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Archive for the ‘Libros’ Category

Antes de entrar en materia me gustaría que el lector o lectora se implicara un poco, sobre todo si es docente de matemáticas en la ESO (o lo ha sido alguna vez) y, aunque ya estamos de vacaciones, puntuara (sobre 5) el siguiente ejercicio destinado a los estudiantes que acaban de finalizar 3º de la ESO o empiezan 4º. Para ello, después del ejercicio con su solución aparecen dos encuestas. La de la izquierda es para los docentes que están habituados a corregir ejercicios de este tipo (o por lo menos que dan clase a este nivel). La otra es para las personas que tengan ganas de participar y no se encuentren entre los primeros. Me gustaría también que se respondiera a la encuesta antes de seguir leyendo para que la lectura de lo que viene luego no condicione de ninguna manera. Gracias por tu participación:

AB y CD son dos diámetros perpendiculares de una circunferencia. La recta \Delta es perpendicular a CD en E. Llamamos F al punto de intersección entre la recta AE y la circunferencia, y L al punto de intersección de las rectas \Delta  y OF. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo ELF?

 

Solución:

La recta EL es paralela a la recta AO. Entonces, de acuerdo con el teorema de Tales, en el triángulo OFA tenemos:

\frac{EL}{AO}=\frac{LF}{OF}=\frac{EF}{AF}

Ahora bien AO=OF=R,  siendo R el radio del círculo. Entonces \frac{EL}{R}=\frac{LF}{R}

de donde concluimos que EL=LF .

Luego, el triángulo LEF es isósceles en L.

    

     
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Después de que Adrián Paenza abandonara su blog me había quedado con un regusto amargo. ¡Por suerte ya podemos disfrutar de un nuevo libro suyo! El quinto de la serie, con el inconfundible toque de Paenza, y, como siempre, te lo puedes descargar gratuitamente. A continuación te muestro uno de los problemas de este libro,  “Matemática… ¿estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias”, para que se te vaya abriendo el apetito:

 

Supongamos que tenemos un círculo de 10 centímetros de diámetro. Dentro de él, marcamos 2 millones de puntos. Convénzase (y convénzame) de que, no importa cómo estén distribuidos esos puntos, siempre se puede trazar una recta que deje 1 millón de puntos de un lado y 1 millón de puntos del otro.

 

Desde luego, te reto a que encuentres una solución sin mirar el libro y a que la dejes en comentarios.

Por cierto, por si no conoces el resto de libros de Adrián Paenza, a continuación te dejo los enlaces:

¿Qué haces todavía aquí? ¡El libro de Adrián te espera!

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Hace tiempo no hice bien “los deberes”… Hace tiempo escribí una entrada sobre Daniel Tammet. Ya por entonces había salido a la luz su libro “Nacido en un día azul”, un libro autobiográfico, y yo, a pesar de toda la información que encontré sobre Tammet (o quizá por eso), no me enteré.

Es bastante probable que la persona que esté leyendo estas líneas se haya imagino ya la razón del título del libro: es evidente que el día en el que nació Daniel no había una sola nube en el cielo, y, sin embargo, nada más lejos de la verdad… Dejemos a Daniel que nos lo explique:

Nací el 31 de enero de 1979, un miércoles. Sé que era miércoles porque para mí esa fecha es azul, y los miércoles siempre son azules, como el número nueve o el sonido de voces discutiendo.

Así empieza Daniel su libro y así empezamos nosotros a sospechar que lo que se esconde entre las líneas del libro y en la vida de Tammet no va a ser algo corrientucho… y ciertamente no lo es, o por lo menos en parte.

El libro de Daniel nos habla de Síndrome de Asperger, de epilepsia, de obsesión, de marginación, de una niñez solitaria, del aislamiento que produce el ser raro, de ansiedad, de miedo…, pero también de superación, de amistad, de amor, de sinceridad, de sinestesia, de una capacidad sobrenatural para aprender idiomas, de una forma muy peculiar de hacer operaciones y de “relacionarse” con los números… y, por encima de todo, nos habla de una persona, de un corazón más, un corazón que late, un corazón que se oye a través de cada una de las páginas del libro si se escucha con atención y no nos quedamos en la superficie. Un corazón que, en el fondo al igual que todos, nos susurra: “No te quedes en las apariencias, no te quedes en la piel. Debajo de todo eso estoy yo, esperándote, con los brazos abiertos de par en par. ¿Serás capaz de dar el paso?”. En definitiva, el libro de Daniel es un libro en el que se entremezcla lo cotidiano con lo anecdótico, un libro que grita: “Mírame, soy una persona más; aunque sea raro, por debajo de todo eso sigo siendo una persona, y no merezco ser marginado”.

¡Qué más decir! Que te sugiero que lo leas. Te puedes descargar el primer capítulo (en cualquiera de los dos enlaces) para ir abriendo boca hasta que te hagas con él:

http://www.editorialsirio.com/datos/colecciones/pdfs/9788478085507.pdf

 NacidoEnUnDiaAzul-Capitulo1

Y si no has leído “El curioso incidente del perro a medianoche”, que también es del mismo estilo, te invito a hacerlo.

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Fuente de la imagen: http://www.rmm.cl

Fuente de la imagen: http://www.rmm.cl

Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental” es un libro cuyo nombre ya indica suficientemente de qué trata. No es un libro moderno, que acabe de ser publicado, ni mucho menos (fue dado a luz en 1991); lo que no quita que sea interesante. Además, tuve el enorme placer de aprender muchas cosas con una de sus autoras, Maria Inés Rodríguez Vela, en la asignatura “Recursos para la enseñanza de las matemáticas”. A la otra autora, Josefa Fernández Sucasas, no tengo el gusto de conocerla.

Los juegos y pasatiempos que se nos muestran en el libro están clasificados por contenidos que tratan o por una determinada clase de pasatiempo/juego: Numeración, Cálculo más sencillo, diagramas de cálculo, prácticas de la multiplicación, cuentas incompletas, práctica de operaciones combinadas, criptogramas, series, adivinar números ocultos, sistema métrico decimal, divisibilidad.

En las primeras páginas aparece un cuadro-esquema con las características de cada juego, atendiendo a la duración, material, cálculo a realizar (contenidos y operaciones que se persiguen con su realización), grado de dificultad, nº de jugadores y página en la que se explica, con la ventaja que esta organización conlleva a la hora de buscar un juego acorde con lo que en cada momento necesitemos.

Y no sé lo que el lector o lectora necesita ahora, pero me gustaría mostrar 2 ó 3 juegos del libro; en este caso para practicar las tablas de multiplicar. Vamos allá:

Juego con dados poliédricos

Contenidos: tablas de multiplicar y utilización correcta de los signos <, > e =

Material: Dos dados poliédricos por pareja: Un dodecaedro regular en el que en cada una de sus caras aparezca un número del 1 al 10, de tal manera que cada uno de los números aparezca una y sólo una vez. Las dos caras sin número quedarán en blanco (a no ser que se quieran trabajar las tablas del 11 y del 12) y servirán de comodín. El otro dado tendrá la forma del poliedro regular que se quiera, dependiendo del número de tablas que se deseen aprender o repasar. Si se quieren repasar 2, por ejemplo las tablas del 5 y del 6, siempre cabe la opción de construir un tetraedro con dos caras con un cinco y con las otras dos en las que aparezca un 6 (por cierto, en el tetraedro la cara que vale es la que está en contacto con la mesa) o un cubo con tres caras con un número y con otras tres con el otro… (En esta página te puedes descargar en pdf todos los desarrollos planos de los poliedros regulares… y de algún otro poliedro).

Número de jugadores: los que se quieran, pero por parejas.

Desarrollo: cada componente de la pareja tira los dos dados y realiza la multiplicación que se le ordena (si cae en comodín, entonces elige el número por el que quiera multiplicar, aunque dando una razón convincente; por ejemplo, porque quiere conseguir un número más alto que su compañero). Se apuntan en un cuaderno las multiplicaciones realizadas por cada persona de la pareja y luego colocan un signo >, < o =, según corresponda. Por ejemplo, al primer jugador le ha salido 3×8 y al segundo 5×7. Entonces apuntarán lo siguiente:

3×8 = 24 < 5×7= 35.

Se seguirá con el mismo procedimiento durante un tiempo estipulado.

Desde luego, esta actividad también se puede hacer con puntuación para cada pareja, de tal manera que se puede crear una competición entre todas ellas.

Juego del tablero

Material: Un tablero como el de la figura y 100 fichas cuadradas del tamaño de cada casilla. Cada una de estas fichas tendrá un número, de forma que sea posible cubrir todo el tablero con ellas colocando en cada casilla el resultado de multiplicar un número de la columna roja por otro de la fila roja. Por ejemplo: en la casilla intersección entre la fila 5 y la columna 7 se colocará la ficha con el número 35.

tabla-multiplicativa-1

Número de jugadores: Un mínimo de 5. (más…)

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el-club-de-la-hipotenusaEl Club de la Hipotenusa es un nuevo libro de Claudi Alsina. Es un recorrido en forma de anécdotas por la Historia de las Matemáticas. Muchas de ellas seguro que son conocidas para aquellas personas que se lleven bien con las matemáticas, pero Alsina sabe darle ese encanto especial que le caracteriza y que hace que un mismo hecho aparezca vestido con un traje nuevo. También el ilustrador, Anthony Garner, contribuye en gran medida en la amenidad del libro, con caricaturas muy logradas de matemáticos. A continuación algunas de esas anécdotas tal y cuál él las plasmó:

Cornudos y numerados

Para las acaloradas discusiones vis-a-vis (<<sal a la calle y lo arreglaremos>>) un retorcido lenguaje oral y unos puños bien adiestrados son suficientes. Para mandar insultos a distancia (por ejemplo, en adelantamientos imprudentes de coches), a falta de gritos, las personas irascibles (¡hay muchas por lo visto, en calles y carreteras!) recurren a gestos con las manos, destacando italianos y españoles en el empleo del insulto gestual. Pero la gama de gestos insultantes es limitada en coherencia con el número de neuronas de sus usuarios. A nadie le es desconocido que con los dedos meñique e índice extendidos y los dos de en medio flexionados se evoca la forma de cuernos de un animal y con ella se califica de <<cornuda>> a la persona que contempla la escena. Esta gesticulación que hoy ofende fue en su día de gran interés numérico. En la numeración mímica romana este gesto con la mano izquierda era <<4>> y con la derecha era <<400>>. Así pues, si hace este gesto a una persona ducha en historia de las matemáticas puede ocurrir que el interpelado no se ofenda.

Tiempos romanos:

Según Rabano Mauro, autor del Liber de computo, se atribuyen a los romanos diversas divisiones temporales que aún hoy se usan (minuto, hora día, mes, año, siglo, edad…) y otras que han desaparecido. Es curiosa la existencia del <<momento>> que era un minuto y medio lo que dividía a la hora en cuarenta momentos. Una <<parte>> eran cuatro minutos y por tanto la hora tenía quince partes.

Así pues si alguien nos dice <<un momento>> podemos interpretar que necesita 90 segundos, pero si oímos la expresión más amable <<un momento, cariño>> entonces la espera puede ser mucho más larga.

Deberes bien hechos

El estadístico americano George Dantzing (1914-2005) destacó ya como investigador cuando era estudiante. En una ocasión, en 1934, habiendo llegado tarde a la clase de estadística de J. Neyman, vio dos enunciados de problemas en la pizarra. Anotó los enunciados y durante bastantes días hizo los deberes, pensando que el profesor se había pasado con su dificultad. Finalmente entregó las dos soluciones. El siguiente domingo a las ocho de la mañana J. Neyman llamaba a la puerta de su casa para felicitarle y alentarle a publicar sus dos resultados. Lo que Dantzing copió no eran deberes para casa sino dos problemas abiertos que nadie antes había resuelto.

Ilustraciones de Anthony Garner

Ilustraciones de Anthony Garner

La pelea Unamuno-Gaudí

En una ocasión Miguel de Unamuno acompañado del poeta Joan Maragall fue a visitar la Sagrada Familia siendo atendido personalmente por Gaudí. Como ni a Gaudí le gustaban las ideas del visitante ni a éste lo que estaba viendo la visita fue tensa. Pero la pelea culminante nada tiene que ver ni con la filosofía ni con la arquitectura. Fue un reto entre ambos para dilucidar quién hacía las mejores figuras de papiroflexia. Totalmente inesperado.

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cultivando-el-ingenio“Cultivando el ingenio” es el libro que Héctor San Segundo recientemente ha publicado en la editorial “virtual Bubok“. Puedes obtenerlo en papel por 8,10 € (impuestos y envío no incluídos) o descargártelo totalmente gratis, todo en esta página.

El libro se compone de 159 páginas con 100 acertijos inéditos con sus respectivas soluciones. Estos acertijos se clasifican en:

  • Acertijos aritméticos
  • Acertijos con el calendario
  • Plantaciones frutícolas
  • Acertijos numéricos
  • Acertijos ajedrecísticos
  • Acertijos con piezas y fichas
  • Acertijos varios.

Para que te hagas una idea, te dejo con uno de esos acertijos (éste bastante fácil):

Para ascender los 800 escalones de una pirámide, un sacerdote cumple un rito de idas y vueltas: sube una cantidad de escalones, desciende otra cantidad menor. Vuelve a subir igual cantidad que antes y vuelve a bajar igual cantidad que antes. Y así sucesivamente. Alcanza la punta de la pirámide al final de una subida, habiendo así andando en total 1.200 escalones, entre subidas y bajadas. ¿Cuál es la cantidad fija de escalones que sube en cada trecho y cuál es la cantidad que baja?.
Se dice en el enunciado que sube y baja varias veces porque sino la solución sería infantil: sube 500 escalones, desciende 200 y vuelve a subir 500. Es decir, sube y baja más de una vez.
Además, hay un desafío adicional: demostrar que este acertijo tiene una única solución.

Pues ánimo con él.

Por cierto, me enteré de la noticia hace unos días por su.doku.es y me la recordaron de nuevo en juegosdeingenio

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Bueno, pues vamos con el último artículo en relación con el libro “Matemática Inclusiva”, que ya era hora. Esta vez trata sobre la atención a la diversidad. Me gustaría, antes de mostrar una serie de ejemplos, destacar dos ideas que se nos mencionan. La primera tiene que ver con el hecho de que muchas veces se piensa que en matemáticas, en relación con este aspecto de la diversidad, sólo hay que atender al problema lingüístico, porque las matemáticas son universales, pero no es así. La matemática también tiene su propia dimensión cultural, como veremos en algunos ejemplos.

La otra idea se refiere a que la diversidad no atiende únicamente a la diversidad étnica. Como los propios autores apuntan:

Los ejemplos de esta sección muestran una diversidad que va más allá de lenguas y recursos didácticos. También muestran que la realidad multicultural se refiere a cualquier grupo humano, cuente o no con personas inmigradas. Al enfrentarse a la resolución de un problema matemático, dos personas pueden diferir en las interpretaciones del enunciado y los datos a pesar de ser del mismo país o hablar una misma lengua. Al hacer matemáticas, el bagaje de experiencias puede crear más diferencias entre dos personas “autóctonas” que entre alguien “autóctono” y alguien “inmigrado”.

Como siempre a lo largo del libro, los autores van a realizar un estudio de 4 aspectos en relación con este tema. En este caso, sin embargo, de cada uno de ellos se nos van a mostrar formas diferentes de abordarlos… y no todas por personas inmigradas, ni mucho menos. Estos 4 aspectos son:

  • Diversidad de procedimientos algorítmicos
  • Diversidad de representaciones sobre las matemáticas
  • Diversidad en la resolución de problemas
  • Diversidad de significados atribuidos a símbolso matemáticos.

Sólo voy a resaltar dos (aunque los otros también son muy interesantes): diversidad de procedimientos algorítmicos y diversidad en la resolución de problemas.

Diversidad de procedimientos algorítmicos

Aunque nos puede parecer que los algoritmos de las operaciones son universales, no es así. Muchas veces sólo cambia la forma de colocar los distintos elementos que aparecen en dicho algoritmo, pero, aunque así sea, esa es una dificultad a tener en cuenta. A continuación un ejemplo de una suma y de una multiplicación realizada por una chica de Finlandia con la explicación que ella misma dio sobre dichos algoritmos y que muestran que realmente entiende lo que está haciendo:

algoritmo-1200 + 400 es 600, pero la otra columna me indica que hay que añadir 100, por este motivo escribo 7, aunque al principio no sé que será 7. En realidad sigo dos pasos. Primero 200 + 400 es 600, 60 + 80 es 140 y 8 + 3 es 11. Después está el segundo paso, que es el último. Cuando estoy con las decenas, me quedo con 40 y paso 100 a las centenas, y así tengo 7. En el lugar de las unidades, me quedo con 1 y paso 10 a las decenas, y así tengo 5.

Multiplico 67 por 5 y me da 335, pero añado 0 porque 5 hacealgoritmo-2 referencia a 50; lo hago como con la suma, de izquierda a derecha. Esta multiplicación me da 3350. Después, multiplico 67 por 3, que son unidades. Ahora me da 201. Sumo los resultados de las dos multiplicaciones. Ya sabéis, a mi manera.

Como podemos ver, lo que hace esta chica es similar a nuestro algoritmo (me refiero al que se suele enseñar en España), lo único que empieza por las unidades de orden superior, empieza por la izquiera. Esto método se puede justificar argumentando que así es también como se lee y escribe (de izquierda a derecha).

Otro ejemplo, éste de un chico marroquí de origen berebere, es el que puedes ver en la figura nº 3. En el ejemplo se muestran dos operaciones. Te invito a que descubras cuál es el procedimiento seguido por el chico y qué operaciones está realizando. Las cifras habrán de leerse en vertical de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

algoritmo-3

Diversidad en la resolución de problemas

Veamos el enunciado de un problema y las discusiones que surgieron a raíz de él:

Un campesino viaja con 300 kilos de tomate hasta el mercado del pueblo más cercano. Ha decidido vender el kilo de tomate a 2 euros, pero después de pasar buena parte de la mañana a pleno sol y sin haber vendido ningún tomate, decide cambiar el precio. Está dispuesto a ganar un 10% menos de lo que tenía previsto. ¿A qué precio venderá el kilo de tomate?

A simple vista es un buen problema, cercano a la realidad. Incluso se da un dato, 300 kilos, que no hace falta en el enunciado. Sin embargo, eh aquí lo que un estudiante, de ámbito rural, opinó al respecto:

Este problema es realmente complicado. Los tomates son como la fruta, tienen mucha agua. Si el campesino estuvo a pleno sol y los tomates también, entonces se ha evaporado mucha agua, y ahora ya no tiene 300 kilos. Como máximo debe tener unos 290 kilos. Mi abuelo tiene mucho cuidado para no dejar las cosas a pleno sol.

Puede que a muchos este razonamiento les parezca fuera de lugar, que no se centra en el problema en sí. Eso es lo que ocurrió en el aula en la que se dio esta situación. Una risa generalizada fue la respuesta ante dichas palabras y la profesora no prestó la atención que se merecía esta propuesta, que además se acercaba a la realidad.

Me gusta este ejemplo porque nos muestra que hasta el enunciado de un problema no es tan universal como nos podríamos pensar y, además, que la diversidad, como se apuntaba antes, no se refiere únicamente a las personas inmigradas.

Para más ejemplos, ya sabes, te invito a leer el libro.

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