El cilindro y el cono se alían contra la intuición

Sí, el cilindro y el cono te pueden jugar muchas malas pasadas. Pensemos, por ejemplo, en cuántas veces «cabe» un cono en un cilindro de igual altura y radio (hombre, dicho así sólo una, pero me refiero a cuántas veces es superior el volumen del cilindro al del cono 😉 ). Quizá la intuición opine que dos, o dos y pico, pero, ¿tres? Pues sí, tres, justamente tres.

Imagen de mariebrizard.com

Mostremos ahora otra jugarreta del cono. A veces no es fácil ver el vaso medio vacío o medio lleno o, mejor dicho, la copa. Ese es nuestro caso: intenta llenar una copa de cóctel, como la de la figura (de lo que quieras), hasta lo que tú creas que es la mitad. ¿Ya está?, ¿seguro? Me apuesto algo a que todavía no has llegado a la mitad. Anda, echa un poco más. ¿Ya? Pues creo que todavía te queda otro poco: para que llegues a la mitad tienes que llenar casi hasta los 4/5 de la altura.

¿Qué no es posible? Pues las matemáticas y la intuición llevan lidiando con esta cuestión desde tiempos inmemoriales y siempre ganan las matemáticas. Puedes ver una demostración en el libro “Matemáticas de la vida misma” de Fernando Corbalán, o mejor, piénsalo tú. Sólo te daré algunos datos para no hacer esto muy tedioso:

Estarás de acuerdo conmigo en que el líquido que llena la copa se parece bastante a un cono. Las matemáticas muchas veces se basan en modelos (matemáticos, claro) cuando quieren comprender algo del mundo “real”; o sea, traducen la “realidad” a su lenguaje… Bueno, pero no nos desviemos. Ya tenemos nuestro cono. Llamemos H a su altura y R al radio. Ahora, si llenamos la copa hasta la mitad, obtendremos también un cono de la mitad de volumen. El cono que se forma tendrá altura, por ejemplo, h, y radio r. (Mira el dibujo si quieres, en donde sólo aparecen los perfiles de los conos).

  

Como los triángulos son semejantes, se cumple que h/H = r/R, o lo que es lo mismo, h = r x H/R. Con esto y sabiendo que el volumen de un cono es V = ΠxR²xH/3, intenta llegar a la conclusión de que r³ = R³ x 0,5, y de ahí a que h = (1/2)^1/3x H, que se parece mucho a 0,79 x H, que a su vez se parece mucho a 0,8 x H = 4/5 x H.

Y por último, seguro que te has hecho la pregunta: ¿y cuál es la capacidad de la copa hasta la mitad de la altura? Dándose cuenta de que tanto la altura como el radio del nuevo cono son la mitad, y aplicando la fórmula del volumen, llegamos a que la capacidad es ahora ¡1/8 de la de la copa llena!

  

 

Pero desde luego, tanta formulita no es adecuada para introducir estos conceptos a los estudiantes de Primaria. ¿Cómo lo harías? Pues desde luego no podremos demostrar, aunque sí mostrar:

Para comprobar que el volumen de un cono es la tercera parte del cilindro con la misma altura y radio, lo más fácil es construirse en papel o cartulina el cono y el cilindro sin base mediante los desarrollos planos (cuidado, que, aunque a nosotros nos parezca evidente, porque lo hemos visto muchas veces, algunos niños dibujan un triángulo en lugar de un sector circular como desarrollo plano del cono). Luego con, por ejemplo, arena, lo único que tenemos que hacer es llenar el «cono» y ver cuántas veces lo vaciamos en el «cilindro».

  

¿Y cómo comprobamos que para llenar la mitad de la copa tenemos que llegar a casi 4/5 de la altura? Pienso que es mejor que los niños intenten buscar una estrategia con lo que saben. Nada hay más gratificante ni se aprende mejor que lo que uno o una descubre por sí mismo o misma. Hay por lo menos una forma aprovechando lo que se hizo en la actividad anterior: el volumen del cono es la tercera parte del del cilindro con las “mismas características”, por lo tanto, la mitad del volumen del cono será 1/6 del del cilindro. Si medimos ⁽¹⁾ 1/6 de la altura ⁽²⁾ del «cilindro» y echamos arena hasta esa medida obtendremos lo que queremos. A continuación vaciamos el contenido del «cilindro» en el «cono» y ya sólo nos queda ver qué relación hay entre la altura del «cono» y la marcada por la arena ⁽¹⁾.

¿Cómo vemos qué capacidad ocupamos si llenamos la copa hasta la mitad de la altura? Pues también un juego fácil entre el cono y el cilindro. En este caso llenamos el «cono» hasta la mitad de la altura ⁽¹⁾ y pasamos su contenido al «cilindro». Comprobamos que llega únicamente a 1/24 de la altura del «cilindro», lo que quiere decir que su capacidad es de 3 x 1/24 = 1/8 de la capacidad inicial del «cono».

 

1) Para realizar estas medidas más correctamente, se pueden construir en cartulina el triángulo rectángulo y el rectángulo que por revolución determinan el cono y el cilindro respectivamente e introducirlos verticalmente en el cuerpo geométrico antes de echar la arena

2) Es fácil comprobar que para obtener 1/6 del volumen total del cilindro hay que echar arena hasta también 1/6 de la altura: imaginémonos los cilindros más pequeños que determinan la intersección de cada plano paralelo a la base que pasa por cada punto a k/6 de la altura (con k número natural entre 1 y 5) con el cilindro de partida. Se obtienen 6 cilindros congruentes y, por lo tanto, a 1/6 de la altura obtendremos 1/6 del volumen.

 

Actualización: agradezco a Chiti que me haya avisado de la confusión existente en el texto entre volumen y capacidad. Ya están realizados los cambios pertinentes.

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