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Posts etiquetados ‘Geometría’

sketch05

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es/

Ayer escribí este post. Bien, pues el caso es que una mosca cojonera no paraba de molestarme en la mente. Esa mosca cojonera era la idea de que había leído en un libro de Ian Stewart un capítulo relacionado con este tema. El caso es que como ando en, por lo menos, dos mundos diferentes, y el libro lo tenía en el otro mundo, no pude confirmar mis sospechas hasta hoy… Y sí, ahí estaba él, esperando a que le echara una ojeada. Desde luego, lo primero que hice es releer el capítulo para comprobar que no había nada nuevo. El que está leyendo estas líneas seguramente sospecha, acertadamente, que sí que había algo digno de contar (o por lo menos que a mí me lo parece) y que “eso” va a aparecer aquí debajo. Aunque te cueste creerlo, el Triángulo de Sierpinski nos lo podemos encontrar todavía en otro paraje matemático diferente, pero dejemos a Stewart que hable:

Ron Menendez, de Chatman, Nueva Jersey, señaló otro ejemplo más del triángulo de Sierpinski. Dibuje tres puntos A, B y C en el plano en los vértices de un triángulo equilátero, y elija de forma aleatoria un punto de partida X en el plano. Escoja al azar uno de los vértices A, B o C, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 1/3. (Por ejemplo, lance un dado y establezca que 1 o 2 corresponden a A, 3 0 4 a B y 5 o 6 a C.) Encuentre el punto intermedio de la línea que une X con el vértice elegido: ésta es la nueva posición de X. Ahora repita, eligiendo siempre un vértice A, B o C de forma aleatoria y moviendo X al punto intermedio entre su posición actual y ese vértice. Aparte de unas cuantas posiciones iniciales en las que el paseo se <<asienta>>, ¡la nube de puntos resultante es un triángulo de Sierpinski!

Esto es bastante sorprendente dado su carácter aleatorio, pero la teoría de los fractales autosimilares del matemático Michael Barnsley lo explica. El triángulo de Sierpinski tiene tres esquinas A, B y C. Está construido a partir de tres copias de sí mismo, cada una de la mitad de su tamaño: esto es, se obtiene al reemplazar cada punto en el triángulo por el punto medio de la línea que lo une con A, con B, o con C. Esta característica del triángulo corresponde a las reglas para el paseo aleatorio. Barnsley ha demostrado que, con probabilidad 1, cualquier paseo aleatorio que siga las reglas <<converge>> con el triángulo, lo que significa que después de unos cuantos pasos cada punto que dibuje se encuentra muy cerca del triángulo.

Lo bonito de este ejemplo es que el triángulo emerge de forma bastante azarosa de una nube de puntos, en lugar de ser dibujado por partes.

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es

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¡Casi se me olvida! El libro de Ian Stewart en el que aparece esto es “Cómo cortar un pastel”. No te olvides tampoco de echar un ojo a esta página de Eduteka si quieres trabajarlo en clase. Pincha aquí para acceder a un applet (requiere Java). Si te apetece buscar más información por tu cuenta te recomiendo que busques por “Juego del Caos”.

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Tanto el triángulo de Sierpinski como el triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi son bastante conocidos para cualquiera que haya visitado con deleite el mundo de las matemáticas. Quizá no sea tan conocido el nexo que une el primero con los otros dos. Eso es lo que intentaré mostrar en este post.

 

El triángulo de Sierpinski es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá. En la imagen puedes observar las primeras seis iteraciones:

triangulo-de-sierpinski

 

Este triángulo, como todos los fractales, tiene curiosas características. Sólo nos vamos a detener en el área, porque la vamos a necesitar para más tarde. Aunque en un primer momento parezca que no, es relativamente fácil calcularla sin más que fijarnos en lo que ocurre en las primeras etapas de la construcción y generalizar. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Después de la primera etapa hemos eliminado un triángulo con área ¼, así, nos quedamos con ¾. En la segunda etapa, nos quedamos con 9 triángulos de los doce que quedan (¾), es decir, el área es ahora de ¾ x ¾. Observando un poco podemos generalizar sin problema y llegar a la conclusión de que en la etapa n tendremos un área de (3/4)n y, por lo tanto, cuando n tiende a infinito, el área tiende a cero.

 

Pero, de la misma forma que pasa con cualquier espécimen, el mundo (en este caso el matemático) sería bastante aburrido si sólo existieran triángulos de Sierpinski, de ahí que haya surgido una generalización de ese triángulo. ¿Cómo? Sólo tenemos que dividir cada lado del triángulo inicial en k partes iguales y luego trazar paralelas a los lados para formar triángulos equiláteros del mismo tamaño. Luego eliminamos los triángulos que tienen un vértice mirando hacia abajo (para entendernos). Repetimos el mismo proceso con cada triángulo que nos ha quedado, y así una y otra vez. En el dibujo se muestra el triángulo obtenido en la segunda etapa con k = 5.

 

 Fractal Sierpinski 5

 

Ya estamos en condiciones de asomar la cabeza por el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi.

 

Sierpinski y Pascal

 

Primero, para el que no lo conozca, haré una breve descripción del Triángulo de Pascal. Es éste una disposición triángular (como no podía ser de otro modo) de números, cuyos lados derecho e izquierdo son todos números 1 y donde cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores, como se muestra en el dibujo.

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El Triángulo de Pascal tiene muchísimas propiedades interesantes (pero eso para otro post). Para lo que ahora tenemos entre manos sólo nos interesa reconocer qué números son pares y cuáles impares. Para ello ni siquiera es necesario saber qué números tenemos que colocar en cada casilla. Basta con saber que la suma de dos números impares o dos números pares siempre da un número par y que la suma de un número impar con uno par (y al revés, lógicamente) es siempre impar. Así, podemos pintar los números pares de nuestro triángulo de color blanco y los impares de negro. Entonces comenzamos pintando los laterales (que sabemos que valen 1) de negro. Luego sólo tenemos que colorear con cuidado de no equivocarnos (y si somos niños pequeños de no salirnos). El resultado es el siguiente (desde luego, esto sólo es una parte del triángulo, que se supone que puede tener infinitas filas): (más…)

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Sólo me ha salido esto:

ambigrama letras-ciencia

ambigrama ciencia-letras

Dudo que algún ambigramista lea mi blog, pero si es así le invito a que me envíe su ambigrama “ciencia-letras”. Desde luego, aunque no seas ambigramista también me puedes enviar tu versión. Las espero.

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Los fractales, esos “entes geométricos infinitos”, enamoraron mi mente desde la primera vez que los vi… y no sólo por el colorido y la hermosa estructura que resultaba de su más o menos precisa representación, sino también (y sobre todo) por el contenido matemático y las maravillosas ideas que le daban vida. ¿Quién habría pensado alguna vez que “existiera” un “bicho” de dimensión fraccionaria, por ejemplo? ¿Cómo es posible que realizando un mismo proceso sencillo infinitas veces nos resulte algo aparentemente tan complejo como un fractal? Es realmente hermosa esta unión de complejidad y sencillez… Lo sé, en la naturaleza también se da esta mezcla, y por eso los fractales nos los encontramos en la misma (esto es mucho decir, pero igualmente es cierto que en el mundo real no existen las circunferencias o los círculos y sin embargo hacemos como si existieran).

Pero, ¿qué es un fractal? Más o menos ya lo he dicho con mis anteriores palabras. Un fractal es una estructura geométrica resultante de la iteración (repetición) infinita de un proceso geométrico simple y bien especificado, que le suele dar un aspecto final de gran complejidad. Una de las características de los fractales es la autosemejanza: si escogemos cuidadosamente una parte del mismo, obtendremos nuevamente el fractal de partida, aunque en tamaño más pequeño.

Fuente de la imagen: http://weblogs.madrimasd.org

Fuente de la imagen: http://weblogs.madrimasd.org


Quizá esto se entienda mejor con un ejemplo. Cojamos un segmento de longitud 1 y dividámoslo en tres partes iguales. Ahora retiramos la del medio y nos quedamos con los extremos (al contrario de lo que deberíamos hacer en la vida cotidiana). Volvemos a repetir el proceso (eh aquí la iteración de la que hablábamos) en cada uno de los dos segmentos, de longitud 1/3, que nos han quedado. Luego realizamos nuevamente el mismo procedimiento en los 4 segmentos que tenemos… y así hasta el infinito. En este caso no podemos hablar de un fractal hermoso y colorido… porque aparentemente, para un ojo humano, el resultado es el mismo que si no hubiéramos hecho nada (aunque en realidad nos queda un conjunto de puntos con muchos agujeros). A este fractal lo denominamos conjunto de Cantor… Es curioso que, a pesar de tener longitud nula, tenga tantos puntos como el espacio tridimensional. Pero con los fractales ocurren estas cosas.

fractal

Fuente de la imagen: http://milrecursos.com

Por Internet hay infinidad de imágenes de fractales que el lector-investigador puede buscar sin mucha dificultad. Lo que quiero mostrar hoy en este post es otra cosa: un ejemplo de “poesía fractal”. Vamos, un fractal construido con palabras. No es que sea exactamente un fractal, claro, pero seguro que el atento lector sabrá deducir qué relación tienen las siguientes palabras con dicho ente geométrico. La versión original está en inglés (hago una traducción bastante chapucera después. Agradezco cualquier aportación para su mejora) y la escribió Dane R. Camp. La encontré en el número 2 del volumen 30 de la “Journal of Recreational Mathematics” (1999-2000), páginas 83-86. Está basada en el clásico cuento para niños “El Gato Garabato” (The Cat in the Hat en inglés), del Dr. Seuss. Pues adelante: (más…)

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Me entero por Eva M, en su blog Matemáticas a nuestro lado, de la existencia del Dr. Quantum, personaje variopinto protagonista de una serie con la que se intenta divulgar las matemáticas, la física…  Eva M. nos acerca un vídeo de dicho personaje, en el que se perfilan algunas de las diferencias entre la dimensión dos y la dimensión tres, además de hacernos cuestionar si realmente lo que vemos es lo único que hay. Me gustan especialmente las frases: “Si sólo vemos lo que conocemos, ¿cómo puede ser que alguien vea una cosa nueva, lo desconocido?, ¿cómo logramos salir de nuestra caja?”.

Si te gusta esto de las dimensiones, y si todavía no lo has hecho, no puedes dejar de leer el magnífico libro de Edwin A. Abbott, Planilandia [pdf] (más información en este post de Eva M.).

No te olvides tampoco de visitar este post que escribí hace tiempo sobre unos vídeos de descarga gratuíta en los que se llega poco a poco hasta la cuarta dimensión.

Y por último, por si no es bastante, también te invito a pasar unos minutos en compañía de Carl Sagan, que nos habla de la dimensión 2 y de la 4 de una manera sencilla:

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Ayer en Gaussianos (creo que el blog no necesita presentación) propusieron un problema de área sombreada. El problema pide averiguar qué fracción del área del paralelogramo está sombreada (sí, no hace falta que te dejes los ojos: los hexágonos blancos son regulares).

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Ese problema me hizo recordar otro que aparece en el libro “¡Ajá!, Inspiración”, de Martin Gardner, y que a mí personalmente me gusta mucho. Primero un dibujo:

area-sombreada-2El problema consiste en averiguar el área de la corona circular. Para ello se da únicamente la longitud de la cuerda tangente al círculo interior (100 m). No hace falta matemáticas avanzadas ni fórmulas extrañas, aunque sí un alto grado de inspiración. Hay por lo menos dos formas de llegar al resultado (una más tramposa que la otra)

Y bueno, ya que estamos con áreas sombreadas y todo eso, ¿por qué no poner algunos problemas más?

3) En la siguiente página de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) se nos pide calcular el área de la zona sombreada sabiendo que el perímetro del triángulo es de 31 cm y tanto el radio de la circunferencia inscrita como los radios de los arcos de circunferencia miden 2 cm.

area-sombreada-3

4) Éste está sacado de una página de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y se nos pide calcular la proporción que guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS si M es un punto cualquiera de la diagonal.

area-sombreada-4

5) Hace tiempo en Acertijos y más cosas nos propusieron hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, ¿serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla?

area-sombreada-5

6) Y este último llega desde Problemas Matemáticos. Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

area-sombreada-6

Creo que por hoy ya es bastante. Si quieres más siempre puedes buscar en Internet. Seguro que te asombras de las figuras con sombras que encuentras.

[Actualización]: soluciones

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El mundo de las demostraciones matemáticas es bastante engañoso. Muchas veces parecemos toparnos con una y, sin embargo, no es más que un espejismo. Entre las demostraciones, creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

En este post te muestro una “demostración” de que todo triángulo es isósceles y otra que intenta demostrar que si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo. Desde luego, como puede suponer el lector o la lectora, ambas son falacias, pero son falacias bastantes sutiles. Ambas provienen de uno de los libros de Martin Gardner, concretamente Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. ¿Dónde está el razonamiento erróneo en cada una de ellas?:

Teorema 1: Todo triángulo es isósceles.

falacia-geometrica-1

Sea ABC un triángulo cualquiera. Tomemos el punto medio D del lado BC, y desde D trazamos DE, perpendicular a BC. Tracemos la bisectriz del ángulo BAC.

1) Si la bisectriz no corta a DE, ambas rectas son paralelas. Por consiguiente, la bisectriz es perpendicular a BC. Por consiguiente, AB = AC, es decir, ABC es isósceles.

2) Si la bisectriz corta a DE, llamemos F al punto de intersección. Tracemos FB, FC y, desde F, las rectas FG, FH, perpendiculares a AC, AB.

Entonces los triángulos AFG, AFH son iguales, porque tienen el lado AF común, y los ángulos FAG, AGF repectivamente iguales a los ángulos FAH, AHF. Así pues, AH = AG, y FH = FG.

Como antes, los triángulos BDF, CDF son iguales, porque BD = DC, DF es común, y los ángulos de vértice D son iguales. Así pues , FB = FC.

Igualmente, los triángulos FHB, FGC son rectángulos. Por lo tanto, el cuadrado de FB es la suma de los cuadrados de FH y HB; y el cuadrado de FC = la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero FB = FC, y FH = FG. Por consiguiente, el cuadrado del lado HB = al cuadrado de GC. Así pues, HB = GC. Por otra parte, se ha demostrado ya que AH = AG. Así pues, AB = AC, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Por consiguiente, el triángulo ABC siempre es isósceles.

Teorema 2: Si en un cuadrilátero ABCD el ángulo A es igual al ángulo C, y si AB es igual a CD, el cuadrilátero es un paralelogramo

falacia-geometrica-2

En el cuadrilátero ABCD de la figura tracemos BX perpendicularmente a AD, y DY perpendicularmente a BC. Unimos B con D. Los triángulos ABX y CYD son congruentes y, por lo tanto, BX es igual a DY, y AX es igual a CY. Se sigue que los triángulos BXD y DYB son congruentes, y así pues, XD es igual que YB. Dado que AB es igual que CD y que AD es igual que BC, el cuadrilátero ABCD tiene que ser un paralelogramo.

[Actualización]: soluciones

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La que estoy perdida soy yo… En octubre escribí (más bien, dibujé) Acertijos geométricos para tratarlos con sencillez, y se me había olvidado poner las soluciones. Eso me pasa por no apuntar las cosas.

Gracias a CaspolinoX , a email Galicia y a Claudio por su participación y por sus soluciones.

A continuación vienen las soluciones, pero vienen de una manera especial, ya que no voy a abrir la boca para darlas; creo que más o menos todas se pueden entender con una imagen y un poco de paciencia y buen ojo, y si no es así, para eso están los comentarios. Pues… ¡adelante con el desfile!

Solución 1:

solucion-1

Solución 2:

solucion-2

 

Solución 3:

solucion-3

 

Solución 4:

solucion-4

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Bueno, como había quedado en el anterior post, aquí dejo algunos de los rasgos que caracterizarían, a mi entender, el rostro del aprendizaje por descubrimiento a través de un software geométrico como es Regla y Compás. Para mí, la característica fundamental de este tipo de aplicaciones es que permiten la interactividad, permiten trasladar las figuras o deformarlas, conservando algunas de sus características. Esto me parece ideal, por ejemplo, para que los estudiantes descubran ciertas propiedades sin tener que construir muchas figuras (triángulos, por ejemplo): si tiramos de un vértice (con el botón secundario del ratón) obtendremos otras figuras (triángulo, en este caso) en las que podremos comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo o no… Pero, desde luego, hay muchas más posibilidades.

 

Eso es lo que he intentado reflejar en las actividades que a continuación presento, aunque no todas disfrutan de las ventajas de Regla y Compás, como las tareas 3 y 5, pero de todas formas las he puesto porque también se basan en el descubrimiento.

 

1) Construir tres segmentos y trasladarlos para formar un triángulo. ¿Siempre es posible?, ¿por qué? (Esta actividad nos fue propuesta por Chiti durante una de las clases de TEM).

2) Construir un triángulo cualquiera y mover uno de sus vértices: comprobar que en todos los triángulos la suma de los ángulos es de 180º. ¿Qué ocurre con los cuadriláteros?

 

3) Construir todos los triángulos diferentes que se puedan con 3 lados dados. Construir cuadriláteros con 4 segmentos. ¿Qué ocurre en uno y en otro caso? Con esto se pretende que los alumnos se fijen en que un triángulo queda determinado por sus lados, pero no así un cuadrilátero. Esta actividad sería más interesante si los triángulos se pudieran girar, pero creo que C.a.R. no lo permite, al menos de una manera fácil: así se podrían superponer los triángulos y comprobar que son congruentes. Es más rollo, pero de todas formas siempre pueden medir los ángulos y comprobar que los lados se “conectan” siguiendo el mismo orden. Estaría bien dejarles la libertad suficiente para que sean ellos (los estudiantes) los que descubran esta “característica” de los triángulos.

4) Construir un polígono y todas sus diagonales. Ahora mover el polígono para formar otros cóncavos y convexos. ¿Se nota alguna diferencia en las diagonales en ambos casos? Con esto se pretende que los alumnos lleguen a la conclusión de que en los convexos todas las diagonales van “por dentro” y en los cóncavos no todas “van por dentro” (que es otra manera de definir los polígonos cóncavos y convexos que no tiene nada que ver con la medida de los ángulos).

 

5) Construir un segmento AB y su mediatriz. Escoger un punto de la mediatriz (X) y trazar dos segmentos que vayan desde ese punto a cada uno de los extremos (XA y XB). Medir ambos segmentos. ¿Tienen la misma medida? Escoger otros puntos de la mediatriz. ¿Ocurre lo mismo? Intentar ver la razón. En cuanto a esta actividad, creo que normalmente se define una mediatriz como la perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, pero pocas veces como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Me parece importante que los alumnos conozcan (y mejor que descubran) dicha característica.

6) Trazar las mediatrices de los lados de un triángulo. ¿Se cortan las tres en el mismo punto? Repetir la experiencia con otros triángulos (o más fácil: mover los vértices del triángulo y comprobar lo que sucede). ¿El punto de corte queda siempre dentro del triángulo? Si no es así, ¿cuándo queda fuera del mismo o sobre uno de los lados? A este punto se le llama circuncentro. Construir una circunferencia de centro dicho punto y de radio la distancia entre ese punto y uno de los vértices. ¿Qué ocurre? Intentar ver por qué ocurre esto y por qué se cortan las tres mediatrices en un único punto. Esta actividad puede parecer difícil para Primaria, pero yo creo que no lo es tanto si se tiene asumida la propiedad de la mediatriz mencionada anteriormente.

7) Comprobar que, en general, las mediatrices (medianas, bisectrices…) de los lados de un cuadrilátero no se cortan en un único punto. ¿En qué casos sí lo hace?

 

8). También se pueden construir el resto de puntos notables de un triángulo y ver alguna de sus propiedades, comprobando que tanto las tres bisectrices, como las tres medianas y las tres alturas se cortan en un único punto.

Y ya está. Desde luego esto es sólo la punta del iceberg de lo que se puede hacer. Por eso, este sitio se enriquecería mucho más con tu aportación: ¿se te ocurre alguna otra actividad? La zona de comentarios está esperando impaciente a que dejes tu granito de arena. ¡Ánimo!

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Todos sabemos los beneficios de una regla y un compás a la hora de hacer que nuestro trabajo tienda a la perfección. ¿Quieres crear una circunferencia?; pues mejor el compás que la mano alzada, desde luego, aunque seas Don Perfecto. ¡Qué mejor que una regla para hacer de una hoja en blanco una hoja cuadriculada!… Desde luego, desde que la unión entre regla y compás se consumó, hace muchísimos años, la cantidad de propiedades, figuras geométricas… que con ellas podemos realizar es infinita (o sólo limitada por la imaginación… o mejor dicho, por la escasez de imaginación).

 

Luego, con el paso de años, siglos, milenios… incluso hemos hecho grandes avances: ya no necesitamos una regla y un compás “materiales”. Hay programas informáticos que cumplen esos papeles con un sólo clic. Uno de ellos, cuyo nombre no deja lugar a dudas de sus funciones, es Regla y Compás o C.a.R. (por sus siglas en inglés). Mucha información sobre dicha aplicación se puede encontrar en esta página, que colaboradores de Chiti, de otros años, recabaron amablemente para que futuros ojos se posaran sobre sus líneas.

 

Pero no son las funciones, características y demás aspectos de C.a.R. lo que quería dejar plasmado entre estas palabras; más bien me gustaría mostrar mi opinión sobre su aplicación en el aula… (más…)

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