Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):
[…]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.
Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.
Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):
La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.
Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.
Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.
Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. Dentro del Estándar de Álgebra nos encontramos con 4 bloques, válidos para todas las edades. Me gustaría ahora mencionarlos dando un ejemplo de lo que se puede hacer en cada uno de ellos en distintos cursos para que el lector se haga una idea más precisa (los ejemplos también están extraídos de los Estándares):
Comprender patrones, relaciones y funciones
Etapa Pre-K-2 (hasta 2º de Primaria más o menos):
-Trabajar el patrón subyacente a los números del 1 al 100.
-Predecir cuál es el siguiente número en una secuencia como “azul, azul, rojo, azul, azul, rojo”
-¿En qué se parecen los siguientes patrones?: “Azul, azul, rojo, azul, azul, rojo” y “palmas, palmas, paso”
-Expresar una cantidad de distintas formas, por ejemplo, dieciocho (nueve grupos de doses, una decena y ocho unos, tres grupos de seises…).
-Contar a saltos con diferentes números en una cuadrícula (10×10) del 1 al 100 y reconocer y describir los patrones que se generan.
-Etc.
Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos
Etapa 3-5 (desde 3º a 5º-6º de Primaria):
Investigar propiedades como la conmutativa, la asociativa y la distributiva de la multiplicación respecto a la adición. ¿Es igual 3×5 que 5×3? ¿Es lo mismo 15×27 que 27×15? ¿Resulta siempre el mismo producto invirtiendo el orden de los factores?… Un modelo de área puede ayudar a que los alumnos vean que el orden de los factores no influye en el producto o la propiedad distributiva de la multiplicación:
Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas
Etapa Pre-K-2 (hasta 2º de Primaria más o menos):
Ante el siguiente problema:
Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tres. En total, hay veinte patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?
Un alumno puede representar la situación dibujando seis círculos, e indicar con trazos en el interior el número de patas. Otro puede representar la situación mediante símbolos y, partiendo de un primer supuesto de que el número de sillas es igual que el de taburetes, escribir . Observando que el resultado es demasiado grande, podría ajustar el número de asientos de cada clase para que el número de patas sea 20.
Analizar el cambio en contextos diversos
Etapa 3-5 (desde 3º a 5º-6º de Primaria):
Como parte de un proyecto científico, los estudiantes podrían plantar semillas e ir anotando el crecimiento de la planta. Utilizando los datos de la tabla y la gráfica pueden describir cómo varía la tasa de cambio a través del tiempo. Por ejemplo, uno podría expresar dicha tasa diciendo: “Mi planta no creció durante los primeros cuatro días; en los dos días siguientes, creció despacio; luego empezó a crecer más deprisa y, después, otra vez despacio”. En esta situación, los alumnos no se fijan simplemente en el tamaño que alcanza la planta cada día, sino en lo que ha ocurrido entre las alturas registradas. Este trabajo es precursor para, más tarde, prestar más atención sobre lo que representa la pendiente de una recta.
A continuación una serie de enlaces con actividades y problemas en los que se trata el Álgebra en Primaria:
- Todo esto de los patrones me recordó un trabajo, «La Resolución de Problemas», que hicimos el equipo «Los Cacharreros Matemáticos» para la asignatura TEM (Tecnología en la Educación Matemática), a cargo de Chiti. En dicho trabajo aparece un apartado con una serie de problemas, aunque sin desarrollar, destinados a Primaria, y hay unos cuantos (los 4 ó 5 primeros) que se basan precisamente en patrones. Además, desarrollamos una actividad para 6º de Primaria, descubrir el número de diagonales de un polígono sabiendo el número de lados y generalizar el resultado, que tiene mucho que ver con los patrones. Si quieres, te puedes bajar en pdf tanto la propuesta de cómo trabajar la actividad en el aula como otros métodos de resolución.
- Muchos trucos de magia creo que pueden estar en esta línea. Algunos son bastante asequibles para Primaria. Muy interesante el artículo «La Matemagia desvelada» [pdf] . Puedes encontrar más información en esta entrada que escribí casi al principio de esta andadura por la blogosfera.
- En Didáctica de las Matemáticas para Maestros [zip, 8,6 Mb] (Godino, 2004), en las páginas 447 a 454, hay una serie de actividades en esta línea.
- Página interactiva muy interesante basada en los estándares. Más información en los apuntes de Godino [zip, 8,6 Mb] (página 453).
- Páginas 137 a 140 del artículo de Butto y Rojano (2004).
- En «Early Algebra, Early Arithmetic«, hay más propuestas, aunque en inglés.
Referencias y enlaces de interés:
BUTTO, C.; ROJANO, T. (2004): Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en la geometría. Educación Matemática, vol. 16, nº 1, 113-148.
GODINO, J. D. (2004): Didáctica de las Matemáticas para Maestros [zip, 8,6 Mb ] Granada
GODINO, J. D. (2004): Matemáticas para Maestros.[zip, 8,08 Mb ] Granada.
MOLINA, M. (2009): Una propuesta de cambio curricular: integración del pensamiento algebraico en educación primaria. [pdf] PNA, 3(3), 135-156.
NCTM (2000): Estándares Curriculares para la Educación Matemática. Editado por la SAEM Thales. Sevilla. (Aquí en inglés)
Impecable!!! Un placer leer este artículo y los vinculos que propusieron en el mismo.
Muchas gracias, es de gran utilidad para los maestros que muchas veces nos asusta la palabra «álgebra» y tememos abordarla en las aulas.
Gracias por tus palabras, Natalia. Me alegra que le haya servido a alguien.
Me ha parecido muy interesante la cantida de info que entregas en tu blog, de verdad gracias!
Excelente. Soy profesor de primaria y estoy hecho un anís por trabajar toda la matemática desde estos puntos de vista.
asisti a una charla de rodolfo vergel profesor de la Universidad pedagogica de Bogota Colombia en la ciudad de Ocaña del mismo pais sobre early-algebra y me gustó, Yo utilizo cartones de huevos para realizar parte de este tema , mañana hablare sobre esto a profasores de mi colegio misael pastrana borrero paz y futuro, me entusiasma te felicito y agradezco por esta informacion que presentas profesores como vos son los que se necesitan.
gracias
muy interesante y benefisioso para el aprendisage de algebra para los ñiños de educacion primaria y enseñar la matematica a ñiños de 3 años.