3 problemas, una pizarra, un corro y un virus.

A continuación 3 problemas que aparentemente no tienen nada en común… aunque quién sabe. ¿Te atreves a resolverlos? Si lo haces tal vez descubras que son sangre de la misma sangre. ¡A por ellos!

 

 

• En una pizarra se escriben los números naturales desde el 1 hasta el 2n, siendo n un número impar. A continuación se escogen dos de esos números, se borran y en su lugar se escribe el resultado de restar al mayor el menor. Se continúa realizando el mismo proceso hasta que queda un único número en la pizarra. Probar que este número es impar.

 

• Ana y Beatriz, junto con otras 2009 personas, forman un corro, de tal manera que Ana y Beatriz no están al lado una de la otra. Ana y Beatriz juegan a tocar a una de las personas que tienen a su lado, la cuál tendrá que salir del círculo. Esto lo hacen de forma alternada, empezando Ana. Gana la persona que logre sacar del círculo a su oponente. ¿Hay alguna estrategía ganadora para alguna de las dos? Si es así, ¿para quién?

 

• Tenemos un cuadriculado de 8×8 y queremos saber si quedará infectado totalmente comenzando con menos de 8 cuadraditos infectados. Cuando un cuadradito queda infectado queda pintado de negro y se infecta si y sólo si hay dos cuadraditos adyacentes infectados, entendiendo por adyacentes el de arriba, abajo, izquierda y derecha, pero no los que le tocan en un vértice. Un ejemplo en el que quedaría totalmente infectado es el siguiente, pero se han utilizado 8 cuadraditos infectados:

Disposición inicial

Paso 1

 

Encuentra algún ejemplo comenzando con 7 cuadraditos infectados o demuestra que es imposible.

 

Como siempre, dentro de un mes pondré las soluciones junto con las fuentes de las que estos problemas proceden.

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Adrián Paenza bloguero

Pues sí. Adrián Paenza también ha sucumbido al mundo bloguero. Tengo que dar las gracias a Juan José Sosa y a su post “estadística y gripe A H1N1” por ser los responsables de que me enterara. Parece ser que Paenza comenzó sus primeros pasos como bloguero en el espacio “El Blog de Adrián Paenza“ (un espacio abierto para el debate, el juego y el pensamiento) en marzo de este año. A continuación un extracto de lo que dice él mismo en su primer post, Bienvenidos:

Hola. Bienvenido al blog.

Confieso que no sé muy bien dónde me estoy metiendo. Muchos amigos me vienen sugiriendo desde hace tiempo que inaugure un blog, que escriba periódicamente, que interactúe con aquellos que están interesados en incorporarse al mundo de la matemática… o mejor dicho, al mundo del pensamiento. Eso, poder disfrutar de pensar, de tener en la cabeza algo que sea una suerte de desafío, que haya algún problema para resolver… y aprender –eventualmente- a frustrarse cuando uno no puede encontrar la solución. Pero intentarlo y disfrutar del camino.

Al principio, me resistí un poco porque yo creo que ya tengo una alta exposición en los medios y que agregar uno más terminaría por diluir mi capacidad para contribuir en algo, pero en realidad, advierto que esta es una posibilidad para abrir el juego, para que participen todos aquellos que quieran y que este lugar sea –nada menos- que un lugar de encuentro, un lugar para compartir ideas. Un espacio virtual en donde espero que nos podamos reunir periódicamente. Un lugar interactivo, dinámico, con la alternativa de proponer y ofrecer lo que uno ha pensado, pero también, en donde uno pueda disfrutar de lo que pensó otro. Y mejorarlo si es posible…

Fuente de la imagen: http://www.larepublica.com.uy

 

Y seguidamente el último problema propuesto. Espero que te aproveche:

Quiero plantearle un problema ideal para pensar después del de los quiebres de saque.

Veinticuatro alumnos de una universidad se anotan para tomar algún curso de historia: siete de ellos se anotaron para cursar Historia Argentina, otros ocho para cursar Historia Americana, y los restantes nueve para cursar Historia Europea.

Los alumnos no tienen permitido tomar más de un curso de Historia a la vez, pero cada vez que dos alumnos de distintos cursos de Historia se encuentran, abandonan sus respectivos cursos y se anotan en el tercero.

Por ejemplo, si se encuentran un alumno que cursa Historia Argentina con uno que cursa Historia Europea, ambos abandonan estos cursos y se anotan juntos en Historia Americana.

Si los únicos cambios de curso se dan a través de este mecanismo, ¿es posible que todos los alumnos terminen anotados en el mismo curso de Historia (no importa en cuál de los tres, pero todos en el mismo)?

(Si su respuesta es que “es posible”, debe mostrar en qué orden los alumnos deben ir cambiándose de curso. Si su repuesta es que “no es posible”, no alcanza con argumentar “yo no pude lograrlo”: hay que dar una demostración de que es absolutamente imposible, independientemente de cuáles alumnos se pudieran ir cambiando de curso ni en qué orden.)

Como siempre, lo/la invito a que se dé un tiempo para jugar con los números y hacer algunos  experimentos. ¿Qué pasa si primero se cambian de curso tales alumnos o qué si tales otros? Si todos terminan en el mismo curso, ¿cuántos alumnos deben estar cursando cada materia antes del último cambio de curso? ¿Y cuántos antes del anteúltimo cambio? ¿Hay algún patrón, alguna característica que las cantidades de alumnos de cada curso mantengan aun cuando los alumnos realicen uno o más cambios de curso?

Espero sus respuestas y comentarios.

 

Sí, yo también las espero, y sobre todo espero que te pases por el blog de Adrián que, como sus libros, no tiene ningún desperdicio.

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Soluciones a los acertijos de junio de 2009

Bueno, se acabaron las vacaciones, que ya tenía ganas de escribir nuevamente en el blog. Una de las cosas que dejé pendiente antes de mi “partida”  fueron las soluciones a los problemas de junio. Por suerte la mayoría ya tienen solución.

 

Soluciones de Acertijos con balanzas 2

Está todo resuelto gracias a la genial cabeza de Pablo Sussi. El primer acertijo lo vi en el  último libro de Paenza, “Matemática… ¿estás ahí? Episodio 100”. Seguramente ya lo sabes, pero por si acaso te informo de que te lo puedes descargar gratuitamente desde aquí. El acertijo aparece en la página 49 y la solución a partir de la 184.

 

En cuanto al otro problema, debe de ser bastante antiguo. Lo saqué del baúl de los recuerdos de uno de los libros de Ian Stewart, “La cuadratura del cuadrado”, que nos comenta:

 

Acertijos como éste circulan cada veinte años más o menos, presumiblemente cuando una nueva generación se expone a ellos, un poco como una epidemia que resurge cuando la población ha perdido la inmunidad.

 

Según nos dice Stewart hay varias soluciones diferentes de este acertijo. Doy fe de ello porque Pablo Sussi nos dejó su aportación en comentarios, la que escribe estas líneas encontró otra forma (que no escribo porque ahora mismo ya ni me acuerdo), y aquí muestro la que aparece en el libro de Stewart en forma de poema:

 

F set the coins out in a row.

And chalked on each a letter, so,

To form the words <<F AM NOT LICKED>>

(An idea in his brain had clicked).

And now his mother he’ll enjoin:

MA DO LIKE

ME TO FIND

FAKE COIN.

 

Cuya traducción sería:

 

F extiende las monedas en una columna

y escribe con tiza una letra en cada una

para formar las palabras <<F NO ESTOY VENCIDO>>

(Una idea en su cerebro ha surgido).

Y ahora a su madre ordena:

MAMÁ HAZ COMO

YO PARA ENCONTRAR

LA FALSA MONEDA

 

Con la traducción se pierde la solución al problema. Se supone que ésta viene dada por los últimos tres versos en mayúscula. Las 4 primeras letras corresponden a las monedas que se colocan en uno de los platillos de la balanza y las últimas 4 letras se colocarían en el otro platillo. Con esas tres pesadas se puede averiguar, siempre, cuál es la moneda diferente.

 

Soluciones de “Acertijos de pensamiento lateral”

 

También están, si no todos, la mayoría, resueltos. Agradezco a Claudio, Horacio, alvaro y carlillos su participación y sus respuestas más o menos acertadas.

 

1) Votar

 

2) Alicia quería completar un crucigrama, pero no sabía qué letra poner en el último casillero vacío. Su hermano sí lo sabía, pero Alicia no quería que él completara el juego, de modo que buscó en un diccionario y completó el crucigrama por sí misma.

 

3) El señor Steve Jones y su hermano eran dos de los cinco quintillizos que su madre dio a luz el mismo día.

 

4) No salieron más chinos porque habían entrado solo tres chinos .

 

5) El titular que publicó el dueño de “Esto sí que es nuevo” fue: “El dueño de “Últimas noticias” fue visto sobrio ayer”.

 

6) Esperan una hora y media y cruzan el río. A esa altura, las pirañas se han comido a todas las serpientes, y luego han muerto por su poderoso veneno.

 

7) Siguen el borde del río hasta N’gulema. ¿Quién dijo que el poblado estaba al otro lado del río?

 

8. Quizá exageré con lo de “quedé impresionada”, porque lo único que hizo el gurú fue aparecer justo en el momento en el que me estaba preguntando cuándo entraría aquel magnífico ser en la habitación en la que nos habían hecho esperar. Este acertijo se me ocurrió porque mi madre preguntó: “¿Dónde está María (María es mi hermana gemela)?” En ese momento María entró por la puerta. Entonces yo le dije: “Mira qué importante eres que acabas de responderle a Encarna (nuestra madre)  su pregunta sólo con tu presencia”. Fueron esas palabras las que me dieron la idea… Lógicamente vale cualquier pregunta que el gurú pueda responder sólo con aparecer: ¿cómo será?, ¿cómo irá vestido?…

 

Y hasta aquí todo por hoy. Pronto más retos.

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Acertijos de pensamiento lateral

Creo que los acertijos de pensamiento lateral no necesitan presentación. Por este blog, aunque poco, ya han hecho su aparición en “Problemas para desengañarse” y “Problemas para desengañarse II“. A continuación unos cuantos más. Casi todos ellos proceden del libro “Acertijos de Pensamiento Lateral“. Para el que esté puesto en este tipo de acertijos le pueden resultar muy facilones y/o muy vistos. Aun así les doy la oportunidad de aparecer en esta entrada, porque a mí personalmente me gustaron bastante. Adelante con el desfile:

1) En muchos países hacerlo una vez es obligatorio, pero hacerlo dos veces el mismo día es delito. ¿De qué se trata?

2) Alicia quería llenar algo que estaba vacío, pero realmente no sabía qué poner allí. Su hermano Fernando sí lo sabía, pero Alicia no quería que él participara en el asunto. ¿Por qué? ¿Qué estaba pasando?

3) -¿Ve usted a ese señor que está allí? -preguntó el señor Steve Jones al señor Smith.

-Sí -respondió el señor Smith-. ¡Es extraordinariamente parecido a usted!

-No es raro, ya que es hermano mío; es más, hemos nacido de la misma madre, el mismo día del mismo año. Sin embargo, no es mi hermano gemelo ni mi hermano mellizo.

Fuente de la imagen: http://www.embarazorossa.com

El señor Jones estaba diciendo la verdad, pero… ¿cómo podía ser?

4) Tres chinos entraron a tramitar una visa en la embajada de Portugal en Pekín y no salieron más. ¿Por qué?

5) En una pequeña ciudad había dos periódicos, “Últimas noticias” y “Esto sí que es nuevo”, cuyos dueños se odiaban mortalmente. Un día el dueño de “Últimas noticias” publicó en su diario una información negativa sobre el dueño de “Esto sí que es nuevo”. La noticia decía: “Ayer el director de “Esto sí que es nuevo” fue visto borracho en diversos establecimientos de la ciudad”.

 Al día siguiente, para vengarse, el dueño de “Esto sí que es nuevo” publicó una información positiva sobre el dueño de “Últimas noticias”. ¿Cuál y por qué?

 

Fuente de la imagen: http://www.educima.com

6)

Dos viajeros caminan por la selva amazónica, rumbo al poblado de Itangaratí, cuando llegan a un río infestado de pirañas y serpientes venenosas. Las pirañas son pirañas realmente agresivas, dispuestas a comerse a todo ser viviente que se ponga a su alcance, y las serpientes venenosas son realmente muy venenosas: cualquier contacto con una de ellas implica la muerte segura en apenas una hora. Los viajeros no tienen herramientas para hacerse un bote, ni hay ningún puente cerca, ni lianas de las que colgarse para cruzar. Sin embargo, logran pasar al otro lado y esa noche duermen tranquilamente en la modesta pero amable posada de Intangaratí. ¿Cómo lograron cruzar?

7) En otro de sus viajes, nuestros dos viajeros se encuentran en África camino del pueblo de N’gulema; de pronto, se topan con un caudaloso río infestado de voraces cocodrilos. No hay puentes, no hay piedras en medio del río, no hay lianas para colgarse, no hay bote ni barquero, no llevan armas ni herramientas. Sin embargo, no se los ve angustiados de haberse topado con el río, y arriban sin mayores percances a N’gulema esa misma noche. ¿Cómo lo logran?

8. Era un gran día: a mi hermana y a mí se nos había concedido el gran honor de conocer a un gurú de La India del que nos habían hablado muy bien. Pensábamos que por fin todas nuestras preguntas serían respondidas… pero no de aquella manera: quedé impresionada al comprobar cómo una pregunta que me estaba haciendo a mí misma  mentalmente fue respondida por aquel sabio sin abrir la boca… Sin embargo no hizo uso de ningún tipo de adivinación ni de magia. ¿Cómo lo logró?

Fuente de la imagen: http://www.albertbarra.com

El último se me ocurrió ayer a raíz de cierto suceso. Quizá no sea muy bueno, no lo sé. Qué mejor forma de saberlo que poniéndolo bajo la evaluación de los astutos ojos y cerebros de mis lectoras y lectores… Y creo que esto es todo por hoy. Ahora te toca a ti.

[Actualización]: Soluciones

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Acertijos con balanzas 2.

Hace un tiempo se propusieron en este blog una serie de Acertijos con balanzas. A continuación otros dos:

 

1) Se tiene una balanza y cinco mujeres. Las mujeres se pesaron de “a dos”, en pareja, en todas las combinaciones posibles, y los resultados que se obtuvieron en los diez casos fueron los siguientes:

 

105, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 119, 121

 

¿Cuál es el peso de cada mujer?

 

2) Tienes 12 monedas. Todas pesan lo mismo excepto una, que puede ser más ligera o más pesada que el resto. ¿De qué manera puedes descubrir cuál es esta moneda de peso diferente con sólo tres pesadas en una balanza? La balanza no tiene graduación para pesos, sólo tiene dos platillos con los que únicamente se puede saber si el más pesado ha descendido (o el más ligero ascendido) o si están equilibrados.

 

Dentro de un mes más o menos saldrán las soluciones junto con la fuente de los acertijos. Gracias por tu participación y a por ellos.

[Actualización]: Soluciones

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Soluciones a los problemas de abril-mayo de 2009

Pues vamos con ellos.

Soluciones de Falacias geométricas:

1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.

2) Mira el contraejemplo de la figura:

Soluciones de Problemas de áreas sombreadas

1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:

2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución.

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Problema de las siete naves

El problema que presento a continuación lo encontré en el libro “Matemática divertida y curiosa”, de Malba Tahan. Me gusta especialmente no sólo por el problema en sí, sino también por la historia verídica que le da sabor y que nos recuerda que los profesores de matemáticas y matemáticos no son semidioses que de una sola mirada son capaces de resolver problemas (otra cosa es que en las aulas parezca que es así, porque los docentes están cansados de repetir año tras año lo mismo). De igual manera, esta historia también enseña a los profesores a ser más pacientes con sus estudiantes y a comprender que ellos también fueron una vez estudiantes que muchas veces se encontraron perdidos entre números e ideas:

Cierta vez, hace ya algunos años, en ocasión de un congreso científico y al finalizar un almuerzo en el que se encontraban reunidos varios conocidos matemáticos, algunos de ellos ilustres y pertenecientes a diversas nacionalidades, Eduardo Lucas les anunció, inesperadamente, que les acercaría un problema de matemática, de los más difíciles.

-Supongo -comenzó el ilustre geómetra -, siendo, desgraciadamente, una simple suposición, que todos los días al mediodía, parte del puerto de Le Havre rumbo a Nueva York una nave y que, a la misma hora, un transatlántico de la misma compañía, parte de Nueva York hacia Le Havre. La travesía se realiza siempre en siete días, tanto en un sentido como en el otro. ¿Cuántas naves de dicha compañía, siguiendo la ruta opuesta, encuentran en su camino al transatlántico que parte de Le Havre al mediodía?

Nos cuenta Tahan que ninguno de los matemáticos presentes acertó la solución exacta y que algunos respondieron irreflexivamente, pero estoy segura de que tú puedes dar con ella, no es tan difícil (te aseguro que no se necesita ser matemático ). ¿Podrías además dar una solución gráfica?

[Actualización]: soluciones

Fuente de la imagen: islakokotero.blogsome.com

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Problemas de áreas sombreadas

Ayer en Gaussianos (creo que el blog no necesita presentación) propusieron un problema de área sombreada. El problema pide averiguar qué fracción del área del paralelogramo está sombreada (sí, no hace falta que te dejes los ojos: los hexágonos blancos son regulares).

Ese problema me hizo recordar otro que aparece en el libro “¡Ajá!, Inspiración”, de Martin Gardner, y que a mí personalmente me gusta mucho. Primero un dibujo:

El problema consiste en averiguar el área de la corona circular. Para ello se da únicamente la longitud de la cuerda tangente al círculo interior (100 m). No hace falta matemáticas avanzadas ni fórmulas extrañas, aunque sí un alto grado de inspiración. Hay por lo menos dos formas de llegar al resultado (una más tramposa que la otra)

Y bueno, ya que estamos con áreas sombreadas y todo eso, ¿por qué no poner algunos problemas más?

3) En la siguiente página de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) se nos pide calcular el área de la zona sombreada sabiendo que el perímetro del triángulo es de 31 cm y tanto el radio de la circunferencia inscrita como los radios de los arcos de circunferencia miden 2 cm.

4) Éste está sacado de una página de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y se nos pide calcular la proporción que guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS si M es un punto cualquiera de la diagonal.

5) Hace tiempo en Acertijos y más cosas nos propusieron hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, ¿serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla?

6) Y este último llega desde Problemas Matemáticos. Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

Creo que por hoy ya es bastante. Si quieres más siempre puedes buscar en Internet. Seguro que te asombras de las figuras con sombras que encuentras.

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Soluciones perdidas.

La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

Solución 2:

 

Solución 3:

 

Solución 4:

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Cultivando el ingenio

“Cultivando el ingenio” es el libro que Héctor San Segundo recientemente ha publicado en la editorial “virtual Bubok“. Puedes obtenerlo en papel por 8,10 € (impuestos y envío no incluídos) o descargártelo totalmente gratis, todo en esta página.

El libro se compone de 159 páginas con 100 acertijos inéditos con sus respectivas soluciones. Estos acertijos se clasifican en:

• Acertijos aritméticos
• Acertijos con el calendario
• Plantaciones frutícolas
• Acertijos numéricos
• Acertijos ajedrecísticos
• Acertijos con piezas y fichas
• Acertijos varios.

Para que te hagas una idea, te dejo con uno de esos acertijos (éste bastante fácil):

Para ascender los 800 escalones de una pirámide, un sacerdote cumple un rito de idas y vueltas: sube una cantidad de escalones, desciende otra cantidad menor. Vuelve a subir igual cantidad que antes y vuelve a bajar igual cantidad que antes. Y así sucesivamente. Alcanza la punta de la pirámide al final de una subida, habiendo así andando en total 1.200 escalones, entre subidas y bajadas. ¿Cuál es la cantidad fija de escalones que sube en cada trecho y cuál es la cantidad que baja?.
Se dice en el enunciado que sube y baja varias veces porque sino la solución sería infantil: sube 500 escalones, desciende 200 y vuelve a subir 500. Es decir, sube y baja más de una vez.
Además, hay un desafío adicional: demostrar que este acertijo tiene una única solución.

Pues ánimo con él.

Por cierto, me enteré de la noticia hace unos días por su.doku.es y me la recordaron de nuevo en juegosdeingenio

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