregunta: Propón un problema acorde con tu nivel

Respuesta: Halla el área máxima de un rectángulo con forma de cilindro que tiene de área total 15 cm.

Opinión: Problema planteado por un alumno de 2º de Bachillerato de Ciencias Naturales y de la Salud. Aunque se intuye lo que quiere decir (un típico problema para ahorrar el máximo material con un determinado envase cilíndrico, como una lata de coca-cola) hay muchas confusiones entre las diferentes dimensiones, mezclándose cm con áreas y áreas con volúmenes (o capacidad).

Pregunta ⁽³⁾: Un camión del ejército transporta 36 soldados. Si hay que llevar a 1128 soldados al campo de maniobras, ¿cuántos camiones hay que utilizar?

Respuesta: Estudiantes de diversos niveles, a los que se había dado libertad para usar o no la calculadora, dan respuestas como: 31,3333333; 31, 33…; 31,3; 31 y bueno, también 32.

Opinión: ¿Se habría contestado de la misma manera si ese problema se hubiera presentado realmente en la vida cotidiana de los estudiantes? No lo creo, pero es que en la escuela el estudiante llega a “aprender” que la respuesta no tiene por qué tener un sentido en la realidad.

Pregunta: Giovanna y Paola van a la compra; Giovanna gasta 10.000 liras y Paola 20.000 liras. ¿Quién tiene al final más dinero en el monedero, Giovanna o Paola?

Respuesta:

• De una niña de 3º Primaria:

En el monedero tiene más dinero Giovanna.

30-10 = 20

10×10 = 100

• De una chica de 2º ESO:

Yo creo que es Giovanna Paola quien tiene más dinero en el monedero porque:

Giovanna gasta 10.000 y sin embargo Paola gasta 20.000

20.000 – 10.000 = 10.000 (dinero de Giovanna)

10.000 + 10.000 = 20.000 (dinero de Paola)

Opinión: A lo largo de su etapa escolar muchos estudiantes llegan a creer que todos los problemas tienen los datos justos y necesarios y que se pueden resolver. También se hacen a la idea de que las matemáticas no son más que números, signos y fórmulas que hay que aprenderse de memoria y sin ningún sentido. De ahí que surjan estas respuestas tan vacías, tan poco lógicas…

Pregunta ⁽⁴⁾: Un pastor tiene 125 ovejas y 5 perros, ¿qué edad tiene el pastor?

Respuesta y razonamiento seguido por una chica de 4º grado: 25 años, porque

125×5=625 ¡No! Son muchos años.

125+5=130 ¡No! Son muchos años.

125-5=120 ¡No! Son muchos años.

125:5 =25 ¡Sí! Esa sí puede ser la edad del pastor.

Opinión: Sin comentarios. Es clara la idea que esta estudiante tiene de las matemáticas, pero, la verdad, hay que aplaudir su razonamiento… Ahora habría que cambiar sus creencias de lo que son las mates.

Y bueno, para terminar, dejo a continuación algunas de las respuestas a exámenes que circulan por la Red y que seguramente ya habrás visto ⁽⁵⁾. La verdad es que habría que saber si estas respuestas son ciertas, si el estudiante las ha puesto por “reírse” un poco del profesor o si son respuestas dadas con toda la seriedad del mundo. Creo que la visión cambia mucho si estamos en un caso o en el otro.

1) Representaciones verídicas que se recogen en los “Principios y Estándares para la Educación Matemática” de la NCTM; de la versión traducida por la SAEM Thales.

2) Ésta y la siguiente son respuestas recogidas en el artículo “Matemáticas el primer día de curso. Un nuevo enfoque de la evaluación inicial”, de Antonio Israel Mercado Hurtado, publicado en Suma nº 56 (pp. 33-38).

3) Esta respuesta y la siguiente aparecen en el libro “Dificultades del aprendizaje de las matemáticas”, publicado por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte en 2001 (pp. 53 y 54).

4) Respuesta recogida aquí.

5) Las imágenes provienen de aquí.

Creo que es típica (bueno, no tanto, sobre todo ahora que hay calculadoras por todas partes, como en los móviles) la imagen en la que una cara asustada intenta hacer virguerías con un lápiz y un papel lleno de números, concentrándose en recordar esos malditos algoritmos de las operaciones elementales que hace tantos años le enseñaron en la escuela. Es muy revelador en estos casos comprobar cómo lo mecánico gana a la lógica, cómo no se intenta hacer nada por comprender por qué sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos como lo hacemos. Sí, la idea de que las matemáticas son sólo un conjunto de operaciones que hay que aprenderse de manera mecánica y sin rechistar suele estar en la cabeza de la mayoría (y yo me pregunto por qué, aunque la respuesta, evidentemente, está muy relacionada con la educación que hemos recibido).

En este sentido me gustaría mostrar un vídeo, en el que de una manera exagerada aparecen algunas dificultades que pueden ocasionar dichas operaciones, concretamente la división (sí, 25 entre 5, ¿cómo lo has adivinado?). Da-beat, de Nosolomates, nos informa en esta magnífica entrada de que el vídeo pertenece a la película “Ma and Pa Kettle“, de Charles Lamont, y que es la primera de una serie de películas protagonizadas por esos personajes. Da-beat se dignó a subtitularla en español porque no confiaba mucho en el conocimiento del inglés de sus lectores (y bien que hacía, por lo menos en mi caso) y he aquí el resultado (con algún gazapillo intencionado ):

Y una vez que lo hemos visto unas cuantas veces y nos hemos reído un rato nos toca analizarlo un poco, ¿no? Quizás despisten ciertas cosas, como los dos cajetines que aparecen en la división, uno para el divisor (a la izquierda del dividendo) y otro para el cociente. Pero esto está bien para darnos cuenta de que la colocación no tiene por qué seguir el orden que nosotros conocemos, es sólo un acuerdo… y no sólo eso, hay muchos algoritmos diferentes, aunque en la escuela, al final, sólo nos enseñen el supuestamente más eficaz ⁽¹⁾.

¿Y cómo es que cuando se hace la división, la multiplicación y la suma siempre obtenemos que 25 entre 5 es igual a 14? Si nos fijamos un poquito llegaremos a la conclusión de que aquí “da igual 8 que 80″, y nunca mejor dicho, porque no se respeta el orden de colocación de las cifras, es decir, no se distingue entre unidades y decenas, de ahí que 14 se convierta, en realidad, en 1+4, en todos los casos.

Y bueno, sólo queda preguntarnos qué podemos hacer para que hechos así, aunque menos exagerados, claro, no sucedan en las aulas y “en la calle”. No sé, a mí me parece que lo primero es que el niño comprenda los conceptos, desde luego, y que intente resolver los problemas de suma, resta, multiplicación y división (sencillos) sin enseñarles ningún algoritmo. Pronto se darán cuenta de que necesitan algo más eficaz cuando los números son grandes. Quizás ahí es cuando ya podemos enseñar algún algoritmo, pero me parece más apropiado comenzar por alguno más sencillo que el que actualmente usamos… y desde luego no nos podemos olvidar de la manipulación… Lo manipulativo me parece muy importante a estas edades y tiende un puente entre la abstracción matemática y la “realidad” cotidiana. No sé, igual me equivoco, pero de lo que sí estoy segura es de que la visión de las matemáticas como algo meramente mecánico tiene que acabar.

Y para terminar, ¿por qué no hacemos caso de lo único sensato que se dice en todo el vídeo y nos vamos a leer el blog de Nosolomates?

1) Aquí se puede ver el método ruso de multiplicación, así como el algoritmo de la multiplicación y de la división egipcia y la relación con el algoritmo que usan las computadoras. También, claro está, existen métodos gráficos de multiplicación, como el que se nos muestra en este vídeo. En este otro vídeo podemos ver una multiplicación en cuadrícula.. y mucho más, como el método en galera de la división, del que no he sido capaz de encontrar una página decente.

Soy un desastre para organizarme y cambio de opinión muy a menudo… de ahí que las soluciones sean sólo de enero y febrero y no también de marzo, como había quedado hace tiempo. Bueno, pues eso, de ahora en adelante pondré las soluciones cada dos meses (aunque espero que mi vagancia no me obligue a mostrároslas con dos meses de retraso, como ahora):

• Del Post Marta y sus años está todo dicho ya en los comentarios (gracias Jose y Laura).

• De Series poco serias, Jose ya solucionó la mayoría:

1.- Nos obliga a mirar más allá de la serie, porque la solución viene dada por el enunciado que la acompaña (cada número se corresponde con el número de letras de cada palabra, en orden, claro está).

2.- Ésta se entenderá mejor así: 1(uno), 11(un uno), 21 (dos unos), 1112 (un uno y un dos)… es decir, cada término nos indica el número de unos, doses… del término anterior, por orden creciente (primero unos, luego doses…)

3.- Se basa en el orden alfabético: cero, cinco, cuatro, dos…

4.- Ésta tiene su intríngulis en la letra con la que empieza: dos, diez, doce…

• En El gran juego se proponía un problema de ajedrez de carácter restrospectivo. La solución es la siguiente (para ver cómo se nombran las casillas puedes mirar aquí):

Lógicamente, la última jugada fue de las negras… y como sólo hay una pieza en el tablero (un rey), ésta es la que se ha movido. Vemos tres posibles casillas desde las que se ha podido desplazar el rey: a7, b7 y b8… pero dos quedan inmediatamente descartadas (b7 y b8.) porque los reyes nunca pueden estar en casillas contíguas (¿por qué?). Sólo queda a7… aunque en un primer momento puede parecer que hay un error: si el rey estuvo en a7 antes de realizar la última jugada, el alfil tendría que haber dado jaque en la anterior, pero, parece que surgen más problemas, porque el alfil sólo pudo realizar el movimiento desde la diagonal en la que se encuentra, es decir, ¡el rey ya estaría en jaque desde hace dos jugadas!… lo que lógicamente no es posible…

Algo no cuadra, ¿verdad? Parece que ninguna de las casillas es válida… a no ser que nos dé por buscar en donde no hay, sí… pensemos en un caballo blanco y situémoslo en b6 (en estos momentos el rey negro está en a7). Desplazamos el caballo hasta a8 y el rey queda en jaque. Ahora movemos el rey hasta a8 y nos comemos el caballo… y ya está; hemos reconstruido encima no sólo un movimiento anterior sino dos.

Incluso, como no hemos señalado el tablero con letras y números, existe otro razonamiento si “damos la vuelta” al tablero… pero como no tengo ganas de explicarlo, te dejo que lo pienses tú.

• Vamos ahora con Rompecabezas geométricos:

1.- Aunque no es difícil de resolver, suele engañar a simple vista y parece que los anillos internos tienen un área mayor, pero fácilmente acabamos con el engaño, porque si llamamos r al radio del círculo chiquitito interior tenemos que el área de los anillos interiores es igual a π(3r)² y la del anillo exterior a π(5r)² - π(4r)²= π9r², es decir, la misma.

2.-Para la respuesta os remito a los comentarios de esta entrada del blog de acertijosymascosas.

3.-Si no has dado con la respuesta, ésta te va a sorprender (de lo simple que es):

4.-Pickover nos dice a propósito de este problema que lo conoció a partir de uno de los libros de Martin Gardner y que

Gardner apunta que el problema es emocionante porque incluo a veces los mejores matemáticos se equivocan y llegan a una conclusión errónea. La mayoría de los lectores mandaron “pruebas” de que un triángulo obtuso no puede ser diseccionado en triángulos agudos; sin embargo, el hecho es que el triángulo sí puede ser dividido.

• En ¿Velocidad=tocino? Otras vez el Tres en Raya planteaba la preguna de si realmente el juego de palabras que aparecía y el Tres en Raya eran equivalentes y se proponía crear un nuevo juego que sí lo fuera. Aquí están mis respuestas:

No son equivalentes porque aparecen muchas más posiciones ganadoras que en el Tres en Raya, como por ejemplo:

Amor, rima y sima tienes las tres la letra “m” y la posición que ocupan no es ganadora en el Tres en Raya; lo mismo ocurre con seta, sima y Roma (letra a), con Eros, tose y seta (letra s)… y muchas más que ya no pongo.

Una posible alternativa (espero no haberme confundido, aunque ahí estáis vosotros para corregirme) es:

…y creo que con esto nada más por ahora.

Ya sabemos que los anuncios, por muy bonitos que sean, nos intentan vender bicicletas por motos (aunque, la verdad, yo prefiero las primeras). Hay que estar muy atentos para no dejarnos embaucar por sus imágenes hipnóticas… y ¡cómo aprovechan el principio de que una imagen vale más que mil palabras (o mil números)! En este sentido me gustaría analizar el último anuncio de Movistar. Aquí te lo dejo:

Míralo con ojos críticos. ¿No notas algo extraño? Si la respuesta es no, te invito a volverlo a ver… y después puedes mirar la imagen que viene a continuación, publicada en varios medios el 2/9/2004, que se basa en el mismo principio ⁽¹⁾

Me imagino que has llegado a la misma conclusión a la que llegué yo cuando vi el anuncio: ¿La pirámide de Movistar, que se corresponde con poco más del doble de clientes que Orange, no parece mucho más grande de lo que debería? En un primer momento se puede pensar que es sólo una ilusión visual, como la del cono llenado hasta la mitad (aunque en este caso lo del cono jugaría en contra), pero podemos hacer unos pocos de cálculos aproximados (porque precisos es muy difícil, entre otras cosas porque al estar las imágenes en perspectiva las dimensiones no tienen por qué estar en la misma proporción para las tres pirámides) para ver que no es así. Para ello te dejo con las conclusiones y datos que Kikollan nos muestra en este artículo (que te invito a leer), que son mucho más precisos de los que yo podría darte:

¡Creo que sobran las palabras!

1) La imagen proviene del artículo “Más de lo mismo” de la revista nº 47 de Suma, cuyo autor es Fernando Corbalán.

]]> http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/04/13/piramides-enganosas/feed/ sferrerobravo http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/04/12/adicion-de-triangulos/ http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/04/12/adicion-de-triangulos/#comments Sat, 12 Apr 2008 18:13:45 +0000 sferrerobravo http://sferrerobravo.wordpress.com/?p=206

Viendo la siguiente imagen a qué dirías que es igual la suma de 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + …

Es una prueba visual que nos “traemos” desde el nuevo número de “La hoja volante“; una revista de divulgación matemática escrita por Matías Núñez y Carlos Vinuesa desde el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y dirigida a ti mismamente si te gustan aunque sea un poquito las matemáticas. Gratuita; se publica vía web y vía papel.

La probabilidad es muy engañosa. No hay más que fijarse en cómo caemos cada año en las garras de la lotería, en cómo tenemos la oculta esperanza de que nosotros nos vamos a llevar el Gordo. Pero no; año tras año la ilusión se derrumba mostrándonos una fría (o acogedora) realidad.

¿Que qué narices tiene que ver esto de la probabilidad con las margaritas? Relacionándolo con el título da la sensación de que a continuación se va a mostrar la probabilidad de que una margarita nos engañe o nos asfixie con su embriagante olor… pero no. Este post surge como consecuencia de uno de esos días en los que la cabeza se me va y empiezo a pensar en el sexo de los ángeles y cosas  parecidas. Ese día, quizás porque estamos en primavera, me acordé de la función de pitonisas que a veces se les otorga a las margaritas. El típico “me quiere, no me quiere”, vamos. Si no lo recuerdo mal, la costumbre para saber si una persona te quiere o no, consiste en ir arrancando un pétalo a la margarita alternando “me quiere” y “no me quiere” cada vez que lo hagamos. El último pétalo nos dará la respuesta.

En realidad no hace falta llevar a cabo tal sacrificio, desde luego (seguro que la margarita nos lo agradece). Basta con contar el número de pétalos y (suponiendo que, siguiendo la tradición, empezamos por “me quiere”) si es un número par la persona amada no nos quiere; sin embargo, si es impar sí nos quiere.

Pero veamos ahora. ¿La probabilidad de que la margarita tenga un número par de pétalos es igual a que el número sea, por el contrario, impar? Esa fue la pregunta que me hice, pero la verdad es que no lo sé. En una primera aproximación a la respuesta podemos pensar en la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8…), esa cuyos términos se forman a partir de la suma de los dos anteriores (excepto para el primer y segundo término, que valen los dos uno). Es conocido que los pétalos de las margaritas suelen ser tantos como uno de esos términos. ¿Y si nos imaginamos que la probabilidad para que cada uno de estos términos represente el número de pétalos es la misma (bueno, imaginémonos que hasta el término 21, por ejemplo, que no me atrevo a lidiar con el infinito)? Pues veamos en qué proporción se distribuyen los números de dicha sucesión (I para impar, P para par):

I, I, P, I, I, P, I, I, P…

Es fácil ver que esta distribución se repetirá siempre. Por lo tanto, hay más o menos (dependerá del término en el que nos paremos) el doble de impares que de pares (ya digo que siempre que no nos metamos con el infinito). Mas la naturaleza no es tan sencilla. He intentado averiguar cuál es el número de pétalos que con mayor frecuencia tiene una margarita, pero las respuestas por Internet son muy variopintas y no me apetecía ponerme a contar más y más pétalos para llegar a una conclusión razonable, además de que seguro que existen más de una clase de margaritas. Veamos:

En esta página se nos dice: ¿Por qué las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89 pétalos?

En El rincón del vago se llega a la siguiente conclusión: Al observar y contar los pétalos de las flores se llega a que las conocidas margaritas tienen 8, 13, 21, 34 pétalos

Leyendo esto nos damos cuenta de que 13 es el número de pétalos que más veces ha encontrado el autor.

Pues la verdad, yo me he quedado donde estaba, aunque me decantaría más por que el número de margaritas con pétalos impares es mayor, o sea, es más fácil que obtengamos un “me quiere” como respuesta. Si es así… ¡ahora entiendo el auge de este método adivinatorio!… Si es que… se me va la olla de una manera…

Imagen de librodearena.com

Vía Chiti me he topado con el sitio web Matemáticas experimentales, que es una exposición virtual destinada tanto a estudiantes como a profesores de Matemáticas y que, como el propio nombre indica, permite experimentar, conjeturar, demostrar, estimar… Vamos, esas cosas tan propias de las matemáticas que tan poco aparecen en las aulas, en las que la memorización y el porque sí ocupan un lugar destacado.

Pues bueno, aunque de este recurso destaco todo, porque realmente no tiene desperdicio, me gustaría mencionar aquí el apartado de Calcular, y dentro de él la pestaña “Con la cabeza y las manos”, y lo hago porque me parece el más adecuado para Primaria (no todo) y porque ahí aparece una generalización del algoritmo para multiplicar números entre 5 y 10 con los dedos que ya mencioné hace tiempo en este post. De una manera parecida se pueden multiplicar dos números entre 5n y 5(n +1), con n natural, y ambos incluidos. Sólo hace falta saberse el cuadrado de 5n (y bueno, claro, alguna multiplicación básica). Veamos algún ejemplo:

Para la multiplicación 11×12 la aplicación nos muestra la siguiente resolución:

En general, para multiplicar dos números entre 10 y 15, levantamos tantos dedos de una mano como el valor de la diferencia (d1) entre uno de esos números y 10; hacemos lo mismo con el otro número y con la otra mano, obteniendo otra diferencia (d2, que no dedos ): En este caso 1 dedo para una mano y 2 para la otra. Al cuadrado de 10 le sumamos d1+d2 decenas y d1xd2 unidades… y esto nos da el resultado esperado.

Veamos ahora la multiplicación 17×19:

En general, para multiplicar dos números entre 15 y 20… pues procedemos de manera parecida a antes, cambiando por 15 donde pone 10, es decir, las diferencias (o el número de dedos a levantar) se obtienen restando a cada número, 15, y el resultado final es igual a la suma del cuadrado de 15 (225) más d1+d2 quincenas más d1xd2.

Y bueno, generalizar a partir de aquí es bien sencillo, como también lo es ver por qué funciona este procedimiento (pura propiedad distributiva). Veámoslo:

Dados dos números N1 y N2  (naturales, claro) tal que 5n≤N1≤5(n+1) y 5n≤N2≤5(n+1), para un n determinado, procedemos a multiplicarlos:

N1xN2= [ (N1-5n) +5n] x [(N2-5n) + 5n)= (d1+5n) x (d2+5n)= d1xd2 +d1×5n + 5nxd2 + 5nx5n=5nx5n + (d1+d2)x5n + d1xd2.

Como vemos, las manos nos sirven para mucho más de lo que pensamos, aunque, claro, con un poco de cabeza. 

P.D: Si no te apetece aprenderte los cuadrados de los múltiplos de 5 puedes encontrar una forma “fácil” de calcularlos mentalmente aquí.

Te presento aquí otras sucesiones siguiendo la tónica de Series poco serias⁽¹⁾. Espero que pases un rato entretenido con ellas:

1.- ¿Puedes seguir la serie de caritas?

2. ¿Puedes continuar esta secuencia de ceros y unos?

01101010001010001010001000001010000010001010…

3.- ¿Cuál es el siguiente elemento de esta sucesión?

4. ¿Qué número debería reemplazar al signo de interrogación en esta sucesión?

3, 7, 11, 13, 18, 19, 35, 39, 49, ?, 56, 59

1) Para ser precisos tendríamos que hablar de sucesiones y no de series, pero mandaríamos al traste el juego de palabras. En la wikipedia, por ejemplo, podemos ver la diferencia entre sucesiones, series y secuencias.

• Sucesiones 1, 2 y 3: “El prodigio de los números” de Clifford A. Pickover
• Sucesión 4: “Juegos para ejercitar la mente” de Philip Carter y Ken Russell.

Después de un día tan ajetreado, Sergio se disponía a dormir, pero las sábanas no eran lo suficientemente largas como para cubrir la vergüenza que le había vestido (o desvestido) durante toda la jornada.

En su cabecita de doce años se dibujaban miles de horrores. La clase de Educación Física había sido la peor de todas. En equipos, estaban preparando un baile para mostrárselo al resto de la clase. No era el bailar lo que preocupaba a Sergio, sino el aportar ideas. Había estado toda la hora de manos cruzadas y con la cabeza gacha. Se sentía fatal por no haber puesto su granito de arena, pero le resultó imposible. Las malditas ideas se escondían y se mofaban de él cuando estaba rodeado de gente, cuando realmente las necesitaba.

Pero eso no era todo, desde luego. No pudo más que sentirse como un bobo en la clase de matemáticas cuando respondió erróneamente a lo que le preguntaba su maestra. Luego, más tarde, se percató de lo absurdo de su respuesta. Para él fue como si le hubieran tirado dos toneladas de basura encima, a pesar de que todo el mundo podía (y debía) equivocarse.

Y para colmo, cuando llegó a casa, dos voces desconocidas, una de hombre y otra de mujer, le echaron para atrás. El miedo se agolpaba en el corazón, haciendo que su latir se pareciera al galope de un caballo desbocado. Bueno, ya había salido otras veces de ésta. Se deslizó silenciosamente hacia su habitación, intentando que la respiración y sus pasos no hicieran acto de presencia para delatarlo. Intentó arremeter con los deberes, pero hoy no era el toro de otros días. ¿Cuándo se iría la maldita visita? No podía pensar con dos desconocidos ahí al lado. Con esta preocupación estuvo toda la tarde, porque las voces no querían cruzar el umbral de la puerta de salida, la puerta de su tranquilidad.

Y luego la hora de la cena. La voz de su madre le instó a bajar, pero las otras voces la acompañaban. ¡Maldita sea! Ahora ya no podía escabullirse. Unas piernas empezaron a moverse, pero la mente, cobarde ella, había huido. Se oyó a sí mismo, como en un sueño, un buenas noches, aunque debió ser el único que lo escuchó.

La cena fue espantosa, porque gran parte de ella los primos segundos de su padre, que ya no eran tan desconocidos, se la pasaron preguntando cosas sobre él: que qué tal los estudios (sus padres metiendo las narices para alagar sus brillantes notas, sin darse cuenta de que eso le asfixiaba incluso el alma, porque temía defraudarlos algún día), que cuántos amigos tenía (¡si ellos supieran! La soledad era su mejor amiga), que qué callado era (sí, pero únicamente de palabra, porque su mente no paraba de increparle y reprocharle)… Un infierno. Lo peor fue cuando sintió la necesidad de irse a dormir. Nunca sabía cómo despedirse, así que no pudo más que estarse calladito en una silla hasta que su madre le recriminó que todavía no se hubiera ido a la cama. ¡Por fin, el momento oportuno para largarse!

Sí, pero hoy tampoco encontraba demasiado consuelo entre sábanas y la almohada no le quería dar ningún consejo. Después de vueltas y vueltas (en la cama y en su cabeza) consiguió reconciliarse con el sueño…

De pronto Sergio se encontró en una sala ciertamente peculiar, bueno, la sala era “corrientucha”, pero no las “personas” que la llenaban. En lo primero que se fijó nuestro protagonista fue en un rectángulo que lloraba y que intentaba cortarse. “¿Por qué haces eso?”, le habría gustado preguntar al chaval; pero no, las palabras no salían, aunque no hizo falta, ya que el rectángulo, desvariando, se lo aclaró todo:

-Noooooooo, tengo una superficie de 65 cuadraditos, estoy muy gorda (vaya, era una “mujer”). Todos me dicen que tengo sólo 64 cuadraditos, pero yo, por más que miro, veo 65. No, no me pueden engañar. A ver, tú, sí, tú, el ser raro, acércate (Sergio lo hizo), ¿de cuántos cuadraditos me compongo?

-Deeeeeee… 64- las palabras, tímidas, se escabullían.

-¡Qué noooooooo! El espejo no miente

Sergio, de repente, se había metido en la piel de la “rectángula” y vio lo que ella estaba observando. Sí, ordenada así realmente parecía que tenía un cuadradito de más. ¿Cómo era posible? Aunque, ¿era eso tan grave? Bueno, él no entendía de modas poligonales, pero estaba seguro de que éstas no hacían más que crear polígonos desdichados, como esta polígona⁽¹⁾.

Una sacudida regresó a Sergio a su cuerpo. Un poco atontado todavía, logró fijarse en un número (o eso creía) muy altivo, situado en una tarima.

-Ya me veis, soy uno de los números más importantes; mirad que elegante soy… y retorcido también, lo admito, je, je, el rey de los números.

El chaval no sabía si lo que hablaba era realmente un número: 1+ e^iπ. Parecía componerse de números y letras. π le sonaba de clase, pero “i” y “e” no. Vete a saber lo que era eso.

Entonces unas risas y lloros, procedentes del mismo lugar, sacaron a Sergio de su ensimismamiento. La serie 1-1+1-1+1… le dio la bienvenida. Parecía preocupada por algo, aunque a veces lo disimulaba con unas risas.

-Soy 1, je, je, je… soy 0, buaaaaaa… soy 1, je, je, je… soy 0, buaaaaaa. ¿Me puedes ayudar? Je, je, je… ¿soy 1 ó 0?, buaaaaa. Mira, si me suman así:1+(-1+1)+(-1+1)+…, doy 1+0+0+…, es decir, 1, je, je,je… pero si me suman así: (1-1)+(1-1)+…doy 0+0+…, es decir, cero patatero, buaaaaa. A veces soy positivo y a veces nada, je, je, je, buaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.

Parecía un ser acosado por dos personalidades. ¡Qué pena le daba a nuestro pequeño!, pero él no podía hacer nada. No sabía la respuesta. Realmente parecía ser las dos cosas, según se mirara. Al lado de todo esto sus miedos le resultaron ridículos. Estaba cansado de todo; sólo quería sentarse y dejar pasar el tiempo, irse, esfumarse, desaparecer…

Posar su culo en aquel rincón quizá le haría sentirse mejor. Las lágrimas, fugitivas de sus ojos, empezaron a deslizarse por su cara. De su boca no salían más que sollozos. Incluso en un momento Sergio sintió como un eco de sí mismo. ¿Es que gimoteaba incluso cuando pensaba que no?, ¿y ese sonarse las narices? Él no había sido, ¿o sí?; ¡lo que le faltaba!

Pero no, no había sido él; una x, a la que no había visto por lo chiquitita y acurrucada que estaba, parecía más desdichada que él. Extrañamente, Sergio sí se atrevió a dirigirle la palabra:

-¿Qué te pasa? No llores, anda… Pero, si estás temblando…

-Na… da… Ya me iba.

Mientras la x se alejaba, con la cabeza gacha, Sergio logró oír lo que pasaba por su mente: “No soy más que una maldita incógnita, no sé quién soy, porque soy la x tal que x² + 1= 0… no sé resolverme, es más, no sé si existo, la raíz cuadrada de -1, no tiene sentido, no encajo en el mundo de lo real, debo ser algo imaginario… y complejo. Las demás x hablan orgullosas de sí mismas, pero yo sólo quiero desaparecer, esfumarme, no tengo nada en común con ellas, me siento estúpida cuando estoy a su lado…”

Nuestro pequeño amigo se sintió conmovido por la x, y más porque esa chiquitita era como un reflejo de sí mismo. Se identificaba con cada una de sus palabras… En ese momento un ruido atronador invadió la sala y obligó a los presentes a taparse los oídos.

Sergio se despertó sudoroso entre sábanas. El despertador le reclamaba, insistente, que lo apagara. ¡Oh, no! Otro maldito día comenzaba. No tenía valor para afrontarlo…

*****************

A Sergio le volvió a la mente ese sueño tan extraño que había tenido unos 6 años atrás. Ahora sabía lo que les habría contestado a cada uno de esos seres, aunque, ¿lo habría hecho?: sus miedos a hablar no habían desaparecido. Pero vamos, ¿en qué pensaba?, eso había sido un sueño… aunque, ¿cómo era posible que todo lo que había soñado tuviera sentido en el mundo “real”? Sí, desde que lo tuvo se preocupó por encontrarle un sentido. Cuál fue su sorpresa al percatarse de que todo encajaba en el mundo de las matemáticas.

Sergio se imaginó dando estas respuestas a sus amigos ficticios:

A la poligonita le habría enseñado dónde estaba el truco de su supuesta gordura, porque todo estaba en la vista, que engañaba, ya que en realidad, tal como se veía en el espejo, no era un rectángulo, sino que había un agujero, aunque imperceptible a simple vista, que aparentaba el cuadradito que sobraba⁽²⁾.

Al 1+e^iπ le habría convencido de que no era más que nada ni que nadie, que no era el rey de los números, sino solamente 0, que, desde luego, no estaba nada mal, y era tan importante como el resto, pero no más ⁽³⁾.

A la serie 1-1+1-1… le habría dicho que no se preocupara por la aparente paradoja en su resultado, porque era una serie divergente, y en éstas no se podía sumar así. Aunque si quería podía comprobar que por la Sumación de Cesàro su suma era 1/2, lo que estaba bastante equilibrado⁽⁴⁾

…y a la x, pues se habría preocupado de que entendiera que sí era importante en las matemáticas, igual que el resto. Ella era i, un número imaginario que no tenía sentido como número real, pero que no era menos real por ello. Ya hace tiempo que los matemáticos se habían interesado en encontrarle un hueco dentro de las matemáticas, e incluso se la nombraba con una letra, ¿no debería sentirse orgullosa por ello?…⁽⁵⁾

-Sergio Fernández, ¿en qué estás pensando?- la voz de su profesora de matemáticas lo sacó a patadas de su mundo particular- ¿Puedes salir al encerado a resolver el problema?

El fantasma de Sergio, a jurar por su blancura, se acercó tambaleante al encerado. Era una de las pocas veces que se le iba la cabeza en una clase, porque el miedo a que le preguntaran era muy poderoso… ¿Lograría él alguna vez darse un consejo tan bueno a sí mismo como los que pretendía para los personajes de sus sueños?, ¿llegaría a darse cuenta de que él también tenía un lugar en el mundo, de que él también encajaba? No se resistió a guiñarle un ojo a la vida: ¿qué me deparas, so payasa?

Dedicado a todos los “enfermos mentales”; esos que no encuentran un lugar en esta sociedad, bien porque son rechazados o bien porque ellos mismos se aíslan de ella; esos que tienen una forma tan particular de ver el mundo que son llamados locos; esos que tienen sus miedos a flor de piel y no escondidos en el fondo del alma… Especialmente dedicado a los tímidos, fóbicos sociales y demás “ralea” .

1) Imágenes de aquí

2) Este problema se deja abierto. Más adelante se escribirá un post reflejando de forma más clara dónde está el gazapo.

3) Este resultado fue descubierto por Euler. Para más información se puede mirar la entrada Identidad de Euler de la Wikipedia o esta otra entrada de Gaussianos.

4) Ésta es llamada la Serie de Grandi, y al igual que en el resto de series divergentes, no es lícito realizar muchas operaciones aparentemente inócuas, como reordenar sus términos individuales.

5) Más información sobre los números imaginarios aquí