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Posts Tagged ‘didáctica’

Así, tal cual lo he dicho, a la lectora o al lector le puede parecer una atrocidad: ¡Con lo que les cuesta a los estudiantes de ESO comprender las relaciones que se “ocultan” detrás de las letras y ahora queremos también atormentar a los más pequeños! Si esa es tu postura seguramente es porque no tenemos la misma idea de lo que significa el Álgebra. Según la Wikipedia, el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades y, además, la Early-Algebra (Molina, 2009 : 136):

[…]va acompañada de una amplia concepción del álgebra que engloba el estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones numéricas, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del simbolismo, y la modelización como dominio de expresión y formalización de generalizaciones.

Es decir, el saco del álgebra es un poco como el bolso de Mary Poppins: entra más de lo que parece a simple vista.

Aún así uno puede preguntarse si realmente es lícito la enseñanza y aprendizaje de esta rama matemática a edades tempranas, si ésta quedará a la altura de los más pequeños o será una rama demasiado alta para trepar hasta ella. Recientes estudios parecen respaldar que los más pequeños no son tan bajos como para no alcanzarla. Según Molina (2009: 139):

La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo igual, los concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables, el rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al.,2003). En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fujii, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de pensamiento algebraicos.

Esta postura, aunque no parece estar respaldada de forma explícita por el currículo oficial español actual, donde los bloques de contenidos hacen referencia a “Números y operaciones”, “Medida”, “Geometría”, “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” y “Contenidos comunes a todos los bloques”, sí que nos es mostrada en Los Principios y Estándares para la Educación Matemática que preparó la NCTM en el año 2000, un documento de obligada referencia para el mundo de la docencia matemática. En dicho documento el Álgebra es uno de los Estándares de contenidos para toda la etapa educativa obligatoria junto con Números, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad.

Lo que se pretende desde esta visión ampliada del Álgebra es una relación más estrecha con la Aritmética sobre todo, y también con otros contenidos como la Geometría; se pretende promover el pensamiento aritmético junto con el algebráico. En el fondo, la Aritmética se basa en el aprendizaje de métodos y propiedades que nos permiten realizar cálculos numéricos. Para llevar a buen término dichos cálculos es necesario apropiarse de una serie de generalidades (la propiedad conmutativa de la suma, por ejemplo) e interiorizarlas… y eso tiene mucho que ver con el álgebra.

Volvamos otra vez con los Estándares del NCTM. (más…)

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Bueno, pues vamos con el último artículo en relación con el libro “Matemática Inclusiva”, que ya era hora. Esta vez trata sobre la atención a la diversidad. Me gustaría, antes de mostrar una serie de ejemplos, destacar dos ideas que se nos mencionan. La primera tiene que ver con el hecho de que muchas veces se piensa que en matemáticas, en relación con este aspecto de la diversidad, sólo hay que atender al problema lingüístico, porque las matemáticas son universales, pero no es así. La matemática también tiene su propia dimensión cultural, como veremos en algunos ejemplos.

La otra idea se refiere a que la diversidad no atiende únicamente a la diversidad étnica. Como los propios autores apuntan:

Los ejemplos de esta sección muestran una diversidad que va más allá de lenguas y recursos didácticos. También muestran que la realidad multicultural se refiere a cualquier grupo humano, cuente o no con personas inmigradas. Al enfrentarse a la resolución de un problema matemático, dos personas pueden diferir en las interpretaciones del enunciado y los datos a pesar de ser del mismo país o hablar una misma lengua. Al hacer matemáticas, el bagaje de experiencias puede crear más diferencias entre dos personas “autóctonas” que entre alguien “autóctono” y alguien “inmigrado”.

Como siempre a lo largo del libro, los autores van a realizar un estudio de 4 aspectos en relación con este tema. En este caso, sin embargo, de cada uno de ellos se nos van a mostrar formas diferentes de abordarlos… y no todas por personas inmigradas, ni mucho menos. Estos 4 aspectos son:

  • Diversidad de procedimientos algorítmicos
  • Diversidad de representaciones sobre las matemáticas
  • Diversidad en la resolución de problemas
  • Diversidad de significados atribuidos a símbolso matemáticos.

Sólo voy a resaltar dos (aunque los otros también son muy interesantes): diversidad de procedimientos algorítmicos y diversidad en la resolución de problemas.

Diversidad de procedimientos algorítmicos

Aunque nos puede parecer que los algoritmos de las operaciones son universales, no es así. Muchas veces sólo cambia la forma de colocar los distintos elementos que aparecen en dicho algoritmo, pero, aunque así sea, esa es una dificultad a tener en cuenta. A continuación un ejemplo de una suma y de una multiplicación realizada por una chica de Finlandia con la explicación que ella misma dio sobre dichos algoritmos y que muestran que realmente entiende lo que está haciendo:

algoritmo-1200 + 400 es 600, pero la otra columna me indica que hay que añadir 100, por este motivo escribo 7, aunque al principio no sé que será 7. En realidad sigo dos pasos. Primero 200 + 400 es 600, 60 + 80 es 140 y 8 + 3 es 11. Después está el segundo paso, que es el último. Cuando estoy con las decenas, me quedo con 40 y paso 100 a las centenas, y así tengo 7. En el lugar de las unidades, me quedo con 1 y paso 10 a las decenas, y así tengo 5.

Multiplico 67 por 5 y me da 335, pero añado 0 porque 5 hacealgoritmo-2 referencia a 50; lo hago como con la suma, de izquierda a derecha. Esta multiplicación me da 3350. Después, multiplico 67 por 3, que son unidades. Ahora me da 201. Sumo los resultados de las dos multiplicaciones. Ya sabéis, a mi manera.

Como podemos ver, lo que hace esta chica es similar a nuestro algoritmo (me refiero al que se suele enseñar en España), lo único que empieza por las unidades de orden superior, empieza por la izquiera. Esto método se puede justificar argumentando que así es también como se lee y escribe (de izquierda a derecha).

Otro ejemplo, éste de un chico marroquí de origen berebere, es el que puedes ver en la figura nº 3. En el ejemplo se muestran dos operaciones. Te invito a que descubras cuál es el procedimiento seguido por el chico y qué operaciones está realizando. Las cifras habrán de leerse en vertical de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

algoritmo-3

Diversidad en la resolución de problemas

Veamos el enunciado de un problema y las discusiones que surgieron a raíz de él:

Un campesino viaja con 300 kilos de tomate hasta el mercado del pueblo más cercano. Ha decidido vender el kilo de tomate a 2 euros, pero después de pasar buena parte de la mañana a pleno sol y sin haber vendido ningún tomate, decide cambiar el precio. Está dispuesto a ganar un 10% menos de lo que tenía previsto. ¿A qué precio venderá el kilo de tomate?

A simple vista es un buen problema, cercano a la realidad. Incluso se da un dato, 300 kilos, que no hace falta en el enunciado. Sin embargo, eh aquí lo que un estudiante, de ámbito rural, opinó al respecto:

Este problema es realmente complicado. Los tomates son como la fruta, tienen mucha agua. Si el campesino estuvo a pleno sol y los tomates también, entonces se ha evaporado mucha agua, y ahora ya no tiene 300 kilos. Como máximo debe tener unos 290 kilos. Mi abuelo tiene mucho cuidado para no dejar las cosas a pleno sol.

Puede que a muchos este razonamiento les parezca fuera de lugar, que no se centra en el problema en sí. Eso es lo que ocurrió en el aula en la que se dio esta situación. Una risa generalizada fue la respuesta ante dichas palabras y la profesora no prestó la atención que se merecía esta propuesta, que además se acercaba a la realidad.

Me gusta este ejemplo porque nos muestra que hasta el enunciado de un problema no es tan universal como nos podríamos pensar y, además, que la diversidad, como se apuntaba antes, no se refiere únicamente a las personas inmigradas.

Para más ejemplos, ya sabes, te invito a leer el libro.

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Bueno, después de esta pausa retomo los posts sobre el libro “Matemática inclusiva”. Vamos a por el tercero, que tiene que ver con los juegos en las matemáticas. Los juegos, al igual que los materiales manipulativos, son recursos muy vistos en el mundillo de la Didáctica de las Matemáticas, aunque igual no tanto en las aulas, que es donde en realidad importa. Los autores nos cuentan que:

Una anécdota, ocurrida en el transcurso de una actividad de formación permanente a maestros de infantil y primaria, ilustra las dificultades para incluir el juego en el aula de matemáticas. Después de un asesoramiento sobre materiales manipulables y juego, una maestra valoró el curso así: <<Le estoy muy agradecida por el curso. Todo lo que ha enseñado ha sido interesante. Pero yo tengo un libro de matemáticas pensado por un señor pedagogo que me resulta muy útil para dar clases. De momento tengo suficientes recursos y no necesito juegos>>.

Claro, como siempre, los extremos no son buenos y de eso también se nos avisa:

De todos modos, conviene considerar que el juego por sí mismo, sin intervención del adulto (padres, maestros, educadores, etc.), no es un requisito suficiente para producir aprendizajes, sean matemáticos o de otro tipo. El juego sin una rigurosa planificación puede ser ineficaz desde la perspectiva del aprendizaje matemático.

Después de esta “breve” introducción me gustaría acercarte algunos juegos que aparecen en dicho libro, pero sólo algunos, los que a mí me parecen menos conocidos, porque si no esto se haría interminable. Los tres que te muestro son todos para trabajar las operaciones aritméticas (pero tu imaginación puede transformarlos en lo que desee):

Bingo

El Bingo es un juego muy conocido, lo sé. Por ello no me voy a entretener mucho en él. ¿Cómo se puede aprovechar el bingo en matemáticas? Muy fácil. En lugar de colocar números en las casillas de las tarjetas (aunque también vale para trabajar la identificación de números con niños pequeños), se pueden colocar operaciones, cantidades… y todo aquello que se quiera trabajar. Por ejemplo, si estamos trabajando la tabla de multiplicar del dos, podemos hacer un cartón como el siguiente:

bingo-multiplicativo

De tal forma que si se han cantado los números 8, 6, 12, 14 y 20, la persona con dicha tarjeta habrá ganado (a no ser que no se supiera la tabla, claro).

Otra forma de aprovechar el bingo es (más…)

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Bueno, como había quedado en el anterior post, aquí dejo algunos de los rasgos que caracterizarían, a mi entender, el rostro del aprendizaje por descubrimiento a través de un software geométrico como es Regla y Compás. Para mí, la característica fundamental de este tipo de aplicaciones es que permiten la interactividad, permiten trasladar las figuras o deformarlas, conservando algunas de sus características. Esto me parece ideal, por ejemplo, para que los estudiantes descubran ciertas propiedades sin tener que construir muchas figuras (triángulos, por ejemplo): si tiramos de un vértice (con el botón secundario del ratón) obtendremos otras figuras (triángulo, en este caso) en las que podremos comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo o no… Pero, desde luego, hay muchas más posibilidades.

 

Eso es lo que he intentado reflejar en las actividades que a continuación presento, aunque no todas disfrutan de las ventajas de Regla y Compás, como las tareas 3 y 5, pero de todas formas las he puesto porque también se basan en el descubrimiento.

 

1) Construir tres segmentos y trasladarlos para formar un triángulo. ¿Siempre es posible?, ¿por qué? (Esta actividad nos fue propuesta por Chiti durante una de las clases de TEM).

2) Construir un triángulo cualquiera y mover uno de sus vértices: comprobar que en todos los triángulos la suma de los ángulos es de 180º. ¿Qué ocurre con los cuadriláteros?

 

3) Construir todos los triángulos diferentes que se puedan con 3 lados dados. Construir cuadriláteros con 4 segmentos. ¿Qué ocurre en uno y en otro caso? Con esto se pretende que los alumnos se fijen en que un triángulo queda determinado por sus lados, pero no así un cuadrilátero. Esta actividad sería más interesante si los triángulos se pudieran girar, pero creo que C.a.R. no lo permite, al menos de una manera fácil: así se podrían superponer los triángulos y comprobar que son congruentes. Es más rollo, pero de todas formas siempre pueden medir los ángulos y comprobar que los lados se “conectan” siguiendo el mismo orden. Estaría bien dejarles la libertad suficiente para que sean ellos (los estudiantes) los que descubran esta “característica” de los triángulos.

4) Construir un polígono y todas sus diagonales. Ahora mover el polígono para formar otros cóncavos y convexos. ¿Se nota alguna diferencia en las diagonales en ambos casos? Con esto se pretende que los alumnos lleguen a la conclusión de que en los convexos todas las diagonales van “por dentro” y en los cóncavos no todas “van por dentro” (que es otra manera de definir los polígonos cóncavos y convexos que no tiene nada que ver con la medida de los ángulos).

 

5) Construir un segmento AB y su mediatriz. Escoger un punto de la mediatriz (X) y trazar dos segmentos que vayan desde ese punto a cada uno de los extremos (XA y XB). Medir ambos segmentos. ¿Tienen la misma medida? Escoger otros puntos de la mediatriz. ¿Ocurre lo mismo? Intentar ver la razón. En cuanto a esta actividad, creo que normalmente se define una mediatriz como la perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, pero pocas veces como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Me parece importante que los alumnos conozcan (y mejor que descubran) dicha característica.

6) Trazar las mediatrices de los lados de un triángulo. ¿Se cortan las tres en el mismo punto? Repetir la experiencia con otros triángulos (o más fácil: mover los vértices del triángulo y comprobar lo que sucede). ¿El punto de corte queda siempre dentro del triángulo? Si no es así, ¿cuándo queda fuera del mismo o sobre uno de los lados? A este punto se le llama circuncentro. Construir una circunferencia de centro dicho punto y de radio la distancia entre ese punto y uno de los vértices. ¿Qué ocurre? Intentar ver por qué ocurre esto y por qué se cortan las tres mediatrices en un único punto. Esta actividad puede parecer difícil para Primaria, pero yo creo que no lo es tanto si se tiene asumida la propiedad de la mediatriz mencionada anteriormente.

7) Comprobar que, en general, las mediatrices (medianas, bisectrices…) de los lados de un cuadrilátero no se cortan en un único punto. ¿En qué casos sí lo hace?

 

8). También se pueden construir el resto de puntos notables de un triángulo y ver alguna de sus propiedades, comprobando que tanto las tres bisectrices, como las tres medianas y las tres alturas se cortan en un único punto.

Y ya está. Desde luego esto es sólo la punta del iceberg de lo que se puede hacer. Por eso, este sitio se enriquecería mucho más con tu aportación: ¿se te ocurre alguna otra actividad? La zona de comentarios está esperando impaciente a que dejes tu granito de arena. ¡Ánimo!

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http://humoraop.blogspot.com
Fuente de la image: http://humoraop.blogspot.com

Hace tiempo que por estos lares aparecía una entrada que justificaba en cierta medida el uso de calculadoras en clase… Leyendo el apartado “Isn´t it cheating to use a calculator?” (¿No es un timo usar una calculadora?) de Mathematics Explained for primary teachers de Derek Haylock obtenemos otra justificación que me parece importante comentar aquí.

Podemos decir que esa justificación da la mano a un proceso matemático que denominamos modelización. La modelización (de la que ya se habló aquí) es un proceso que traslada un problema de la vida real a un problema matemático que resolvemos. Una vez resuelto interpretamos de nuevo el resultado en términos “reales” y comprobamos si la solución se adecua a nuestras expectativas. Un poco más esquematizado podemos decir que la modelización consta básicamente de 4 fases:

  1. Presentar el modelo matemático

  2. Obtener la solución matemática

  3. Interpretar la solución matemática en el mundo real

  4. Comparar la solución con la realidad de la situación original

Para una mayor comprensión de estos procesos nos remitiremos al ejemplo que nos muestra Haylock. Imaginemos que en el mundo real se nos presenta el siguiente problema: “¿Cuántas cajas necesitas para introducir en ellas 150 calculadoras si cada caja puede contener únicamente 18 calculadoras? Entonces nosotros “traducimos” ese problema en términos matemáticos: 150:18 (Fase 1), luego obtenemos la solución matemática: 8,33333… (fase 2), a continuación la interpretamos en el mundo real: “eso quiere decir 8 cajas y un poco más” (fase 3), para finalizar intentamos adecuar esa solución a lo que realmente necesitamos; en este caso no podemos coger 8 cajas y un poco más, y como con 8 cajas nos quedarían calculadoras sin embalar, necesitamos 9 cajas (fase 4).

Hay veces en las que el modelo elegido no cumple nuestras expectativas al trasladarlo al “mundo real”; en esos casos tendremos que repetir de nuevo todos los pasos. Otras veces, sin embargo, puede existir más de un modelo más o menos satisfactorio que intenta dar solución a un mismo problema (piénsese por ejemplo en los diferentes sistemas de votación).

El lector reflexivo podrá darse cuenta de que la calculadora sólo nos resuelve el paso 2 y nada más. Dicho artilugio nos puede ahorrar muchas operaciones innecesarias y permitirnos centrarnos en otros aspectos igual o más relevantes; en el resto de fases del proceso de modelización… Y creo que no queda ninguna duda de la importancia que el proceso de modelización desempeña en la enseñanza: este proceso nos invita a resolver problemas realistas, problemas que realmente nos vamos a encontrar en nuestra vida diaria, ¿acaso no es ese uno de los objetivos básicos que se deberían pretender con el proceso de aprendizaje-enseñanza? (más…)

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Bueno, es evidente que el papel (junto con algo para escribir) ha tenido siempre (es un decir) un papel destacado en las matemáticas. Incluso Claudi Alsina, en su libro Vitaminas matemáticas, incluye la afición de escribir en papelitos como uno de los “tics” de los matemáticos, junto con el despiste parcial, el rigor exagerado, la modesta ambición crematística y la tendencia al asociacionismo.

También es cierto que, junto con la tan querida pizarra, el papel ha tenido siempre (quizás ahora menos, con la aparición de los ordenadores) un lugar de honor en la enseñanza. Sí, cientos y cientos de páginas llenas de letras, números y algún que otro dibujito del profesor bigotudo de química, algún corazoncito o algún “violeta x francisco”. Parece mentira, sin embargo, que este gran recurso no haya sabido aprovecharse como se merece. En este post pretendo rescatar algunas de esas aplicaciones que tan poco entran en las aulas, de matemáticas en este caso, y de las que tanto se puede aprender. En concreto voy a tratar el tema del origami, ya que con el papel se pueden hacer infinidad de cosas y sería demasiado amplio hablar de todas ellas. Para empezar, me gustaría justificar que realmente el origami puede ser una gran ayuda en la educación en general y en las matemáticas en particular. Para ello me baso en los testimonios de personas entendidas en el tema. (más…)

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