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Los que “conocemos” un poco a Eva M. sabemos lo que le gusta enredar en este mundillo y emprender nuevos proyectos, proyectos de los que ella es una fiel impulsora, pero que están abiertos a la colaboración de la persona interesada, lo que lo hace más enriquecedor. ¿Qué ha liado esta vez?  Te dejo con parte de sus palabras:

Somos unos cuantos los que utilizamos la prensa en nuestras clases como recurso para acercar las Matemáticas al mundo real, por ello este año la celebración del día escolar de las Matemáticas nos puede servir para organizar un poco los artículos que cada uno conocemos y que en algún momento hemos utilizado en clase. Os invito y os animo a participar en una wiki que he creado para clasificar los artículos por categorías y de este modo facilitar su uso en el aula. El día 12 de Mayo no tiene por qué ser la fecha límite, sino que cuando veamos un artículo y nos apetezca clasificarlo de algún modo podríamos ir metiendolo en la wiki.

http://prensamatematica.wikispaces.com/

Ya sabéis que esta wiki no es mía, la hacemos entre todos, es de todos y la utilizamos todos. La wiki del número pi, quedó muy chula y sigue abierta a todo el que quiera hacer su aportación. Espero que ésta también nos sea de utilidad y nos permita utilizar este recurso de forma más cotidiana. Mandaré invitaciones a todos los que ya participastéis en la wiki del nº pi, a los demás si os interesa decidmelo para invitaros.

Muchas gracias a todos los que os animéis a participar y los que no lo tengan claro que al menos se den una vuelta para ver lo que estamos haciendo.

No tengo mucho que añadir, únicamente que muchos granos de arena pueden conformar un castillo precioso, pero para eso se necesita la colaboración de muchas manos: esperamos también la tuya.

Aquí puedes leer la entrada completa.

Ya se habían dejado caer por este blog algún que otro problema de ajedrez retrospectivo. No soy muy amiga del ajedrez; sin embargo los problemas de ajedrez retrospectivo me encantan.

A continuación uno procedente de uno de los libros más populares sobre el tema: “Juegos y problemas de ajedrez para Sherlock Holmes”, de Raymond Smullyan. Éste me gusta especialmente por su mezcla de sencillez y complejidad: no requiere realizar largos razonamientos lógicos, en realidad sólo requiere uno, pero quizá más intuitivo que en la mayoría de los casos, es decir, no hay que recorrer muchos y largos caminos, pero hay que dar un salto bastante grande para llegar a la meta. Dice así:

En esta partida ninguna pieza movió de una casilla blanca a una negra y viceversa. En qué casilla está el alfil blanco, ¿en la e3 o en la e4?

¿En qué casilla se sitúa el alfil?

Si después de un rato no se te ocurre nada siempre puedes echar una ojeada a la pista, pero cuidado, porque igual te desconcierta más que te ayuda:

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Hace tiempo no hice bien “los deberes”… Hace tiempo escribí una entrada sobre Daniel Tammet. Ya por entonces había salido a la luz su libro “Nacido en un día azul”, un libro autobiográfico, y yo, a pesar de toda la información que encontré sobre Tammet (o quizá por eso), no me enteré.

Es bastante probable que la persona que esté leyendo estas líneas se haya imagino ya la razón del título del libro: es evidente que el día en el que nació Daniel no había una sola nube en el cielo, y, sin embargo, nada más lejos de la verdad… Dejemos a Daniel que nos lo explique:

Nací el 31 de enero de 1979, un miércoles. Sé que era miércoles porque para mí esa fecha es azul, y los miércoles siempre son azules, como el número nueve o el sonido de voces discutiendo.

Así empieza Daniel su libro y así empezamos nosotros a sospechar que lo que se esconde entre las líneas del libro y en la vida de Tammet no va a ser algo corrientucho… y ciertamente no lo es, o por lo menos en parte.

El libro de Daniel nos habla de Síndrome de Asperger, de epilepsia, de obsesión, de marginación, de una niñez solitaria, del aislamiento que produce el ser raro, de ansiedad, de miedo…, pero también de superación, de amistad, de amor, de sinceridad, de sinestesia, de una capacidad sobrenatural para aprender idiomas, de una forma muy peculiar de hacer operaciones y de “relacionarse” con los números… y, por encima de todo, nos habla de una persona, de un corazón más, un corazón que late, un corazón que se oye a través de cada una de las páginas del libro si se escucha con atención y no nos quedamos en la superficie. Un corazón que, en el fondo al igual que todos, nos susurra: “No te quedes en las apariencias, no te quedes en la piel. Debajo de todo eso estoy yo, esperándote, con los brazos abiertos de par en par. ¿Serás capaz de dar el paso?”. En definitiva, el libro de Daniel es un libro en el que se entremezcla lo cotidiano con lo anecdótico, un libro que grita: “Mírame, soy una persona más; aunque sea raro, por debajo de todo eso sigo siendo una persona, y no merezco ser marginado”.

¡Qué más decir! Que te sugiero que lo leas. Te puedes descargar el primer capítulo (en cualquiera de los dos enlaces) para ir abriendo boca hasta que te hagas con él:

http://www.editorialsirio.com/datos/colecciones/pdfs/9788478085507.pdf

 NacidoEnUnDiaAzul-Capitulo1

Y si no has leído “El curioso incidente del perro a medianoche”, que también es del mismo estilo, te invito a hacerlo.

Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:

Figura 1

Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).

Contar

¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:

Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.

Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):

Figura 2

Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25

Figura 3

Figura 3

Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25

Figura 4

Que se puede expresar como 5×5 = 25

De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.

Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:

Figura 5

Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:

Figura 6

Algunas generalizaciones

Como por ejemplo:

1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?

2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?

Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).

Sucesiones y pensamiento recursivo

Como por ejemplo:

  • Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
  • ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
  • Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?

Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.


Referencia:

MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.

El amigo Joaquín, de “Matemáticas interactivas y manipulativas…“, nos invita a crear unas flores muy especiales para este día de San Valentín (o, por qué no, para cualquier otro). O sea que ya sabes, si estás cansado o cansada de regalar siempre las mismas flores, o si no tienes dinero para pagarlas y aun así quieres sorprender a tu pareja, o si, simplemente, no tienes nada mejor que hacer, ponte manos a la obra y con un poco de paciencia y amor obtendrás algo parecido a:

Guapas, ¿eh? Pues visita el post mencionado para saber cómo se hacen y alguna otra sopresa.

Creo que ya había quedado claro que la centena cuadriculada guarda muchas sorpresas y que puede ser un recurso mucho más útil de lo que parece a simple vista. Algunas personas (Eva M., da-beat y Frank) se animaron también a plasmar algún otro uso que se le puede dar a dicho recurso en comentarios, lo que les agradezco enormemente.

En este post, por si acaso al lector le quedan todavía dudas de la utilidad de dicho recurso, voy a mostrar (y demostrar) algunas de las conjeturas que sobre la centena cuadriculada aparecen en el artículo que ya mencioné en su momento: ““Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. Además, tampoco puedo olvidarme de las conjeturas que da-beat y Frank me dejaron en comentarios, y también completaré el post con algunas conjeturas propias. Para que queden más claras las conjeturas diré que aij indica el elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j.

Conjetura 1 (de Frank):

“En tres números consecutivos en la cuadrícula, el del medio es el promedio de los extremos. Para el caso de una triada horizontal, vertical o en diagonal.”

Conjetura 2 (de da-beat):

“Todas las parejas de números que tienen como centro de simetría el número n suman 2n.”

Podemos observar que la conjetura de da-beat generaliza la de Frank. Vamos ahora con algunas de las conjeturas del artículo:

Conjetura 3 (de Maiyelines):

“La suma de los elementos de cualquiera de las filas es un múltiplo de 5”.

Conjetura 4 (de Eneida):

Dada una centena cuadriculada; si se considera un triángulo isósceles cuyos vértices sean aij, a(i+3)(j+3), a(i+3)(j-3); entonces el centro del triángulo, a(i+2)j, viene dado por la trisección de la suma de sus vértices. Ver Figura 1.

 Figura 1

Conjetura 5 (de Efraín):

Los elementos situados en las diagonales ascendentes de una centena cuadriculada constituyen los términos de una progresión aritmética de razón -9.

Voy a permitirme introducir aquí una de mis conjeturas, ya que tiene también que ver con las diagonales ascendentes.

Conjetura 6 (de Sara F.):

La suma de los elementos de una diagonal ascendente que comienza en la primera columna viene dada por la fórmula Dn = n(11n-9)/2; donde n se refiere al valor de la fila desde la que comienza la diagonal. Por ejemplo, la diagonal ascendente formada por los términos 21, 12 y 3 comienza en la tercera fila (en el término 21). Por lo tanto su suma será: 3(11*3-9)/2 = 36, que como se puede comprobar fácilmente, coincide con la suma hecha directamente: 21+12+3. La diagonal ascendente 98, 89, 80, sin embargo, no cumple la fórmula, porque su primer elemento no está situado en la primera columna, si no en la octava. Ver Figura 2.

 Figura 2

Conjetura 7 (de Efraín):

Se denomina “cuadrado principal” a todo “cuadrado” de lado n, con n un número natural entre 3 y 10, ambos incluidos. Se denomina “cuadrado encajado” dentro de un cuadrado principal  de lado n a todo cuadrado de lado m = n-2.

En una centena cuadriculada, la semisuma de los “vértices” de un cuadrado principal de lado n = 4, es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal de su cuadrado encajado. Ver Figura 3.

 Figura 3

Conjetura 8 (de José):

La suma de los vértices de todo “Cuadrado Simétrico con respecto a los lados de la Centena Cuadriculada” es constantemente igual a 202. Ver la Figura 4, en la que aparecen varios Cuadrados Simétricos.

 Figura 4

Conjetura 9 (de Sara F.):

La suma de todos los elementos de un Cuadrado Centrado (llamo Cuadrado Centrado a lo mismo que José llama Cuadrado Simétrico) es igual a 202*(n-1), donde n se refiere al número de elementos que componen el lado del cuadrado.

Conjetura 10 (de Sara F.):

Llamamos Rectángulo Inclinado a aquel que tiene cada uno de sus vértices en uno de los lados de la Centena, es decir, aquel que tiene uno de sus vértices en la fila 1, otro en la fila 10, otro en la columna 1 y el último en la columna 10. La suma de todos los elementos que componen un Rectángulo Inclinado es constantemente igual a 909.

 Figura 5

Pues bien, aunque seguramente haya muchas más conjeturas, creo que con éstas ya se suficiente. Te invito a buscar otras. Ahora voy a demostrar sólo una de ellas para no hacer esto demasiado largo y tedioso. El lector interesado puede demostrar el resto y mostrar el proceso seguido en comentarios. Pues vamos a convertir la conjetura número 7 en un teorema. Pero antes me gustaría introducir una idea que va a servir para demostrar, sino todas, la mayoría de estas conjeturas:

aij = (i-1)10 + j, para todo i, j pertenecientes a los números naturales del 1 al 10, ambos incluidos.

Creo que al lector no le resultará difícil darse cuenta de la validez de dicha propiedad. Ahora ya podemos comenzar con la demostración:

Sean a y b dos elementos consecutivos cualesquiera de una Centena Cuadriculada situados en una de las diagonales ascendentes. Queremos demostrar que su diferencia (b-a) es constantemente igual a -9. Si a y b son dos elementos cualesquiera de una centena cuadriculada situados consecutivamente en una de las diagonales ascendentes; entonces podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad, que: a = aij y b = a(i-1)(j+1). Por lo tanto:

(b – a) = [(i-1-1)10 + (j+1)] – [(i-1)10 + j] = -9, como queríamos demostrar.

Pues creo que por hoy ya es suficiente, ¿no? Espero nuevas conjeturas y demostraciones, pero eso ya queda en tu mano.

matemaTICs cumple dos años

No soy mucho de cumpleaños. Me gusta más la idea de la Tribu de los Auténticos (una tribu de aborígenes australianos), de la que nos habla Marlo Morgan en su libro “Las voces del desierto“. Hay (o quizá hubo) mucho revuelo en torno a la existencia de esta tribu y a la veracidad de la historia narrada. Independientemente de que exista o no, me habría gustado pasar una temporada con una tribu así. Sus ideas encajan más conmigo que las que me “corresponden” por mi lugar de nacimiento.

¿Qué cuál es esa idea? La siguiente:

Durante nuestro viaje se realizaron dos celebraciones para honrar el talento de sendas personas. Todos los miembros de la tribu reciben este reconocimiento mediante una fiesta especial, pero no tiene nada que ver con la edad ni los cumpleaños; con ella se reconoce el caracter único de ese talento y su contribución a la vida. Según sus creencias el paso del tiempo cumple el proposito de permitir a las personas que se vuelvan mejores, que expresen más y mejor su propio ser. Así pues, si eres mejor persona este año que el anterior, y solo tú lo sabes con seguridad, debes ser tú quien convoque la fiesta. Cuando tú dices que estás preparado, todos lo aceptan. No celebran el hecho de envejecer sino de que cada vez son mejores.

Quizá por todas estas razones no celebré el primer añito de matemaTICs. ¿Que por qué entonces sí lo hago con el segundo? Bueno, hablar con cierta persona (que además es probable que lea esto), me hizo darme cuenta de que el cumple era una buena excusa para reflexionar sobre la marcha del blog, sobre lo que queda pendiente, sobre lo que he aprendido (y bueno, hay que ser sincera, también porque sé que al blog matemaTICs le encantará que alguna persona lo felicite 🙂 )… Eso es lo que voy a dejar reflejado aquí, aunque bastante escueto (¿Escueto? Sara, tú no sabes ser escueta… escribiendo posts).

Lo normal en estos casos es dejar constancia del número de visitas, número de lectores, número, números y más números. Es algo que no me interesa demasiado, por lo que no voy a hablar de ello (de todas formas, si a alguien le interesa no tengo ningún inconveniente en decírselo 😉 ).

Para mí escribir en el blog, “conversar” con los comentaristas… ha sido una grata y gran experiencia. Quizá más por mi forma de ser, encerrada en mi mundo particular, reservada hasta límites extremos. Aunque temo que esto pueda ser como otro mundo particular con el que cerrarme al aire puro que me esperaría ahí fuera, si quisiera tirar los barrotes.

La verdad es que “matemaTIcs” no ha sufrido muchos cambios externos desde el comienzo de su andadura. Sigue con la misma plantilla, el mismo ambigrama que le da nombre… y con pocos plugins añadidos. Quizá sea hora de un cambio.

En cuanto a cambios internos… Bueno. Tampoco han sido demasiados. Se puede decir que cuando empecé a escribir, gracias al impulso de Chiti y de Fernando, no tenía pensado exactamente sobre qué hablar. Los post iban surgiendo cuando me apetecía hablar sobre determinado aspecto (me cuesta mucho escribir sin ganas o sobre algo que no me interesa), casi siempre relacionado con las matemáticas (aunque no exclusivamente). Por ello, es un poco difícil definir a “matemaTICs”, porque no es un blog exclusivo de didáctica de las matemáticas, de divulgación matemática, de acertijos matemáticos o de matemáticas recreativas. Es de todo un poco… Nunca he sido muy ordenada y eso también se puede apreciar en el blog. Hay semanas en las que escribo varios posts y luego pueden pasar unas cuantas sin actualizar.

Entonces, si no ha habido apenas cambios externos ni internos, ¿qué cambios ha habido? Ha habido cambios que son difíciles de apreciar a simple vista. Ha habido cambios positivos en mi seguridad a la hora de escribir, en mis ganas de hacerlo, en disfrutar de cada momento que paso delante de la pantalla escribiendo, sin importar el resultado final, en lo que he aprendido (desde luego); quizás también en la fluidez a la hora de hacerlo… No sé, para mí esos cambios son más que suficientes.

Y ya, para terminar (ya era hora, lo reconozco), me gustaría volver a enlazar algunos de los post de “matemaTICs” que a mí personalmente más me gustan. Enlazaré sobre todo de los que escribí hace tiempo, porque es más probable que tú, lector, no los hayas leído:

  • El papel de las matemáticas en el papel: Éste lo enlazo porque me llevó mucho tiempo escribirlo (y todo lo que eso conlleva, como buscar información, pensar cómo estructurar las ideas… ). Me acuerdo de pasarme el día entero delante de la pantalla… Creo que ese día comí en cinco minutos y no sé siquiera si iría al baño.
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