La Paradoja de Russell, barberos, hiperjuegos, Dios y demás

La llamada paradoja de Russell produjo muchos quebraderos de cabeza a los matemáticos allá por el comienzo del siglo XX. Por esa época había empezado a cobrar relevancia la idea de conjunto, y se intentaba reducir todas las matemáticas a esa idea, es decir, se pretendía que todas las matemáticas se basaran finalmente en la Teoría de Conjuntos.

Como ocurre muchas veces, los conceptos más intuitivos son los más difíciles de definir, y el uso indiscriminado de la idea de conjunto fue el que originó finalmente el humo que salía insistentemente de las cabezas de los matemáticos de la época, quemados por las paradojas que un concepto tan «simple» producía.

Fuente de la imagen: http://tualtavoz.wordpress.com

Mas, dejémonos de historias o, mejor dicho, de Historia (aunque no tengo nada contra ella, que conste)… El caso es que aún no he dicho en qué consiste la paradoja… Bueno, ya sabemos cómo son los matemáticos: les encanta jugar a «y si…». En este caso, en la cabeza de Russell (y también anteriormente Cantor había estado “divirtiéndose” con cuestiones del mismo tipo) surgió la pregunta: ¿y si consideramos conjuntos cuyos elementos sean otros conjuntos?… Hasta aquí no parece haber problema. Éste hace acto de presencia con el siguiente «y si»: ¿Y si definimos como conjunto ordinario a aquel que no se contiene a sí mismo como elemento? Bueno, en ese caso podemos llamar conjunto extraordinario a aquel que es elemento de sí mismo.

Por ejemplo, un conjunto ordinario sería el conjunto de todos los monos del mundo. Ese conjunto no es un mono y, por lo tanto, no pertenece al conjunto. Un conjunto extraordinario podría ser… pues “el conjunto de todas las cosas que no son monos” (hadas madrinas, duendecillos, unicornios, aunque sean muy monos, personas, aunque muchas hagan el mono o estén con el mono… y también el propio conjunto, claro) o “el conjunto de todas las cosas que se pueden definir con menos de 20 palabras”.

Me había confundido. El «y si» «culpable» viene ahora: ¿y si formamos el conjunto de todos los conjuntos ordinarios?, ¿es este conjunto ordinario o extraordinario? Veamos, si fuese ordinario no se contendría a sí mismo como elemento (por definición), pero entoces se tendría que contener a sí mismo (y por lo tanto ser extraordinario), porque el conjunto de todos los conjuntos ordinarios no puede rechazar a ninguno de sus elementos (por suerte). Por el contrario, si fuera extraordinario, por la propia definición, tendría que ser elemento del conjunto, pero el conjunto de todos los conjuntos ordinarios no puede contener a ningún conjunto extraordinario. Total: el conjunto no puede ser ni ordinario ni extraordinario.

¿Qué pasa entonces?, ¿dónde se encuentra la solución a la paradoja? La solución es sencilla: simplemente, es imposible que exista tal conjunto… Pero esto produjo jaquecas y quebraderos de cabeza entre el mundillo matemático, porque… ¿dónde estaba el límite de conjunto?, ¿qué podía ser conjunto y qué no?, ¿cómo estar seguros de que lo que teníamos delante de las narices era realmente un conjunto y no un producto del País de lo que no Existe (¡como si las matemáticas existieran! Igual es eso lo que ahora mismo tienes en mente, pero, ¡quién sabe!)?

No vamos a entrar en detalles (más que nada porque tampoco los conozco, seamos sinceros, pero también porque sería demasiado complejo y largo para este post). A cambio te voy a mostrar una serie de paradojas que tienen el mismo saborcillo picante de la Paradoja de Russell. Mira a ver si encuentras dónde está la contradicción en cada caso. ¡Qué te aproveche! Y espero que tanto picante no te produzca ardores en la cabeza:

• Paradoja del barbero (yo diría que la más conocida, atribuida a Russell): érase una vez en un lugar de cuyo nombre no quiero acordarme, un barbero que afeitaba solamente a aquellos hombres que no se afeitaban a sí mismos. ¿Puede existir tal barbero? Piensa en quién afeitaría a tal barbero.

• Paradoja del catálogo: catálogos los hay de muchos tipos pero, ¿podría existir un catálogo que recogiera la relación de todos los catálogos que no se mencionan a sí mismos?

• Paradoja de Berry: considera el «mínimo entero que no puede ser descrito con menos de trece palabras». Como esta expresión consta de doce palabras, ¿a cuál de estos conjuntos pertenece el entero descrito por ella: al conjunto de enteros expresables en español con menos de trece palabras o al conjunto de enteros que tan sólo podrán describirse usando trece palabras o más?

• Una variante de la paradoja anterior, expresada por el filósofo Max Black, es la siguiente (bueno, en realidad es una variante de la variante de Black 😉 ): En este blog son mencionados diversos números enteros. Fija tu atención en el mínimo entero que no haya sido mencionado en este blog de ninguna forma (y cuando digo de ninguna forma, digo de ninguna forma). ¿Existe semejante número? (Espero que no te dé por leerte todos los post para ver qué números se mencionan, aunque bueno, tampoco me importaría, que para algo escribo: ¡da gusto lectores tan atentos y competentes como tú! 😉 )

• Paradoja de Grelling: diremos que un adjetivo es heterológico si la propiedad que expresa no se aplica a sí mismo (por ejemplo: largo, monosilábico). En cambio será autológico si la propiedad definida también encaja con él mismo (por ejemplo: corto, polisilábico). Ahora considera el adjetivo “heterológico”. Averiguar si dicho adjetivo es “hetero” o “auto” te llevaría unas cuantas horas (pero unas cuantas… muchas más que leerte este extenso post, que ya es decir).

• Paradoja de Richard: Supongamos todas las definiciones de la aritmética ordenadas según su longitud, por la cantidad de letras que se contienen en ellas. Si las definiciones que contienen la misma cantidad de letras las ordenamos alfabéticamente, entonces, a cada definición se puede hacer corresponder un número natural n -su número de orden. Llamamos número de Richard a todo número que no posee la propiedad que está fijada en la correspondiente definición. Pero la definición de número de Richard también es una definición de la aritmética y a ella le corresponde también cierto número natural. Sea este número m. ¿Es el número m un número de Richard?.

• Paradoja de Raymond Smullyan (por llamarla de alguna manera, ya que la encontré en uno de sus magníficos libros): El Inspector Craig visitó una vez una comunidad y mantuvo una conversación con uno de los habitantes, un sociólogo llamado McSnurd. El Profesor McSnurd le dio a Craig la siguiente explicación sociológica:

Los habitantes de esta ciudad han formado varios clubs. Un habitante puede pertenecer a más de un club. Cada club recibe su nombre de un habitante; no hay dos clubs diferentes que reciban su nombre del mismo habitante, y todo habitante tiene un club que ha recibido su nombre. No es necesario que una persona sea miembro del club que haya recibido su nombre; si lo es, entonces se denomina sociable; si no lo es, entonces se la denomina insociable. Y lo interesante de esta comunidad es que el conjunto de todos los habitantes insociables forman un club.

El Inspector Craig meditó unos instantes y se percató de que McSnurd no podía ser demasiado buen sociólogo: su historia no se tenía en pie. ¿Por qué?

• Paradoja de William Zwicker o del hiperjuego (“extraída” tal cual, o casi, de aquí): Un juego se considera normal cuando termina en un número finito de movimientos. Un ejemplo obvio de juego normal es el mus. El ajedrez también es un juego normal, si tenemos en cuenta las reglas de torneo.
  

  Fuente de la imagen: http://www.4puntosltda.cl/otros.htm

El primer paso en el hiperjuego es decidir qué juego normal se va a jugar. Por ejemplo, si tú y yo jugáramos al hiperjuego y yo tuviera que empezar, podría decir: «Vamos a jugar al ajedrez». Entonces tú haces la primera jugada de ajedrez, y seguimos jugando al ajedrez hasta que el juego se termina. Otra posibilidad es que en mi primera jugada del hiperjuego dijera: «Vamos a jugar al mus» o cualquier juego normal que me apeteciera. Pero el juego que eligiera debería ser normal; no se permite elegir un juego que no sea normal.

Con estas condiciones, se nos plantea el siguiente problema: ¿el hiperjuego es normal o no?

Supongamos que es normal. Dado que en la primera jugada del hiperjuego puedo elegir cualquier juego normal, puedo decir: «Vamos a jugar al hiperjuego». En ese momento estamos dentro del hiperjuego y te toca a ti. Puedes contestar: «Vamos a jugar al hiperjuego» y el proceso puede seguir indefinidamente, en contra de la presunción de que el hiperjuego es normal. Así pues, el hiperjuego no es un juego normal. Pero, puesto que el hiperjuego no es normal, en mi primera jugada no puedo elegir el hiperjuego, debo elegir un juego normal. Habiendo elegido un juego normal, el juego debe terminar finalmente, en contra del hecho demostrado de que el hiperjuego no es normal.

• Paradoja de Dios: Si consideramos que Dios es un ser todopoderoso, surge una contradicción que bien podría ser utilizada por los ateos… Veamos, un ser todopoderoso se supone que tiene todos los poderes (vamos, que Superman no le llega ni a la suela del zapato). Ese ser, por tanto, también tiene el poder de crear blogs que nadie (ni tan siquiera él mismo) pueda leer por completo (porque son demasiado extensos por ejemplo, como ya empieza a serlo este post). Ya, crear un blog con esas características es un poco absurdo, pero bueno. Imaginemos entonces a Dios creando su blog (¡quién pudiera echarle una hojeada aunque fuera a un sólo post!)… y a continuación leyéndolo. ¿Podrá Dios leerlo por completo? Se supone que no, porque nadie, ni tan siquiera él, puede leerlo por completo… pero en ese caso nuestro querido Dios (o no tan querido algunas veces, depende de cómo nos trate) no tiene todos los poderes, porque no es capaz de leer un “simple” blog (lo que espero es que no lea el mío, por lo que pueda pasar)… y si es capaz de leerlo es que el blog no cumplía con las expectativas. Por lo tanto, si Dios existe, no puede ser todopoderoso (vaya chasco, ¿verdad?… O bueno, ¡eso quiere decir que Dios también tiene su tendón de Aquiles! Quién sabe, igual es mejor así).

Y ahora, ¿te animas a dar tu versión de la paradoja? ¡Ah! Se me olvidaba, si esto te ha producido muchos dolores de cabeza siempre puedes tomarte una aspirina. Gracias a Espejo Lúdico me he enterado de que éstas están destinadas especialmente para estos casos 😉 :

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Bibliografía:

BELLOGÍN, A.; NÚÑEZ, M. y VINUESA, C. La hoja volante nº 9. Disponible en http://www.uam.es/otros/hojavol/pdfs/hoja9.pdf

CÓRDOBA, A. (2006). La saga de los números. Crítica. Barcelona

GARDNER, M. (2007). ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. Ed RBA.

NÁPOLES, J. E. Paradoja y fundamentos de la matemática. Historia y pedagogía. Disponible en http://cabierta.uchile.cl/revista/27/articulos/pdf/paper3.pdf [PDF, 823 Kb]

PAENZA, A. (2005). Matemática… ¿estás ahí?. Siglo XXI editores Argentina. Buenos Aires. Disponible en http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf [PDF, 798 Kb]

SMULLYAN, R. (2007). ¿Cómo se llama este libro?. Ed RBA.

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