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Archive for the ‘didáctica’ Category

Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

  • Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
  • ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
  • Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.


Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

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Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):

[…]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.

Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.

Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):

La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.

Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.

Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.

Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. (más…)

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Vamos con el segundo post de la “Colección Matemática Inclusiva”. Este va dedicado a la manipulación, pero no a la manipulación de personas, sino a la manipulación de objetos. Las ideas matemáticas son muy abstractas por lo general, y la utilización de materiales manipulables (que pueden haber sido creados específicamente para las matemáticas o no) pueden ser un peldaño donde el estudiante se apoye para subir desde la realidad a las ideas matemáticas; de otra manera el salto se hace mucho más difícil.

Aunque había quedado en el anterior post en citar únicamente las actividades propuestas en el libro y luego centrarme en una sola, no es lo que voy a hacer en este caso. Más bien voy a citar los 4 materiales que aparecen en el libro (bastante conocidos por todos), aportando una idea extraída del libro de cada uno de ellos. Aparte, en algunos casos completaré la información con softwares que simulan dichos materiales, con actividades extraídas de Internet o del libro y/o con un acercamiento a las características de dicho material. Pues vamos con ellos:

Operaciones con el soroban (o ábaco japonés):

Fuente de la imagen: http://www.ee.ryerson.ca

Fuente de la imagen: http://www.ee.ryerson.ca

Cita del libro:

El ábaco es un material didáctico que se tiene que explicar. Es difícil llegar a conocer sus posibilidades de forma autónoma. […] El material por él mismo no plantea problemas que el aprendiz pueda trabajar por cuenta propia. Como decíamos, en este caso es difícil descubrir la función del material y provocar una actividad espontánea en torno a su manipulación. Eso, sin embargo, no impide que se pueda presentar, como lo hemos hecho, a fin que se haga el esfuerzo de conocerlo lo más autónomamente posible.

Más información:

Libro “Aritmética en el ábaco japonés” (puedes leerlo entero en red o bajarlo) de Óscar Zúñiga Morelli.

Libro “Operaciones fundamentales en la aritmética del ábaco chino” (puedes leerlo entero en red o bajarlo) traducido por Peter Yang.

En el libro “Circo Matemático” de Martin Gardner también hay un capítulo dedicado al ábaco.

Software:

Soroban 1.3 (para Windows)

Xabacus (para Linux): instrucciones [pdf] de instalación y funcionamiento.

Actividades:

Actividades clic para Infantil y Primaria

Actividades [pdf] con ábaco abierto para niños ciegos.

Nuestro viejo y querido ábaco” (artículo de “Correo del Maestro” número 19). Actividades dirigidas a niños de entre 5 y 7 años.

 

Descubrimiento de propiedades numéricas con regletas numéricas de Mª Antonia Canals

Cita del libro:

Las regletas permiten:  (más…)

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Bueno, como había quedado en el anterior post, aquí dejo algunos de los rasgos que caracterizarían, a mi entender, el rostro del aprendizaje por descubrimiento a través de un software geométrico como es Regla y Compás. Para mí, la característica fundamental de este tipo de aplicaciones es que permiten la interactividad, permiten trasladar las figuras o deformarlas, conservando algunas de sus características. Esto me parece ideal, por ejemplo, para que los estudiantes descubran ciertas propiedades sin tener que construir muchas figuras (triángulos, por ejemplo): si tiramos de un vértice (con el botón secundario del ratón) obtendremos otras figuras (triángulo, en este caso) en las que podremos comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo o no… Pero, desde luego, hay muchas más posibilidades.

 

Eso es lo que he intentado reflejar en las actividades que a continuación presento, aunque no todas disfrutan de las ventajas de Regla y Compás, como las tareas 3 y 5, pero de todas formas las he puesto porque también se basan en el descubrimiento.

 

1) Construir tres segmentos y trasladarlos para formar un triángulo. ¿Siempre es posible?, ¿por qué? (Esta actividad nos fue propuesta por Chiti durante una de las clases de TEM).

2) Construir un triángulo cualquiera y mover uno de sus vértices: comprobar que en todos los triángulos la suma de los ángulos es de 180º. ¿Qué ocurre con los cuadriláteros?

 

3) Construir todos los triángulos diferentes que se puedan con 3 lados dados. Construir cuadriláteros con 4 segmentos. ¿Qué ocurre en uno y en otro caso? Con esto se pretende que los alumnos se fijen en que un triángulo queda determinado por sus lados, pero no así un cuadrilátero. Esta actividad sería más interesante si los triángulos se pudieran girar, pero creo que C.a.R. no lo permite, al menos de una manera fácil: así se podrían superponer los triángulos y comprobar que son congruentes. Es más rollo, pero de todas formas siempre pueden medir los ángulos y comprobar que los lados se “conectan” siguiendo el mismo orden. Estaría bien dejarles la libertad suficiente para que sean ellos (los estudiantes) los que descubran esta “característica” de los triángulos.

4) Construir un polígono y todas sus diagonales. Ahora mover el polígono para formar otros cóncavos y convexos. ¿Se nota alguna diferencia en las diagonales en ambos casos? Con esto se pretende que los alumnos lleguen a la conclusión de que en los convexos todas las diagonales van “por dentro” y en los cóncavos no todas “van por dentro” (que es otra manera de definir los polígonos cóncavos y convexos que no tiene nada que ver con la medida de los ángulos).

 

5) Construir un segmento AB y su mediatriz. Escoger un punto de la mediatriz (X) y trazar dos segmentos que vayan desde ese punto a cada uno de los extremos (XA y XB). Medir ambos segmentos. ¿Tienen la misma medida? Escoger otros puntos de la mediatriz. ¿Ocurre lo mismo? Intentar ver la razón. En cuanto a esta actividad, creo que normalmente se define una mediatriz como la perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, pero pocas veces como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Me parece importante que los alumnos conozcan (y mejor que descubran) dicha característica.

6) Trazar las mediatrices de los lados de un triángulo. ¿Se cortan las tres en el mismo punto? Repetir la experiencia con otros triángulos (o más fácil: mover los vértices del triángulo y comprobar lo que sucede). ¿El punto de corte queda siempre dentro del triángulo? Si no es así, ¿cuándo queda fuera del mismo o sobre uno de los lados? A este punto se le llama circuncentro. Construir una circunferencia de centro dicho punto y de radio la distancia entre ese punto y uno de los vértices. ¿Qué ocurre? Intentar ver por qué ocurre esto y por qué se cortan las tres mediatrices en un único punto. Esta actividad puede parecer difícil para Primaria, pero yo creo que no lo es tanto si se tiene asumida la propiedad de la mediatriz mencionada anteriormente.

7) Comprobar que, en general, las mediatrices (medianas, bisectrices…) de los lados de un cuadrilátero no se cortan en un único punto. ¿En qué casos sí lo hace?

 

8). También se pueden construir el resto de puntos notables de un triángulo y ver alguna de sus propiedades, comprobando que tanto las tres bisectrices, como las tres medianas y las tres alturas se cortan en un único punto.

Y ya está. Desde luego esto es sólo la punta del iceberg de lo que se puede hacer. Por eso, este sitio se enriquecería mucho más con tu aportación: ¿se te ocurre alguna otra actividad? La zona de comentarios está esperando impaciente a que dejes tu granito de arena. ¡Ánimo!

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Éste es un post que escribí destinado a otro sitio, pero no he podido lograr llegar a ese sitio, por ello lo dejo aquí, abierto a todo el mundo:

El mundo se puede ver de múltiples formas: con ojos calculadores, con ojos negros o de color de rosa, con ojos de ladrón, con ojos llenos de paz y amor, con ojos de desesperación, de depresión, tristeza, alegría, con ojos de enano o de gigante, con ojos de “voy a comerme el mundo” o por el contrario con ojos de “el mundo es indigesto”, con ojos de Sara, Luis, Pedrito y Raquel… y también con ojos geométricos.

Cuando empiezas a ver todo lo que te rodea con ojos geométricos surgen transformaciones en ti… Vamos, no es que tu globo ocular tienda a ser más esférico ni nada parecido… pero te sientes como un explorador en la jungla en busca de una nueva especie geométrica que descubrir, de una nueva idea que adornar con un toque geométrico. Te das cuenta de que todo está envuelto en el papel de regalo de la geometría, de que ésta acecha escondida en cualquier rincón para gastarte una broma… y lo que es más importante: también sabes que la geometría, al igual que la matemática en general, tiene su lado humano…

La gente que todavía no ha desarrollado su visión de rayos geométricos me llamarán loca. Ja, se jactarán, <<¿su lado humano?>>, <<¿qué valores pueden aprenderse con la geometría?>>, <<¿es que acaso no sabemos ya que las matemáticas son frías y calculadoras?, lo hemos comprobado en la escuela>>… Sí, es una pena que muchas veces la escuela no haya hecho nada más que ponernos una venda en los ojos que nos impide ver estas cosas… Pero bueno, no seamos pesimistas, aquí estamos nosotros dispuestos a cambiar eso, ¿no es cierto, compañeros? (más…)

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http://humoraop.blogspot.com
Fuente de la image: http://humoraop.blogspot.com

Hace tiempo que por estos lares aparecía una entrada que justificaba en cierta medida el uso de calculadoras en clase… Leyendo el apartado “Isn´t it cheating to use a calculator?” (¿No es un timo usar una calculadora?) de Mathematics Explained for primary teachers de Derek Haylock obtenemos otra justificación que me parece importante comentar aquí.

Podemos decir que esa justificación da la mano a un proceso matemático que denominamos modelización. La modelización (de la que ya se habló aquí) es un proceso que traslada un problema de la vida real a un problema matemático que resolvemos. Una vez resuelto interpretamos de nuevo el resultado en términos “reales” y comprobamos si la solución se adecua a nuestras expectativas. Un poco más esquematizado podemos decir que la modelización consta básicamente de 4 fases:

  1. Presentar el modelo matemático

  2. Obtener la solución matemática

  3. Interpretar la solución matemática en el mundo real

  4. Comparar la solución con la realidad de la situación original

Para una mayor comprensión de estos procesos nos remitiremos al ejemplo que nos muestra Haylock. Imaginemos que en el mundo real se nos presenta el siguiente problema: “¿Cuántas cajas necesitas para introducir en ellas 150 calculadoras si cada caja puede contener únicamente 18 calculadoras? Entonces nosotros “traducimos” ese problema en términos matemáticos: 150:18 (Fase 1), luego obtenemos la solución matemática: 8,33333… (fase 2), a continuación la interpretamos en el mundo real: “eso quiere decir 8 cajas y un poco más” (fase 3), para finalizar intentamos adecuar esa solución a lo que realmente necesitamos; en este caso no podemos coger 8 cajas y un poco más, y como con 8 cajas nos quedarían calculadoras sin embalar, necesitamos 9 cajas (fase 4).

Hay veces en las que el modelo elegido no cumple nuestras expectativas al trasladarlo al “mundo real”; en esos casos tendremos que repetir de nuevo todos los pasos. Otras veces, sin embargo, puede existir más de un modelo más o menos satisfactorio que intenta dar solución a un mismo problema (piénsese por ejemplo en los diferentes sistemas de votación).

El lector reflexivo podrá darse cuenta de que la calculadora sólo nos resuelve el paso 2 y nada más. Dicho artilugio nos puede ahorrar muchas operaciones innecesarias y permitirnos centrarnos en otros aspectos igual o más relevantes; en el resto de fases del proceso de modelización… Y creo que no queda ninguna duda de la importancia que el proceso de modelización desempeña en la enseñanza: este proceso nos invita a resolver problemas realistas, problemas que realmente nos vamos a encontrar en nuestra vida diaria, ¿acaso no es ese uno de los objetivos básicos que se deberían pretender con el proceso de aprendizaje-enseñanza? (más…)

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¿Calculadora en clase de mates? Miremos lo que responde el siguiente gato a la pregunta:

Aunque la tira cómica nos puede sacar una sonrisa, creo que el asunto es bastante serio. Seguramente que la mayor parte de las personas están de acuerdo en que ésta se introduzca en Secundaria. Lo que parece crear más duda es si sería recomendable introducirla en Primaria o incluso antes. Por ello quizás no sea raro oír frases como:

“Los niños que aprenden a calcular con máquinas luego no saben hacerlo sin ellas. ¿Qué pasa cuando se acaban las pilas o se estropea la calculadora?”

“No se deben usar, porque acaban sabiendo menos Matemáticas.”

“Las calculadoras no se deben usar en clase porque los alumnos no saben qué hacer luego sin ellas. Les pides que calculen 56 x 10 y lo primero que hacen es encender la calculadora.” (más…)

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