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Archive for the ‘aritmética’ Category

Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

  • Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
  • ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
  • Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.


Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

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Quizás sea el día en el que se empiezan a estudiar las fracciones uno de los días más fatales para que los estudiantes sigan viendo a las matemáticas con buenos ojos (aquellos que aún lo hacían). Los niños se preguntan por qué no pueden sumar fracciones como “Dios manda”: numerador con numerador y denominador con denominador; pero el profesor les habla de esa forma de proceder como si fuera algo demoníaco, a jurar por las voces que da, intentando que nadie haga tamaña locura.

Adentrémonos en una de esas aulas ese primer fatídico día. Pepito, en su rincón de siempre, al fondo de la clase, empieza a divagar, a adentrarse en un mundo paralelo en el que las fracciones no provoquen tantos quebraderos de cabeza… y esto es lo que escribe en su cuaderno. Una simplificación “a pelo” sin tener que escribir numerador y denominador como producto de factores primos:

reducción fracciones

Pero Pepito aún no ha terminado el paseo. ¿Por qué no hacer algo que al profesor le reviente aún más? Estaría bien oír sus chillidos mientras él suma numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Sí, es más, habría que ponerle un nombre, ¿qué tal Fracción Endemoniada?

Fracción endemoniada


El señor Jeremías, a través de sus lentes siempre llenas de mugre, mira a Pepito. Toda la clase mantiene la respiración. Los zapatos del profesor, con los cordones desatados, se acercan estrepitosamente hasta la última fila: “Pum, pum, pum”. El tiempo casi se para en ese momento. 25 miradas asustadas se posan en ese ser que avanza hasta el final de la clase. Sólo la mirada de Pepito no muestra miedo. Su rostro sonríe imaginando cómo Jeremías cae al suelo por no saber atarse decéntemente los cordones. Al fin, el profesor llega a su destino. Sus labios se abren y de su boca salen las siguientes palabras:

-¿Qué te hace tanta gracia? (más…)

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Creo no equivocarme si afirmo que las fracciones son uno de los contenidos matemáticos que más dolores de cabeza levanta entre los estudiantes de Primaria y que luego se va arrastrando durante los cursos de Secundaria. Escolano y Gairín (2005) nos informan de que un estudio del INCE de 2002 concluye que “son casi 3 de cada 4 [alumnos de 6º de Primaria] los que tienen dificultad para comprender el concepto de fracción y operar con fracciones”.

Aquí, desde luego, no voy a resolver esos problemas, pero me gustaría mostrar el significado que se le puede dar a las operaciones con fracciones. Es seguro que el lector conoce, si no todos, la mayoría de ellos; mas me apetecía recordarlos. Para ello se va a hacer uso de la fracción como parte-todo, o de la conocida técnica de cortar y coger, a pesar de que estudios recientes (Escolano y Gairín, 2005) muestran de una manera razonada que las palabras de Henri Poincaré no son tan evidentes como parecen:

Sólo hay dos métodos para enseñar fracciones: cortar, aunque sea mentalmente, un pastel, o hacerlo con una manzana. Con otro método cualquiera de enseñanza, los escolares prefieren sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.

Ellos proponen el trabajo de las fracciones como medida, cociente y razón. Remito al lector al magnífico artículo que sobre este asunto han escrito, en el que se diferencian cada uno de estos significados de la fracción del de parte-todo, se justifica su introducción en las aulas y se muestra, de forma resumida, parte de una propuesta realizada en un colegio, con buenos resultados.

Vayamos ahora al meollo del post. Intentaremos ver, ayudándonos de explicaciones, por qué se realizan los pasos que se realizan a la hora de hallar fracciones equivalentes y sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de quebrados.

Fracciones equivalentes

fracciones-equivalentes-1

Si un rectángulo lo divides en tres partes iguales y sombreas dos de ellas, la parte sombreada serán los 2/3 del rectángulo. Si no te has quedado a gusto con el resultado, siempre puedes dividir cada parte en dos partes iguales. Entonces, al final, tendrás el doble de partes. ¿Y cuántas has cogido en este caso? Pues también el doble, porque cada una de las partes sombreadas iniciales las has dividido en dos. Es decir, has cogido 4 partes de 6 iguales o, lo que es lo mismo, 4/6. Si ahora vuelves a hacer la misma disección de antes obtienes, al final, 8/12. En realidad, es fácil observar que esto se da en general, es decir, que si tenemos una fracción a/b, ésta es equivalente a ac/bc.

fracciones-equivalentes-2

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Sumas y restas de fracciones

suma-fracciones-1

Aunque a muchos escolares se les olvida, no se pueden sumar fracciones con distinto denominador. Esto se debe a que no hay forma de comparar unos trozos con otros si no hacemos una transformación. Por ejemplo, ¿cuánto es 2/5 + 1/4? Pero las fracciones equivalentes vienen a socorrernos. Siempre podemos dividir el rectángulo en 5 x 4 partes de igual área. En el primer rectángulo trazando 3 líneas horizontales y en el segundo creando 4. Estas partes, aunque no tengan la misma forma en ambos rectángulos, sí que tienen igual área (hecho que también les cuesta bastante a los estudiantes aceptar). Así, en el primer rectángulo obtenemos 8/20 y en el segundo 5/20, es decir, en total 13/20. En general lo que hacemos es hallar dos fracciones equivalentes con el mismo denominador. Así tenemos el rectángulo dividido en partes de igual tamaño. Luego es fácil saber cuántas partes tenemos en total sin más que sumar los numeradores de las fracciones equivalentes. El razonamiento es idéntico para la resta.

suma-fracciones-2

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se entiende mejor si al “por” le damos el significado de “de”, es decir, 1/5 x 1/4 quedaría como 1/5 de 1/4; aunque bueno, también se puede entender como 1/5 veces 1/4. (más…)

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Fuente de la imagen: http://www.rmm.cl

Fuente de la imagen: http://www.rmm.cl

Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental” es un libro cuyo nombre ya indica suficientemente de qué trata. No es un libro moderno, que acabe de ser publicado, ni mucho menos (fue dado a luz en 1991); lo que no quita que sea interesante. Además, tuve el enorme placer de aprender muchas cosas con una de sus autoras, Maria Inés Rodríguez Vela, en la asignatura “Recursos para la enseñanza de las matemáticas”. A la otra autora, Josefa Fernández Sucasas, no tengo el gusto de conocerla.

Los juegos y pasatiempos que se nos muestran en el libro están clasificados por contenidos que tratan o por una determinada clase de pasatiempo/juego: Numeración, Cálculo más sencillo, diagramas de cálculo, prácticas de la multiplicación, cuentas incompletas, práctica de operaciones combinadas, criptogramas, series, adivinar números ocultos, sistema métrico decimal, divisibilidad.

En las primeras páginas aparece un cuadro-esquema con las características de cada juego, atendiendo a la duración, material, cálculo a realizar (contenidos y operaciones que se persiguen con su realización), grado de dificultad, nº de jugadores y página en la que se explica, con la ventaja que esta organización conlleva a la hora de buscar un juego acorde con lo que en cada momento necesitemos.

Y no sé lo que el lector o lectora necesita ahora, pero me gustaría mostrar 2 ó 3 juegos del libro; en este caso para practicar las tablas de multiplicar. Vamos allá:

Juego con dados poliédricos

Contenidos: tablas de multiplicar y utilización correcta de los signos <, > e =

Material: Dos dados poliédricos por pareja: Un dodecaedro regular en el que en cada una de sus caras aparezca un número del 1 al 10, de tal manera que cada uno de los números aparezca una y sólo una vez. Las dos caras sin número quedarán en blanco (a no ser que se quieran trabajar las tablas del 11 y del 12) y servirán de comodín. El otro dado tendrá la forma del poliedro regular que se quiera, dependiendo del número de tablas que se deseen aprender o repasar. Si se quieren repasar 2, por ejemplo las tablas del 5 y del 6, siempre cabe la opción de construir un tetraedro con dos caras con un cinco y con las otras dos en las que aparezca un 6 (por cierto, en el tetraedro la cara que vale es la que está en contacto con la mesa) o un cubo con tres caras con un número y con otras tres con el otro… (En esta página te puedes descargar en pdf todos los desarrollos planos de los poliedros regulares… y de algún otro poliedro).

Número de jugadores: los que se quieran, pero por parejas.

Desarrollo: cada componente de la pareja tira los dos dados y realiza la multiplicación que se le ordena (si cae en comodín, entonces elige el número por el que quiera multiplicar, aunque dando una razón convincente; por ejemplo, porque quiere conseguir un número más alto que su compañero). Se apuntan en un cuaderno las multiplicaciones realizadas por cada persona de la pareja y luego colocan un signo >, < o =, según corresponda. Por ejemplo, al primer jugador le ha salido 3×8 y al segundo 5×7. Entonces apuntarán lo siguiente:

3×8 = 24 < 5×7= 35.

Se seguirá con el mismo procedimiento durante un tiempo estipulado.

Desde luego, esta actividad también se puede hacer con puntuación para cada pareja, de tal manera que se puede crear una competición entre todas ellas.

Juego del tablero

Material: Un tablero como el de la figura y 100 fichas cuadradas del tamaño de cada casilla. Cada una de estas fichas tendrá un número, de forma que sea posible cubrir todo el tablero con ellas colocando en cada casilla el resultado de multiplicar un número de la columna roja por otro de la fila roja. Por ejemplo: en la casilla intersección entre la fila 5 y la columna 7 se colocará la ficha con el número 35.

tabla-multiplicativa-1

Número de jugadores: Un mínimo de 5. (más…)

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¿Calculadora en clase de mates? Miremos lo que responde el siguiente gato a la pregunta:

Aunque la tira cómica nos puede sacar una sonrisa, creo que el asunto es bastante serio. Seguramente que la mayor parte de las personas están de acuerdo en que ésta se introduzca en Secundaria. Lo que parece crear más duda es si sería recomendable introducirla en Primaria o incluso antes. Por ello quizás no sea raro oír frases como:

“Los niños que aprenden a calcular con máquinas luego no saben hacerlo sin ellas. ¿Qué pasa cuando se acaban las pilas o se estropea la calculadora?”

“No se deben usar, porque acaban sabiendo menos Matemáticas.”

“Las calculadoras no se deben usar en clase porque los alumnos no saben qué hacer luego sin ellas. Les pides que calculen 56 x 10 y lo primero que hacen es encender la calculadora.” (más…)

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