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Archive for the ‘álgebra’ Category

Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

  • Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
  • ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
  • Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.


Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

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Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):

[…]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.

Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.

Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):

La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.

Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.

Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.

Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. (más…)

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