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Posts Tagged ‘Libros’

Antes de entrar en materia me gustaría que el lector o lectora se implicara un poco, sobre todo si es docente de matemáticas en la ESO (o lo ha sido alguna vez) y, aunque ya estamos de vacaciones, puntuara (sobre 5) el siguiente ejercicio destinado a los estudiantes que acaban de finalizar 3º de la ESO o empiezan 4º. Para ello, después del ejercicio con su solución aparecen dos encuestas. La de la izquierda es para los docentes que están habituados a corregir ejercicios de este tipo (o por lo menos que dan clase a este nivel). La otra es para las personas que tengan ganas de participar y no se encuentren entre los primeros. Me gustaría también que se respondiera a la encuesta antes de seguir leyendo para que la lectura de lo que viene luego no condicione de ninguna manera. Gracias por tu participación:

AB y CD son dos diámetros perpendiculares de una circunferencia. La recta \Delta es perpendicular a CD en E. Llamamos F al punto de intersección entre la recta AE y la circunferencia, y L al punto de intersección de las rectas \Delta  y OF. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo ELF?

 

Solución:

La recta EL es paralela a la recta AO. Entonces, de acuerdo con el teorema de Tales, en el triángulo OFA tenemos:

\frac{EL}{AO}=\frac{LF}{OF}=\frac{EF}{AF}

Ahora bien AO=OF=R,  siendo R el radio del círculo. Entonces \frac{EL}{R}=\frac{LF}{R}

de donde concluimos que EL=LF .

Luego, el triángulo LEF es isósceles en L.

    

     
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el-club-de-la-hipotenusaEl Club de la Hipotenusa es un nuevo libro de Claudi Alsina. Es un recorrido en forma de anécdotas por la Historia de las Matemáticas. Muchas de ellas seguro que son conocidas para aquellas personas que se lleven bien con las matemáticas, pero Alsina sabe darle ese encanto especial que le caracteriza y que hace que un mismo hecho aparezca vestido con un traje nuevo. También el ilustrador, Anthony Garner, contribuye en gran medida en la amenidad del libro, con caricaturas muy logradas de matemáticos. A continuación algunas de esas anécdotas tal y cuál él las plasmó:

Cornudos y numerados

Para las acaloradas discusiones vis-a-vis (<<sal a la calle y lo arreglaremos>>) un retorcido lenguaje oral y unos puños bien adiestrados son suficientes. Para mandar insultos a distancia (por ejemplo, en adelantamientos imprudentes de coches), a falta de gritos, las personas irascibles (¡hay muchas por lo visto, en calles y carreteras!) recurren a gestos con las manos, destacando italianos y españoles en el empleo del insulto gestual. Pero la gama de gestos insultantes es limitada en coherencia con el número de neuronas de sus usuarios. A nadie le es desconocido que con los dedos meñique e índice extendidos y los dos de en medio flexionados se evoca la forma de cuernos de un animal y con ella se califica de <<cornuda>> a la persona que contempla la escena. Esta gesticulación que hoy ofende fue en su día de gran interés numérico. En la numeración mímica romana este gesto con la mano izquierda era <<4>> y con la derecha era <<400>>. Así pues, si hace este gesto a una persona ducha en historia de las matemáticas puede ocurrir que el interpelado no se ofenda.

Tiempos romanos:

Según Rabano Mauro, autor del Liber de computo, se atribuyen a los romanos diversas divisiones temporales que aún hoy se usan (minuto, hora día, mes, año, siglo, edad…) y otras que han desaparecido. Es curiosa la existencia del <<momento>> que era un minuto y medio lo que dividía a la hora en cuarenta momentos. Una <<parte>> eran cuatro minutos y por tanto la hora tenía quince partes.

Así pues si alguien nos dice <<un momento>> podemos interpretar que necesita 90 segundos, pero si oímos la expresión más amable <<un momento, cariño>> entonces la espera puede ser mucho más larga.

Deberes bien hechos

El estadístico americano George Dantzing (1914-2005) destacó ya como investigador cuando era estudiante. En una ocasión, en 1934, habiendo llegado tarde a la clase de estadística de J. Neyman, vio dos enunciados de problemas en la pizarra. Anotó los enunciados y durante bastantes días hizo los deberes, pensando que el profesor se había pasado con su dificultad. Finalmente entregó las dos soluciones. El siguiente domingo a las ocho de la mañana J. Neyman llamaba a la puerta de su casa para felicitarle y alentarle a publicar sus dos resultados. Lo que Dantzing copió no eran deberes para casa sino dos problemas abiertos que nadie antes había resuelto.

Ilustraciones de Anthony Garner

Ilustraciones de Anthony Garner

La pelea Unamuno-Gaudí

En una ocasión Miguel de Unamuno acompañado del poeta Joan Maragall fue a visitar la Sagrada Familia siendo atendido personalmente por Gaudí. Como ni a Gaudí le gustaban las ideas del visitante ni a éste lo que estaba viendo la visita fue tensa. Pero la pelea culminante nada tiene que ver ni con la filosofía ni con la arquitectura. Fue un reto entre ambos para dilucidar quién hacía las mejores figuras de papiroflexia. Totalmente inesperado.

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cultivando-el-ingenio“Cultivando el ingenio” es el libro que Héctor San Segundo recientemente ha publicado en la editorial “virtual Bubok“. Puedes obtenerlo en papel por 8,10 € (impuestos y envío no incluídos) o descargártelo totalmente gratis, todo en esta página.

El libro se compone de 159 páginas con 100 acertijos inéditos con sus respectivas soluciones. Estos acertijos se clasifican en:

  • Acertijos aritméticos
  • Acertijos con el calendario
  • Plantaciones frutícolas
  • Acertijos numéricos
  • Acertijos ajedrecísticos
  • Acertijos con piezas y fichas
  • Acertijos varios.

Para que te hagas una idea, te dejo con uno de esos acertijos (éste bastante fácil):

Para ascender los 800 escalones de una pirámide, un sacerdote cumple un rito de idas y vueltas: sube una cantidad de escalones, desciende otra cantidad menor. Vuelve a subir igual cantidad que antes y vuelve a bajar igual cantidad que antes. Y así sucesivamente. Alcanza la punta de la pirámide al final de una subida, habiendo así andando en total 1.200 escalones, entre subidas y bajadas. ¿Cuál es la cantidad fija de escalones que sube en cada trecho y cuál es la cantidad que baja?.
Se dice en el enunciado que sube y baja varias veces porque sino la solución sería infantil: sube 500 escalones, desciende 200 y vuelve a subir 500. Es decir, sube y baja más de una vez.
Además, hay un desafío adicional: demostrar que este acertijo tiene una única solución.

Pues ánimo con él.

Por cierto, me enteré de la noticia hace unos días por su.doku.es y me la recordaron de nuevo en juegosdeingenio

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Bueno, pues vamos con el último artículo en relación con el libro “Matemática Inclusiva”, que ya era hora. Esta vez trata sobre la atención a la diversidad. Me gustaría, antes de mostrar una serie de ejemplos, destacar dos ideas que se nos mencionan. La primera tiene que ver con el hecho de que muchas veces se piensa que en matemáticas, en relación con este aspecto de la diversidad, sólo hay que atender al problema lingüístico, porque las matemáticas son universales, pero no es así. La matemática también tiene su propia dimensión cultural, como veremos en algunos ejemplos.

La otra idea se refiere a que la diversidad no atiende únicamente a la diversidad étnica. Como los propios autores apuntan:

Los ejemplos de esta sección muestran una diversidad que va más allá de lenguas y recursos didácticos. También muestran que la realidad multicultural se refiere a cualquier grupo humano, cuente o no con personas inmigradas. Al enfrentarse a la resolución de un problema matemático, dos personas pueden diferir en las interpretaciones del enunciado y los datos a pesar de ser del mismo país o hablar una misma lengua. Al hacer matemáticas, el bagaje de experiencias puede crear más diferencias entre dos personas “autóctonas” que entre alguien “autóctono” y alguien “inmigrado”.

Como siempre a lo largo del libro, los autores van a realizar un estudio de 4 aspectos en relación con este tema. En este caso, sin embargo, de cada uno de ellos se nos van a mostrar formas diferentes de abordarlos… y no todas por personas inmigradas, ni mucho menos. Estos 4 aspectos son:

  • Diversidad de procedimientos algorítmicos
  • Diversidad de representaciones sobre las matemáticas
  • Diversidad en la resolución de problemas
  • Diversidad de significados atribuidos a símbolso matemáticos.

Sólo voy a resaltar dos (aunque los otros también son muy interesantes): diversidad de procedimientos algorítmicos y diversidad en la resolución de problemas.

Diversidad de procedimientos algorítmicos

Aunque nos puede parecer que los algoritmos de las operaciones son universales, no es así. Muchas veces sólo cambia la forma de colocar los distintos elementos que aparecen en dicho algoritmo, pero, aunque así sea, esa es una dificultad a tener en cuenta. A continuación un ejemplo de una suma y de una multiplicación realizada por una chica de Finlandia con la explicación que ella misma dio sobre dichos algoritmos y que muestran que realmente entiende lo que está haciendo:

algoritmo-1200 + 400 es 600, pero la otra columna me indica que hay que añadir 100, por este motivo escribo 7, aunque al principio no sé que será 7. En realidad sigo dos pasos. Primero 200 + 400 es 600, 60 + 80 es 140 y 8 + 3 es 11. Después está el segundo paso, que es el último. Cuando estoy con las decenas, me quedo con 40 y paso 100 a las centenas, y así tengo 7. En el lugar de las unidades, me quedo con 1 y paso 10 a las decenas, y así tengo 5.

Multiplico 67 por 5 y me da 335, pero añado 0 porque 5 hacealgoritmo-2 referencia a 50; lo hago como con la suma, de izquierda a derecha. Esta multiplicación me da 3350. Después, multiplico 67 por 3, que son unidades. Ahora me da 201. Sumo los resultados de las dos multiplicaciones. Ya sabéis, a mi manera.

Como podemos ver, lo que hace esta chica es similar a nuestro algoritmo (me refiero al que se suele enseñar en España), lo único que empieza por las unidades de orden superior, empieza por la izquiera. Esto método se puede justificar argumentando que así es también como se lee y escribe (de izquierda a derecha).

Otro ejemplo, éste de un chico marroquí de origen berebere, es el que puedes ver en la figura nº 3. En el ejemplo se muestran dos operaciones. Te invito a que descubras cuál es el procedimiento seguido por el chico y qué operaciones está realizando. Las cifras habrán de leerse en vertical de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

algoritmo-3

Diversidad en la resolución de problemas

Veamos el enunciado de un problema y las discusiones que surgieron a raíz de él:

Un campesino viaja con 300 kilos de tomate hasta el mercado del pueblo más cercano. Ha decidido vender el kilo de tomate a 2 euros, pero después de pasar buena parte de la mañana a pleno sol y sin haber vendido ningún tomate, decide cambiar el precio. Está dispuesto a ganar un 10% menos de lo que tenía previsto. ¿A qué precio venderá el kilo de tomate?

A simple vista es un buen problema, cercano a la realidad. Incluso se da un dato, 300 kilos, que no hace falta en el enunciado. Sin embargo, eh aquí lo que un estudiante, de ámbito rural, opinó al respecto:

Este problema es realmente complicado. Los tomates son como la fruta, tienen mucha agua. Si el campesino estuvo a pleno sol y los tomates también, entonces se ha evaporado mucha agua, y ahora ya no tiene 300 kilos. Como máximo debe tener unos 290 kilos. Mi abuelo tiene mucho cuidado para no dejar las cosas a pleno sol.

Puede que a muchos este razonamiento les parezca fuera de lugar, que no se centra en el problema en sí. Eso es lo que ocurrió en el aula en la que se dio esta situación. Una risa generalizada fue la respuesta ante dichas palabras y la profesora no prestó la atención que se merecía esta propuesta, que además se acercaba a la realidad.

Me gusta este ejemplo porque nos muestra que hasta el enunciado de un problema no es tan universal como nos podríamos pensar y, además, que la diversidad, como se apuntaba antes, no se refiere únicamente a las personas inmigradas.

Para más ejemplos, ya sabes, te invito a leer el libro.

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Bueno, después de esta pausa retomo los posts sobre el libro “Matemática inclusiva”. Vamos a por el tercero, que tiene que ver con los juegos en las matemáticas. Los juegos, al igual que los materiales manipulativos, son recursos muy vistos en el mundillo de la Didáctica de las Matemáticas, aunque igual no tanto en las aulas, que es donde en realidad importa. Los autores nos cuentan que:

Una anécdota, ocurrida en el transcurso de una actividad de formación permanente a maestros de infantil y primaria, ilustra las dificultades para incluir el juego en el aula de matemáticas. Después de un asesoramiento sobre materiales manipulables y juego, una maestra valoró el curso así: <<Le estoy muy agradecida por el curso. Todo lo que ha enseñado ha sido interesante. Pero yo tengo un libro de matemáticas pensado por un señor pedagogo que me resulta muy útil para dar clases. De momento tengo suficientes recursos y no necesito juegos>>.

Claro, como siempre, los extremos no son buenos y de eso también se nos avisa:

De todos modos, conviene considerar que el juego por sí mismo, sin intervención del adulto (padres, maestros, educadores, etc.), no es un requisito suficiente para producir aprendizajes, sean matemáticos o de otro tipo. El juego sin una rigurosa planificación puede ser ineficaz desde la perspectiva del aprendizaje matemático.

Después de esta “breve” introducción me gustaría acercarte algunos juegos que aparecen en dicho libro, pero sólo algunos, los que a mí me parecen menos conocidos, porque si no esto se haría interminable. Los tres que te muestro son todos para trabajar las operaciones aritméticas (pero tu imaginación puede transformarlos en lo que desee):

Bingo

El Bingo es un juego muy conocido, lo sé. Por ello no me voy a entretener mucho en él. ¿Cómo se puede aprovechar el bingo en matemáticas? Muy fácil. En lugar de colocar números en las casillas de las tarjetas (aunque también vale para trabajar la identificación de números con niños pequeños), se pueden colocar operaciones, cantidades… y todo aquello que se quiera trabajar. Por ejemplo, si estamos trabajando la tabla de multiplicar del dos, podemos hacer un cartón como el siguiente:

bingo-multiplicativo

De tal forma que si se han cantado los números 8, 6, 12, 14 y 20, la persona con dicha tarjeta habrá ganado (a no ser que no se supiera la tabla, claro).

Otra forma de aprovechar el bingo es (más…)

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Vamos con el segundo post de la “Colección Matemática Inclusiva”. Este va dedicado a la manipulación, pero no a la manipulación de personas, sino a la manipulación de objetos. Las ideas matemáticas son muy abstractas por lo general, y la utilización de materiales manipulables (que pueden haber sido creados específicamente para las matemáticas o no) pueden ser un peldaño donde el estudiante se apoye para subir desde la realidad a las ideas matemáticas; de otra manera el salto se hace mucho más difícil.

Aunque había quedado en el anterior post en citar únicamente las actividades propuestas en el libro y luego centrarme en una sola, no es lo que voy a hacer en este caso. Más bien voy a citar los 4 materiales que aparecen en el libro (bastante conocidos por todos), aportando una idea extraída del libro de cada uno de ellos. Aparte, en algunos casos completaré la información con softwares que simulan dichos materiales, con actividades extraídas de Internet o del libro y/o con un acercamiento a las características de dicho material. Pues vamos con ellos:

Operaciones con el soroban (o ábaco japonés):

Fuente de la imagen: http://www.ee.ryerson.ca

Fuente de la imagen: http://www.ee.ryerson.ca

Cita del libro:

El ábaco es un material didáctico que se tiene que explicar. Es difícil llegar a conocer sus posibilidades de forma autónoma. […] El material por él mismo no plantea problemas que el aprendiz pueda trabajar por cuenta propia. Como decíamos, en este caso es difícil descubrir la función del material y provocar una actividad espontánea en torno a su manipulación. Eso, sin embargo, no impide que se pueda presentar, como lo hemos hecho, a fin que se haga el esfuerzo de conocerlo lo más autónomamente posible.

Más información:

Libro “Aritmética en el ábaco japonés” (puedes leerlo entero en red o bajarlo) de Óscar Zúñiga Morelli.

Libro “Operaciones fundamentales en la aritmética del ábaco chino” (puedes leerlo entero en red o bajarlo) traducido por Peter Yang.

En el libro “Circo Matemático” de Martin Gardner también hay un capítulo dedicado al ábaco.

Software:

Soroban 1.3 (para Windows)

Xabacus (para Linux): instrucciones [pdf] de instalación y funcionamiento.

Actividades:

Actividades clic para Infantil y Primaria

Actividades [pdf] con ábaco abierto para niños ciegos.

Nuestro viejo y querido ábaco” (artículo de “Correo del Maestro” número 19). Actividades dirigidas a niños de entre 5 y 7 años.

 

Descubrimiento de propiedades numéricas con regletas numéricas de Mª Antonia Canals

Cita del libro:

Las regletas permiten:  (más…)

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matematica-inclusiva“Matemática inclusiva” es el nombre de un libro recientemente publicado (2008) cuyos autores son Ángel Alsina y Núria Planas. No es mi intención hacer una reseña del libro; ya las hay [pdf, 59 kb] muy buenas; sólo digo que lo poco que he leído de él me parece muy interesante. Por ello me he propuesto crear 4 post; uno por cada área, apartado que se aborda:

  • Pensamiento crítico
  • Manipulación
  • Juego
  • Atención a la diversidad

Cada uno de estos apartados se estudia desde tres ángulos:

  • Marco de referencia: se introducen ideas clave, redactadas de manera que cualquier persona pueda tener una visión global de cada tema y de su peso específico en la educación matemática.
  • Ejemplos de actividades: se recogen actividades comentadas y resueltas (situaciones próximas al ciudadano no experto en matemáticas), con la finalidad de ver propuestas de concreción de los temas tratados.
  • Comentario de actividades del libro Ciencia Recreativa de Estalella: se deja constancia escrita y gráfica (a través de imágenes antiguas) de la articulación del enfoque reflejado como visión contemporánea de una obra clásica.

Desde luego, aunque me gustara, no puedo entretenerme en cada uno de estos tres sub-apartados, por lo que por lo general me centraré en los ejemplos de actividades, únicamente mencionándolas y haciendo un estudio más exhaustivo de una de ellas, ayudándome tanto de lo que se relata en el libro como de Internet o de algún otro libro. En este post me voy a centrar en el apartado Pensamiento crítico, y en este caso sí que haré alguna mención también al marco de referencia… En 1987 Sylvia Downs creó un informe (Developing skilled learners) sobre las características a promover en toda educación crítica. De ese informe se desprende que, por medio de la resolución crítica de problemas, el aprendiz debe:

  • Responsabilizarse de su aprendizaje y adoptar un papel activo.
  • Saber distinguir entre lo que tiene que memorizar y lo que tiene que comprender
  • Tomar decisiones y hacer preguntas para asegurarse de que comprende
  • Sentirse seguro con el fin de aprovechar nuevas oportunidades de aprendizaje
  • Darse cuenta de las dificultades que se le presentan y de las múltiples causas de estas dificultades.

Y en la organización “Fundación para el Pensamiento Crítico” se conceptualiza a un pensador crítico ejercitado con las siguientes características:

  • Formula problemas y preguntas vitales con claridad y precisión
  • Acumula y evalúa información relevante y usa ideas abstractas con el fin de interpretar esta información con eficacia.
  • Llega a conclusiones y soluciones, probándolas con criterios relevantes; piensa con una mente abierta, reconoce y evalúa, según sea necesario, supuestos, implicaciones y consecuencias prácticas.
  • Se comunica con eficacia a la hora de idear soluciones a problemas complejos.

Pues bueno, pasemos ahora a las actividades. Todas ellas están centradas en la realidad circundante del estudiante y son actividades muy abiertas, en las que a veces no hay una respuesta acertada única. Aquí, lo importante no es llegar a “la solución”, sino más bien, razonar y argumentar el porqué de esa solución. Las actividades son: (más…)

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