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Archive for the ‘Recursos educativos’ Category

Las personas que se dedican a la docencia estarán conmigo en que la evaluación es una de las tareas más engorrosas y menos placenteras de las que son responsables… Pues bien, Class Charts es una aplicación que viene en nuestro rescate. Con Class Charts será mucho más sencillo evaluar el comportamiento de los alumnos, aprovechando las ventajas de la tecnología frente a la libreta y el boli.

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Dentro de estas ventajas se encuentra el hecho de poder recrear nuestra aula de forma virtual. La aplicación nos permite añadir o quitar mesas a nuestro antojo y colocar en ellas a los alumnos como queramos. Eso nos ayudará a localizar a cada alumno de forma sencilla. ¿Para qué? Pues porque pinchando en el alumno que nos interese podremos asignarle una puntuación negativa o positiva al instante según diversos baremos (buen trabajo, buen progreso, perseverancia…), como se aprecia en la imagen:

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Y lo mejor de todo es que estos baremos se pueden modificar, añadir, cambiar por otros:

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También podemos “anotar” qué alumnos han faltado a clase o pedirle a la aplicación que nos seleccione un alumno al azar, impidiendo así que los alumnos nos acusen de favoritismo.

Y como la colaboración entre los profesores de un mismo alumnado es una cuestión vital, la aplicación permite invitar a colaboradores para poder solucionar problemáticas de comportamiento, entre otras tareas, de forma común.

Y lo bueno es que la aplicación te permite observar los datos introducidos desde múltiples puntos de vista: por alumnos, por clases, por fecha, etc.

Añadir alumnos es de lo más sencillo mediante el dispositvo de “Añadir Rápido” y para evitarte engorros puedes optar por cargar una hoja de cálculo con los datos de los alumnos. Podrás subir una foto del alumno que lo identifique y añadir campos que informen de algún aspecto en concreto de los alumnos, por ejemplo, quién se queda en el comedor y quién no.

Otras ventajas:

  • Se encuentra en español
  • Es gratuito
  • Es seguro. Protege al alumnado al utilizar encriptación básica SSL en la transmisión de datos y para los campos de datos claves
  • Funciona en cualquier dispositivo conectado a Internet.

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Y eso no es todo… Pero para el resto te invito a probarla por ti mismo o ti misma. Es una aplicación muy intuitiva y en cada pantalla aparece texto que aclara del uso de los diversos comandos.

Aquí va el enlace, para que lo pruebes y opines: www.es.classcharts.com

Además, ClassCharts también está en Facebook: https://www.facebook.com/classcharts

¡Espero que te resulte útil!

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Los que “conocemos” un poco a Eva M. sabemos lo que le gusta enredar en este mundillo y emprender nuevos proyectos, proyectos de los que ella es una fiel impulsora, pero que están abiertos a la colaboración de la persona interesada, lo que lo hace más enriquecedor. ¿Qué ha liado esta vez?  Te dejo con parte de sus palabras:

Somos unos cuantos los que utilizamos la prensa en nuestras clases como recurso para acercar las Matemáticas al mundo real, por ello este año la celebración del día escolar de las Matemáticas nos puede servir para organizar un poco los artículos que cada uno conocemos y que en algún momento hemos utilizado en clase. Os invito y os animo a participar en una wiki que he creado para clasificar los artículos por categorías y de este modo facilitar su uso en el aula. El día 12 de Mayo no tiene por qué ser la fecha límite, sino que cuando veamos un artículo y nos apetezca clasificarlo de algún modo podríamos ir metiendolo en la wiki.

http://prensamatematica.wikispaces.com/

Ya sabéis que esta wiki no es mía, la hacemos entre todos, es de todos y la utilizamos todos. La wiki del número pi, quedó muy chula y sigue abierta a todo el que quiera hacer su aportación. Espero que ésta también nos sea de utilidad y nos permita utilizar este recurso de forma más cotidiana. Mandaré invitaciones a todos los que ya participastéis en la wiki del nº pi, a los demás si os interesa decidmelo para invitaros.

Muchas gracias a todos los que os animéis a participar y los que no lo tengan claro que al menos se den una vuelta para ver lo que estamos haciendo.

No tengo mucho que añadir, únicamente que muchos granos de arena pueden conformar un castillo precioso, pero para eso se necesita la colaboración de muchas manos: esperamos también la tuya.

Aquí puedes leer la entrada completa.

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Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

  • Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
  • ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
  • Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.


Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

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El amigo Joaquín, de “Matemáticas interactivas y manipulativas…“, nos invita a crear unas flores muy especiales para este día de San Valentín (o, por qué no, para cualquier otro). O sea que ya sabes, si estás cansado o cansada de regalar siempre las mismas flores, o si no tienes dinero para pagarlas y aun así quieres sorprender a tu pareja, o si, simplemente, no tienes nada mejor que hacer, ponte manos a la obra y con un poco de paciencia y amor obtendrás algo parecido a:

Guapas, ¿eh? Pues visita el post mencionado para saber cómo se hacen y alguna otra sopresa.

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Creo que ya había quedado claro que la centena cuadriculada guarda muchas sorpresas y que puede ser un recurso mucho más útil de lo que parece a simple vista. Algunas personas (Eva M., da-beat y Frank) se animaron también a plasmar algún otro uso que se le puede dar a dicho recurso en comentarios, lo que les agradezco enormemente.

En este post, por si acaso al lector le quedan todavía dudas de la utilidad de dicho recurso, voy a mostrar (y demostrar) algunas de las conjeturas que sobre la centena cuadriculada aparecen en el artículo que ya mencioné en su momento: ““Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. Además, tampoco puedo olvidarme de las conjeturas que da-beat y Frank me dejaron en comentarios, y también completaré el post con algunas conjeturas propias. Para que queden más claras las conjeturas diré que aij indica el elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j.

Conjetura 1 (de Frank):

“En tres números consecutivos en la cuadrícula, el del medio es el promedio de los extremos. Para el caso de una triada horizontal, vertical o en diagonal.”

Conjetura 2 (de da-beat):

“Todas las parejas de números que tienen como centro de simetría el número n suman 2n.”

Podemos observar que la conjetura de da-beat generaliza la de Frank. Vamos ahora con algunas de las conjeturas del artículo:

Conjetura 3 (de Maiyelines):

“La suma de los elementos de cualquiera de las filas es un múltiplo de 5”.

Conjetura 4 (de Eneida):

Dada una centena cuadriculada; si se considera un triángulo isósceles cuyos vértices sean aij, a(i+3)(j+3), a(i+3)(j-3); entonces el centro del triángulo, a(i+2)j, viene dado por la trisección de la suma de sus vértices. Ver Figura 1.

 Figura 1

Conjetura 5 (de Efraín):

Los elementos situados en las diagonales ascendentes de una centena cuadriculada constituyen los términos de una progresión aritmética de razón -9.

Voy a permitirme introducir aquí una de mis conjeturas, ya que tiene también que ver con las diagonales ascendentes.

Conjetura 6 (de Sara F.):

La suma de los elementos de una diagonal ascendente que comienza en la primera columna viene dada por la fórmula Dn = n(11n-9)/2; donde n se refiere al valor de la fila desde la que comienza la diagonal. Por ejemplo, la diagonal ascendente formada por los términos 21, 12 y 3 comienza en la tercera fila (en el término 21). Por lo tanto su suma será: 3(11*3-9)/2 = 36, que como se puede comprobar fácilmente, coincide con la suma hecha directamente: 21+12+3. La diagonal ascendente 98, 89, 80, sin embargo, no cumple la fórmula, porque su primer elemento no está situado en la primera columna, si no en la octava. Ver Figura 2.

 Figura 2

Conjetura 7 (de Efraín):

Se denomina “cuadrado principal” a todo “cuadrado” de lado n, con n un número natural entre 3 y 10, ambos incluidos. Se denomina “cuadrado encajado” dentro de un cuadrado principal  de lado n a todo cuadrado de lado m = n-2.

En una centena cuadriculada, la semisuma de los “vértices” de un cuadrado principal de lado n = 4, es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal de su cuadrado encajado. Ver Figura 3.

 Figura 3

Conjetura 8 (de José):

La suma de los vértices de todo “Cuadrado Simétrico con respecto a los lados de la Centena Cuadriculada” es constantemente igual a 202. Ver la Figura 4, en la que aparecen varios Cuadrados Simétricos.

 Figura 4

Conjetura 9 (de Sara F.):

La suma de todos los elementos de un Cuadrado Centrado (llamo Cuadrado Centrado a lo mismo que José llama Cuadrado Simétrico) es igual a 202*(n-1), donde n se refiere al número de elementos que componen el lado del cuadrado.

Conjetura 10 (de Sara F.):

Llamamos Rectángulo Inclinado a aquel que tiene cada uno de sus vértices en uno de los lados de la Centena, es decir, aquel que tiene uno de sus vértices en la fila 1, otro en la fila 10, otro en la columna 1 y el último en la columna 10. La suma de todos los elementos que componen un Rectángulo Inclinado es constantemente igual a 909.

 Figura 5

Pues bien, aunque seguramente haya muchas más conjeturas, creo que con éstas ya se suficiente. Te invito a buscar otras. Ahora voy a demostrar sólo una de ellas para no hacer esto demasiado largo y tedioso. El lector interesado puede demostrar el resto y mostrar el proceso seguido en comentarios. Pues vamos a convertir la conjetura número 7 en un teorema. Pero antes me gustaría introducir una idea que va a servir para demostrar, sino todas, la mayoría de estas conjeturas:

aij = (i-1)10 + j, para todo i, j pertenecientes a los números naturales del 1 al 10, ambos incluidos.

Creo que al lector no le resultará difícil darse cuenta de la validez de dicha propiedad. Ahora ya podemos comenzar con la demostración:

Sean a y b dos elementos consecutivos cualesquiera de una Centena Cuadriculada situados en una de las diagonales ascendentes. Queremos demostrar que su diferencia (b-a) es constantemente igual a -9. Si a y b son dos elementos cualesquiera de una centena cuadriculada situados consecutivamente en una de las diagonales ascendentes; entonces podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad, que: a = aij y b = a(i-1)(j+1). Por lo tanto:

(b – a) = [(i-1-1)10 + (j+1)] – [(i-1)10 + j] = -9, como queríamos demostrar.

Pues creo que por hoy ya es suficiente, ¿no? Espero nuevas conjeturas y demostraciones, pero eso ya queda en tu mano.

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Hace unos días recibí un e-mail en el que se me hablaba de, por lo menos aparentemente, un interesante curso destinado a niños de 6-12 años con el que se pretende que éstos aprendan matemáticas de una manera amena y divertida a través del ordenador. Curiosamente la página del curso tiene el mismo nombre que este blog: www.matematics.es

El responsable de comunicación, Carlos Mir Riera, me envió documentación (nota de prensa) sobre este recurso. Al final del post la tienes en formato Word o Pdf por si te la quieres descargar. También te dejo con sus palabras. Para qué usar otras 🙂 :

Desde www.Matematics.es te presentamos un programa educativo online totalmente innovador en España, que contempla el currículo académico oficial de la LOE de 1ero a 6xto de Primaria en la asignatura de matemáticas, con el fin de servir de apoyo a la materia impartida en el colegio.

Teniendo presentes los cambios que se están llevando a cabo actualmente en la enseñanza de los más pequeños (camino de la digitalización con la inclusión de ordenadores portátiles y pizarras digitales en las aulas), www.matematics.es se erige como el primer soporte online para que los niños a modo de videojuego, disfruten de las matemáticas y aprendan su asignatura más complicada, sin que ello les suponga algo cansino y sin interés. Los padres pueden llevar un total seguimiento de los avances de su hijo y conseguir que paralelamente a la escuela, éstos sigan las mismas unidades en www.matematics.es, a modo de juego.

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Y me parece que la mejor forma de informarse sobre este programa es ¡probarlo! En la propia página hay una versión de prueba. La persona interesada tiene que dirigirse a la página web, facilitar su nombre y una dirección de e-mail. Allí le llegará una cuenta de usuario y contraseña válidas durante 24 horas. Si una vez probado la persona sigue interesada, podrá hacer uso de él por el precio de 99 € al año o 25 € trimestrales.

 La verdad es que no tengo ni idea de qué tal está el programa o de si merece la pena porque no he podido probarlo debido a la lentitud de mi conexión. Estaba esperando a ver si lograba conectarme con una conexión más rápida, pero me parece que no va a poder ser en bastante tiempo, por ello me he decidido a hablar sin probar. Así que el lector tiene la palabra. Si lo prueba me gustaría que dejara reflejadas sus apreciaciones.

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De todas formas quiero dar mi opinión: un recurso es eso, un recurso. No pensemos que un recurso por sí sólo nos va a resolver nuestros problemas o que es una panacea. Hay que tener en cuenta muchas cosas; una de ellas es el contexto en el que estudiamos, trabajamos, aprendemos. Internet, los recursos informáticos… tampoco son una panacea por sí solos. Una de las desventajas de los libros de texto es que son muy rígidos y que su contenido es muy general, no hay ejemplos reales de la vida cotidiana propia del alumno. Un recurso interactivo tiene la ventaja de que nos permite aprender haciendo uso de un mayor número de sentidos y con una mayor interactividad pero, si nos “lanzamos en sus brazos” sin más, puede que nos demos de bruces con el duro suelo, porque igual que pasaba con el libro de texto, aquí también nos podemos encontrar con unidades rígidas y descontextualizadas, que no sirven de mucho por sí solas, incluso aunque sea más divertido teclear que usar un lápiz. Por ello bienvenidos los recursos interactivos, sí, pero siempre que los supeditemos al contexto y necesidades del alumno y no al revés.

NDP MATEMATICS-educaci ón digital (pdf)

NDP MATEMATICS (word)

 

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Mucho se ha hablado y se habla en el ámbito de la educación matemática, quizá desde el empujón que Pólya dio, de la resolución de problemas, de que los estudiantes aprendan a introducirse en el mundo matemático y en el quehacer propio de un matemático. Con la resolución de problemas se pretende que el estudiante se haga con todas las herramientas necesarias (contenidos relacionados, estrategias…) para intentar llegar a una solución (o a varias) de un determinado problema del que a simple vista no se sabe cómo abordarlo. Esto es lo que lo distingue de un mero ejercicio: hay que hacer uso de todo tipo de recursos para llegar a buen puerto, un puerto del que sólo conocemos su nombre, pero nada de cómo acercarnos hasta él.

 

Quizá menos se ha hablado de otro aspecto muy importante, desde mi punto de vista, del quehacer matemático: el planteamiento de problemas propios, la búsqueda de patrones y regularidades y la posterior demostración (1). Está muy bien resolver problemas matemáticos; a mí es algo que me ha llegado a apasionar, pero esos problemas, sino todas, la mayoría de las veces han sido inventados por otros. Sin embargo poco sé de cómo crear problemas propios y admiro mucho a esas personas que sí saben. Creo que la invención de problemas, el encontrar patrones… es ir un paso más allá de la mera resolución de problemas. Este aspecto es el que pretendo tratar en el post, y para ello hago uso de un recurso que puede parecer muy tonto a simple vista, pero como lo que se ve a simple vista no suele coincidir con lo que es, invito al que está leyendo estas letras a que le dé una oportunidad a la centena cuadriculada, esa que le mira suplicante justo desde debajo de estas líneas.

 

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Sí, una tabla 10×10 con los números del 1 al 100 parece algo tan simplón que por lo menos nos invita a dudar de su eficacia. Sin embargo, es un recurso tan “maleable” que nos permite trabajar y hacer matemáticas tanto con estudiantes de infantil como con los de educación superior. Por si al lector todavía le quedan dudas, esta tabla es protagonista en la páginas números 96-97 (en el estándar de Álgebra(2) de la etapa Pre-K-2, que se corresponde con infantil y primer ciclo de primaria aquí en España) y en la 127 (en el estándar de Razonamiento y Demostración de la misma etapa) del libro de “obligada” lectura (o por lo menos consulta) para cualquier docente de las matemáticas: “Principios y Estándares para la Educación Matemática” del NCTM. Veamos las alabanzas que se hacen de ella en las mencionadas páginas: (más…)

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