Hace tiempo que se demostró visualmente en un post que la suma de los n primeros números naturales es igual a n(n+1)/2. Hoy me gustaría demostrar aquí la fórmula para la suma de los n primeros cuadrados, también haciendo un guiño a la intuición y a la vista. La demostración es debida a Martin Gardner, según nos informan en el artículo Deducción por inducción (1), del que está extraída.
Para el que no lo sepa, la fórmula mencionada es la siguiente:
12+ 22 + 32 + … + n2 = (2n + 1)n(n+1)/6
Y a continuación la demostración (desde luego, lo que se muestra es el caso particular para n = 4, pero el lector se dará cuenta fácilmente de que el proceso es válido para cualquier n):
Si sumamos tres veces 12+ 22 + 32 + … + n2, obtenemos un rectángulo de base 2n + 1 y altura 1 + 2 + 3 + … + n (¿por qué?):
Por lo tanto, usando la fórmula para la suma de los n primeros números naturales obtenemos que la suma que buscamos es:
12+ 22 + 32 + … + n2 = 1/3 (2n +1) n (n + 1).1/2, que evidentemente es el mismo resultado que el de arriba.
1) CASÁS FERREÑO, N. (2007): Deducción por inducción, Suma, 55, 55-60.
Que bueno el post. Que cosas estas, e¿??¿
Por cierto…te contesté al comentario en mi blog. 😉 Tenías razón jaja… se me escapó un poquito la mano y la cabecita 😉
Asias por las críticas constructivas!!
Un besito 🙂
No se si será muy tarde para dejarte un comentario , pero me sentí en la obligación de hacerlo , ya que acá encontré una fórmula que había buscado por largo tiempo …gracias por crear este espacio y espero q llegues a leer estas líneas de agradecimiento .
Ja, ja… Es un poco tarde sí (aunque no demasiado). Lo bueno de esto es que no es como el teléfono y por lo tanto, aunque me hayas escrito a esas horas, no me has despertado 😉 .
Bueno, me alegro de que el blog te sirviera de algo… gracias a ti por el comentario. Como ves sí he leído tus líneas de agradecimiento.
Saludos hacia Perú.
Mira que soy tonta. Me acabo de dar cuenta de que seguramente con lo de tarde te referías a que ha pasado mucho tiempo desde que escribí el post. Perdona por mi malentendido 🙂 .
muchas gracias… me apasiona mas la geometria que el álgebra y solo tenia la demostracion algebraica… con esto es mucho mas sencillo
Excelente me parece genial que hagan aportes de tan grandeza matemática, sigamos compartiendo conocimientos, me encantaría compartir la demostración de la suma de los primeros n terminos al cubo a partir de una configuración geométrica… Saludos los felicito