Los calzoncillos de Möbius

Hace un par de días me llegó el último número (el 66) de la Revista Suma. Para mi agradable sorpresa venía acompañado de un DVD con todas las revistas de la 1 a la 63 en pdf. Así que vorazmente me puse a leer y ojear algunos artículos desperdigados aquí o allá y me encontré con un pequeño artículo de una página que hablaba de los calzoncillos de Möbius (“La curiosa historia de… Los calzoncillos (con perdón) de Möbius”.  Revista nº 13.  Año 1993. Página 66. Autor: Mariano Martínez Pérez). Los calzoncillos de Möbius, como se puede imaginar el lector, y al igual que todas las prendas de vestir de Möbius (las cuáles son muy codiciadas y a día de hoy; que yo sepa, apenas se conocen) y que la banda de Möbius (la posesión más conocida de este personaje), tiene una sola cara. Debajo un dibujo de dichos calzoncillos:

Los calzoncillos de Möbius

Se reta al lector a “encontrar” más prendas de vestir (u otro tipo de objetos) que pertenecieran a Möbius.

PD: Por cierto, como nos dicen en la wikipedia, la «banda de Möbius»: Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Es decir, aunque se llame como se llama no podemos olvidarnos de Benedict.

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Figuras con círculos: otro buen recurso para hacer matemáticas

Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

• Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.

• ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?

• Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.

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Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

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Flores matemáticas en San Valentín

El amigo Joaquín, de «Matemáticas interactivas y manipulativas…«, nos invita a crear unas flores muy especiales para este día de San Valentín (o, por qué no, para cualquier otro). O sea que ya sabes, si estás cansado o cansada de regalar siempre las mismas flores, o si no tienes dinero para pagarlas y aun así quieres sorprender a tu pareja, o si, simplemente, no tienes nada mejor que hacer, ponte manos a la obra y con un poco de paciencia y amor obtendrás algo parecido a:

Guapas, ¿eh? Pues visita el post mencionado para saber cómo se hacen y alguna otra sopresa.

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Sierpinski de nuevo

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es/

Ayer escribí este post. Bien, pues el caso es que una mosca cojonera no paraba de molestarme en la mente. Esa mosca cojonera era la idea de que había leído en un libro de Ian Stewart un capítulo relacionado con este tema. El caso es que como ando en, por lo menos, dos mundos diferentes, y el libro lo tenía en el otro mundo, no pude confirmar mis sospechas hasta hoy… Y sí, ahí estaba él, esperando a que le echara una ojeada. Desde luego, lo primero que hice es releer el capítulo para comprobar que no había nada nuevo. El que está leyendo estas líneas seguramente sospecha, acertadamente, que sí que había algo digno de contar (o por lo menos que a mí me lo parece) y que “eso” va a aparecer aquí debajo. Aunque te cueste creerlo, el Triángulo de Sierpinski nos lo podemos encontrar todavía en otro paraje matemático diferente, pero dejemos a Stewart que hable:

Ron Menendez, de Chatman, Nueva Jersey, señaló otro ejemplo más del triángulo de Sierpinski. Dibuje tres puntos A, B y C en el plano en los vértices de un triángulo equilátero, y elija de forma aleatoria un punto de partida X en el plano. Escoja al azar uno de los vértices A, B o C, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 1/3. (Por ejemplo, lance un dado y establezca que 1 o 2 corresponden a A, 3 0 4 a B y 5 o 6 a C.) Encuentre el punto intermedio de la línea que une X con el vértice elegido: ésta es la nueva posición de X. Ahora repita, eligiendo siempre un vértice A, B o C de forma aleatoria y moviendo X al punto intermedio entre su posición actual y ese vértice. Aparte de unas cuantas posiciones iniciales en las que el paseo se <<asienta>>, ¡la nube de puntos resultante es un triángulo de Sierpinski!

Esto es bastante sorprendente dado su carácter aleatorio, pero la teoría de los fractales autosimilares del matemático Michael Barnsley lo explica. El triángulo de Sierpinski tiene tres esquinas A, B y C. Está construido a partir de tres copias de sí mismo, cada una de la mitad de su tamaño: esto es, se obtiene al reemplazar cada punto en el triángulo por el punto medio de la línea que lo une con A, con B, o con C. Esta característica del triángulo corresponde a las reglas para el paseo aleatorio. Barnsley ha demostrado que, con probabilidad 1, cualquier paseo aleatorio que siga las reglas <<converge>> con el triángulo, lo que significa que después de unos cuantos pasos cada punto que dibuje se encuentra muy cerca del triángulo.

Lo bonito de este ejemplo es que el triángulo emerge de forma bastante azarosa de una nube de puntos, en lugar de ser dibujado por partes.

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es

¡Casi se me olvida! El libro de Ian Stewart en el que aparece esto es “Cómo cortar un pastel”. No te olvides tampoco de echar un ojo a esta página de Eduteka si quieres trabajarlo en clase. Pincha aquí para acceder a un applet (requiere Java). Si te apetece buscar más información por tu cuenta te recomiendo que busques por «Juego del Caos».

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Sierpinski, Hanoi, Pascal…

Tanto el triángulo de Sierpinski como el triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi son bastante conocidos para cualquiera que haya visitado con deleite el mundo de las matemáticas. Quizá no sea tan conocido el nexo que une el primero con los otros dos. Eso es lo que intentaré mostrar en este post.

 

El triángulo de Sierpinski es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá. En la imagen puedes observar las primeras seis iteraciones:

 

Este triángulo, como todos los fractales, tiene curiosas características. Sólo nos vamos a detener en el área, porque la vamos a necesitar para más tarde. Aunque en un primer momento parezca que no, es relativamente fácil calcularla sin más que fijarnos en lo que ocurre en las primeras etapas de la construcción y generalizar. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Después de la primera etapa hemos eliminado un triángulo con área ¼, así, nos quedamos con ¾. En la segunda etapa, nos quedamos con 9 triángulos de los doce que quedan (¾), es decir, el área es ahora de ¾ x ¾. Observando un poco podemos generalizar sin problema y llegar a la conclusión de que en la etapa n tendremos un área de (3/4)ⁿ y, por lo tanto, cuando n tiende a infinito, el área tiende a cero.

 

Pero, de la misma forma que pasa con cualquier espécimen, el mundo (en este caso el matemático) sería bastante aburrido si sólo existieran triángulos de Sierpinski, de ahí que haya surgido una generalización de ese triángulo. ¿Cómo? Sólo tenemos que dividir cada lado del triángulo inicial en k partes iguales y luego trazar paralelas a los lados para formar triángulos equiláteros del mismo tamaño. Luego eliminamos los triángulos que tienen un vértice mirando hacia abajo (para entendernos). Repetimos el mismo proceso con cada triángulo que nos ha quedado, y así una y otra vez. En el dibujo se muestra el triángulo obtenido en la segunda etapa con k = 5.

 

 

 

Ya estamos en condiciones de asomar la cabeza por el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi.

 

Sierpinski y Pascal

 

Primero, para el que no lo conozca, haré una breve descripción del Triángulo de Pascal. Es éste una disposición triángular (como no podía ser de otro modo) de números, cuyos lados derecho e izquierdo son todos números 1 y donde cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores, como se muestra en el dibujo.

 

El Triángulo de Pascal tiene muchísimas propiedades interesantes (pero eso para otro post). Para lo que ahora tenemos entre manos sólo nos interesa reconocer qué números son pares y cuáles impares. Para ello ni siquiera es necesario saber qué números tenemos que colocar en cada casilla. Basta con saber que la suma de dos números impares o dos números pares siempre da un número par y que la suma de un número impar con uno par (y al revés, lógicamente) es siempre impar. Así, podemos pintar los números pares de nuestro triángulo de color blanco y los impares de negro. Entonces comenzamos pintando los laterales (que sabemos que valen 1) de negro. Luego sólo tenemos que colorear con cuidado de no equivocarnos (y si somos niños pequeños de no salirnos). El resultado es el siguiente (desde luego, esto sólo es una parte del triángulo, que se supone que puede tener infinitas filas):

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Ambigrama Ciencia-Letras

Sólo me ha salido esto:

Dudo que algún ambigramista lea mi blog, pero si es así le invito a que me envíe su ambigrama «ciencia-letras». Desde luego, aunque no seas ambigramista también me puedes enviar tu versión. Las espero.

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Los fractales y el Gato Garabato

Los fractales, esos “entes geométricos infinitos”, enamoraron mi mente desde la primera vez que los vi… y no sólo por el colorido y la hermosa estructura que resultaba de su más o menos precisa representación, sino también (y sobre todo) por el contenido matemático y las maravillosas ideas que le daban vida. ¿Quién habría pensado alguna vez que “existiera” un “bicho” de dimensión fraccionaria, por ejemplo? ¿Cómo es posible que realizando un mismo proceso sencillo infinitas veces nos resulte algo aparentemente tan complejo como un fractal? Es realmente hermosa esta unión de complejidad y sencillez… Lo sé, en la naturaleza también se da esta mezcla, y por eso los fractales nos los encontramos en la misma (esto es mucho decir, pero igualmente es cierto que en el mundo real no existen las circunferencias o los círculos y sin embargo hacemos como si existieran).

Pero, ¿qué es un fractal? Más o menos ya lo he dicho con mis anteriores palabras. Un fractal es una estructura geométrica resultante de la iteración (repetición) infinita de un proceso geométrico simple y bien especificado, que le suele dar un aspecto final de gran complejidad. Una de las características de los fractales es la autosemejanza: si escogemos cuidadosamente una parte del mismo, obtendremos nuevamente el fractal de partida, aunque en tamaño más pequeño.

Fuente de la imagen: http://weblogs.madrimasd.org

Quizá esto se entienda mejor con un ejemplo. Cojamos un segmento de longitud 1 y dividámoslo en tres partes iguales. Ahora retiramos la del medio y nos quedamos con los extremos (al contrario de lo que deberíamos hacer en la vida cotidiana). Volvemos a repetir el proceso (eh aquí la iteración de la que hablábamos) en cada uno de los dos segmentos, de longitud 1/3, que nos han quedado. Luego realizamos nuevamente el mismo procedimiento en los 4 segmentos que tenemos… y así hasta el infinito. En este caso no podemos hablar de un fractal hermoso y colorido… porque aparentemente, para un ojo humano, el resultado es el mismo que si no hubiéramos hecho nada (aunque en realidad nos queda un conjunto de puntos con muchos agujeros). A este fractal lo denominamos conjunto de Cantor… Es curioso que, a pesar de tener longitud nula, tenga tantos puntos como el espacio tridimensional. Pero con los fractales ocurren estas cosas.

Fuente de la imagen: http://milrecursos.com

Por Internet hay infinidad de imágenes de fractales que el lector-investigador puede buscar sin mucha dificultad. Lo que quiero mostrar hoy en este post es otra cosa: un ejemplo de «poesía fractal». Vamos, un fractal construido con palabras. No es que sea exactamente un fractal, claro, pero seguro que el atento lector sabrá deducir qué relación tienen las siguientes palabras con dicho ente geométrico. La versión original está en inglés (hago una traducción bastante chapucera después. Agradezco cualquier aportación para su mejora) y la escribió Dane R. Camp. La encontré en el número 2 del volumen 30 de la “Journal of Recreational Mathematics” (1999-2000), páginas 83-86. Está basada en el clásico cuento para niños «El Gato Garabato» (The Cat in the Hat en inglés), del Dr. Seuss. Pues adelante:

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Intergeo: Algo más que un espacio de reunión de recursos geométricos

Del proyecto Intergeo ya nos habló Chiti hace tiempo. Ayer me lo volví a encontrar; esta vez de la mano de «Matemáticas y sus fronteras«, y no quise dejar pasar la oportunidad de presentarlo en este espacio. Parece ser que la fuente de referencia [pdf] del post se encuentra en el nuevo número (nº 70) de la revista Números, de descarga gratuita [pdf] o para ver en la web.

Pero, ¿qué es eso del proyecto Intergeo? Es un proyecto “engendrado” por el programa econtentplus; este último nace como una iniciativa de la Unión Europea con el fin de hacer más asequible los contenidos digitales a los usuarios de Internet. En concreto, el proyecto Intergeo, como el propio nombre parece indicar, se refiere a las matemáticas y a la geometría interactiva, y pretende aportar un espacio para reunir todos esos recursos con esta temática que actualmente se encuentran desperdigados por la Red, en muchos servidores diferentes y en múltiples formatos. Desde luego, esto es una gran ventaja para el profesorado y un ahorro de su tiempo. Podemos concretar todo esto en tres objetivos:

• Facilitar la búsqueda y elaboración de recursos relacionados con la Geometría Dinámica.
• Crear un formato estándar de archivo que permita al docente usar su software preferido, ya sea de naturaleza comercial o libre.
• Establecer estándares de calidad que permitan a la comunidad educativa evaluar adecuadamente los diversos recursos existentes.

En el proyecto (que comenzó en 2008 y que tiene una duración aproximada de 3 años) participan Alemania, la República Checa, Francia, Holanda, Luxemburgo y España

También participan, como era de suponer, los principales desarrolladores de software: Cabri, Geogebra, Cinderella, Wiris, Tracenpoche, Geoplan-Geospace, Geonext, Openmath y Activemath.

¿Y qué sería de un proyecto como este sin un portal donde poder realizar tamaña empresa? El portal, en este caso, es http://i2geo.net. Allí cualquiera (la única condición es tener más de 13 años) puede darse de alta y, lo que también es muy importante, aportar algún recurso. Como nos dicen en Números:

Para los interesados en aportar sus propias creaciones al portal de Intergeo, basta acceder a la sección [CONTRIBUIR→Añadir un recurso]. Podemos distinguir los siguientes tipos de recursos que pueden aportarse a la plataforma:

Construcciones realizadas con software de geometría dinámica: Las construcciones pueden enviarse en forma de archivo en el formato adecuado o también puede indicarse el enlace donde se encuentran alojadas.

Videos explicativos: El sistema también admite la posibilidad de subir videos informativos relacionados con Intergeo y la geometría interactiva.

Lecciones (Lesson Plans): Permiten crear una completa unidad de aprendizaje en la que se especifican entre otras cosas los objetivos, los materiales necesarios y los contenidos de la unidad, así como el lugar que ocupa en el currículo educativo.

¿Y si no quieres contribuir y sólo buscas un recurso? Pues otra vez Números viene al rescate:

En la actualidad la herramienta de búsqueda de actividades se encuentra en proceso de desarrollo, y esto implica que la forma de acceder a las mismas no es todavía muy amigable y presenta carencias importantes. Lo mejor que podemos hacer es ir a [ENCONTRAR→ Buscar recursos por tema] y seleccionar uno de los recursos disponibles. Una vez hecho esto, se nos mostrará una nueva pantalla con la información principal del recurso

Y… ¿qué podemos decir de la calidad de los recursos que actualmente están alojados en dicho portal?

En cuanto a la presencia de materiales didácticos en español, su calidad y variedad es notoria, y a fecha de hoy el portal de Intergeo recoge cerca de 1000 muestras elaboradas por profesores españoles que tienen una amplia experiencia en la creación de actividades de geometría interactiva para el aula, y que próximamente estarán disponibles públicamente. En particular, cabe destacar las aportaciones de Manuel Sada, José Antonio Mora, José Manuel Arranz y Rafael Losada.

Estos 4 hombres forman, para el que no lo sepa, el grupo G4D; una de cuyas aportaciones es la magnífica página web geometriadinamica.es

Otros aspectos a destacar son la posibilidad de crear equipos de trabajo y de evaluar los recursos alojados en el portal. Para más información acércate al propio portal o a cualquiera de los tres documentos mencionados en el primer párrafo.

Y dicho esto, ¿a qué esperas para darte de alta y contribuir de alguna manera?

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Soluciones a los problemas de abril-mayo de 2009

Pues vamos con ellos.

Soluciones de Falacias geométricas:

1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.

2) Mira el contraejemplo de la figura:

Soluciones de Problemas de áreas sombreadas

1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:

2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución.

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Dr. Quantum: Paseo por otras dimensiones

Me entero por Eva M, en su blog Matemáticas a nuestro lado, de la existencia del Dr. Quantum, personaje variopinto protagonista de una serie con la que se intenta divulgar las matemáticas, la física…  Eva M. nos acerca un vídeo de dicho personaje, en el que se perfilan algunas de las diferencias entre la dimensión dos y la dimensión tres, además de hacernos cuestionar si realmente lo que vemos es lo único que hay. Me gustan especialmente las frases: «Si sólo vemos lo que conocemos, ¿cómo puede ser que alguien vea una cosa nueva, lo desconocido?, ¿cómo logramos salir de nuestra caja?».

Si te gusta esto de las dimensiones, y si todavía no lo has hecho, no puedes dejar de leer el magnífico libro de Edwin A. Abbott, Planilandia [pdf] (más información en este post de Eva M.).

No te olvides tampoco de visitar este post que escribí hace tiempo sobre unos vídeos de descarga gratuíta en los que se llega poco a poco hasta la cuarta dimensión.

Y por último, por si no es bastante, también te invito a pasar unos minutos en compañía de Carl Sagan, que nos habla de la dimensión 2 y de la 4 de una manera sencilla:

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