Ya habíamos visto que ciertos recursos dan más de sí de lo que parece a simple vista. Hoy vuelvo a mostrar otro recurso al que le pasa lo mismo: lo que podemos hacer con él es mucho más de lo que en un primer momento nos puede parecer… Y si no, dime cómo crees que puedes aprovechar en el aula esta figura:
Figura 1
Si se te ocurre algo interesante no dudes en dejar tu idea en comentarios. A continuación muestro algunas de las propuestas que Uldarico Malaspina nos acercó en un artículo en el último número de la revista Unión (nº 20). El artículo se puede descargar gratuítamente (lo enlazo al final del post).
Contar
¿Contar? Sí, ya sé que parece un poco absurdo usar una figura como ésta para contar, habiendo, aparentemente, muchas otras cosas más interesantes que contar, pero la disposición tan particular de los círculos que conforman el rombo nos permite aprovecharlo para contarlos dividiendo la figura en distintos fragmentos y haciendo uso de operaciones como la suma, la multiplicación o la resta. Como dice Malaspina:
Es un problema sencillo, con desafíos a la creatividad ante dificultades que se perciben superables y que invitan a combinar la observación de patrones con criterios geométricos, particiones de un conjunto y operaciones elementales de multiplicación, adición y sustracción.
Algunos ejemplos son los siguientes (invito al lector a que dé alguno más):
Figura 2
Lo que se puede expresar como: 1+3+5+7+5+3+1 = 25; o también, si observamos la simetría, como: 2(1) + 2(3) + 2(5) + 7 = 25
Figura 3
Que se puede expresar como: 4×4 + 3×3 = 25
Figura 4
Que se puede expresar como 5×5 = 25
De expresiones aritméticas a configuraciones geométricas.
Una vez que nos hemos aburrido de contar de mil y una maneras podemos invertir el proceso, es decir, se nos dan una serie de expresiones aritméticas correspondientes a configuraciones geométricas de los círculos y con ellas tenemos que averiguar de qué manera se ha contado. Creo que con el ejemplo de la imagen se entiende mejor:
Figura 5
Y te dejo la solución (o una de las soluciones) para la expresión de Carlos:
Figura 6
Algunas generalizaciones
Como por ejemplo:
1.- Teniendo la configuración dada, ¿cuántos círculos más se deben dibujar para obtener una configuración similar, pero que tenga 6 círculos en cada lado del “rombo”?
2.- ¿Cuántos círculos tiene una configuración similar a la dada, con n círculos en cada lado del “rombo”?
Lo que, como se puede observar, ya nos sumerge, aunque de una manera muy suave, en el terreno del álgebra… Por si no tienes ganas de pensar, la respuesta a la segunda pregunta es n² + (n-1)² (la primera se deduce de la segunda fácilmente, claro).
Sucesiones y pensamiento recursivo
Como por ejemplo:
- Construir los cinco primeros términos de una sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, como las que hemos trabajado, de modo que el cuarto término sea la configuración rómbica de la figura 1.
- ¿Cuántos círculos deben añadirse al término n-ésimo de la sucesión de configuraciones rómbicas de círculos, para obtener el término (n+1)-ésimo?
- Con una traslación adecuada de algunos círculos, la configuración rómbica de círculos del cuarto término de la sucesión se convierte en una configuración cuadrada de 5×5 círculos (Como se muestra en la figura 4). ¿Es posible obtener una correspondiente configuración cuadrada para algún otro término de la sucesión de configuraciones rómbicas?
Si observas detenidamente te darás cuenta de que esta última pregunta nos mete de lleno en el mundo de las ternas pitagóricas: como habíamos visto un poco más arriba el rombo con n círculos de lado se compone de n² + (n-1)², y lo que se nos pide es buscar las configuraciones rómbicas cuyo número total de círculos es un número cuadrado, es decir, lo que se nos pide es hallar los números n y x que cumplan que (n-1)² + n² = x². Como vemos, una cuestión nada despreciable para lo que se podría pensar en un principio.
Referencia:
MALASPINA, U. (2009): El rincón de los problemas: Conteo y pensamiento matemático [pdf]. Unión, nº 20, 131-139.
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