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Posts Tagged ‘problemas’

Me ha llegado la siguiente información que comparto para el que esté interesado y para que se le dé una merecida difusión:

El diario El País ha iniciado un concurso de resolución de problemas de Matemáticas relacionado con el Centenario de la RSME.

Necesitamos vuestra implicación para conseguir que los periodistas se
convenzan de que las Matemáticas venden y tengan buena disposición a
la hora de hacer divulgación matemática.

El concurso durará 30 semanas y podéis ver en qué consiste y el
primer problema aquí.

Sólo tenéis que entrar y votar el vídeo. Todos los viernes habrá un nuevo vídeo y os haremos llegar el link de cada problema.

También os pedimos que de la forma que os parezca más oportuna hagáis llegar este link a personas que estén dispuestas a resolverlo para que el número de respuestas que se reciban sea también grande (vuestros estudiantes, al profesor de matemáticas de vuestros hijos, conocidos…).

Vuestra colaboración es muy importante.

Un saludo del Comité para la Celebración del Centenario y de la RSME



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A continuación 3 problemas que aparentemente no tienen nada en común… aunque quién sabe. ¿Te atreves a resolverlos? Si lo haces tal vez descubras que son sangre de la misma sangre. ¡A por ellos!

 

 

  • En una pizarra se escriben los números naturales desde el 1 hasta el 2n, siendo n un número impar. A continuación se escogen dos de esos números, se borran y en su lugar se escribe el resultado de restar al mayor el menor. Se continúa realizando el mismo proceso hasta que queda un único número en la pizarra. Probar que este número es impar.

 

  • Ana y Beatriz, junto con otras 2009 personas, forman un corro, de tal manera que Ana y Beatriz no están al lado una de la otra. Ana y Beatriz juegan a tocar a una de las personas que tienen a su lado, la cuál tendrá que salir del círculo. Esto lo hacen de forma alternada, empezando Ana. Gana la persona que logre sacar del círculo a su oponente. ¿Hay alguna estrategía ganadora para alguna de las dos? Si es así, ¿para quién?

 

  • Tenemos un cuadriculado de 8×8 y queremos saber si quedará infectado totalmente comenzando con menos de 8 cuadraditos infectados. Cuando un cuadradito queda infectado queda pintado de negro y se infecta si y sólo si hay dos cuadraditos adyacentes infectados, entendiendo por adyacentes el de arriba, abajo, izquierda y derecha, pero no los que le tocan en un vértice. Un ejemplo en el que quedaría totalmente infectado es el siguiente, pero se han utilizado 8 cuadraditos infectados:
Disposición inicial

Disposición inicial

Paso 1

Paso 1

 

Encuentra algún ejemplo comenzando con 7 cuadraditos infectados o demuestra que es imposible.

 

Como siempre, dentro de un mes pondré las soluciones junto con las fuentes de las que estos problemas proceden.

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Pues sí. Adrián Paenza también ha sucumbido al mundo bloguero. Tengo que dar las gracias a Juan José Sosa y a su post “estadística y gripe A H1N1” por ser los responsables de que me enterara. Parece ser que Paenza comenzó sus primeros pasos como bloguero en el espacio “El Blog de Adrián Paenza” (un espacio abierto para el debate, el juego y el pensamiento) en marzo de este año. A continuación un extracto de lo que dice él mismo en su primer post, Bienvenidos:

Hola. Bienvenido al blog.

Confieso que no sé muy bien dónde me estoy metiendo. Muchos amigos me vienen sugiriendo desde hace tiempo que inaugure un blog, que escriba periódicamente, que interactúe con aquellos que están interesados en incorporarse al mundo de la matemática… o mejor dicho, al mundo del pensamiento. Eso, poder disfrutar de pensar, de tener en la cabeza algo que sea una suerte de desafío, que haya algún problema para resolver… y aprender –eventualmente- a frustrarse cuando uno no puede encontrar la solución. Pero intentarlo y disfrutar del camino.

Al principio, me resistí un poco porque yo creo que ya tengo una alta exposición en los medios y que agregar uno más terminaría por diluir mi capacidad para contribuir en algo, pero en realidad, advierto que esta es una posibilidad para abrir el juego, para que participen todos aquellos que quieran y que este lugar sea –nada menos- que un lugar de encuentro, un lugar para compartir ideas. Un espacio virtual en donde espero que nos podamos reunir periódicamente. Un lugar interactivo, dinámico, con la alternativa de proponer y ofrecer lo que uno ha pensado, pero también, en donde uno pueda disfrutar de lo que pensó otro. Y mejorarlo si es posible…

Fuente de la imagen: http://www.larepublica.com.uy

Fuente de la imagen: http://www.larepublica.com.uy

 

Y seguidamente el último problema propuesto. Espero que te aproveche:

Quiero plantearle un problema ideal para pensar después del de los quiebres de saque.

Veinticuatro alumnos de una universidad se anotan para tomar algún curso de historia: siete de ellos se anotaron para cursar Historia Argentina, otros ocho para cursar Historia Americana, y los restantes nueve para cursar Historia Europea.

Los alumnos no tienen permitido tomar más de un curso de Historia a la vez, pero cada vez que dos alumnos de distintos cursos de Historia se encuentran, abandonan sus respectivos cursos y se anotan en el tercero.

Por ejemplo, si se encuentran un alumno que cursa Historia Argentina con uno que cursa Historia Europea, ambos abandonan estos cursos y se anotan juntos en Historia Americana.

Si los únicos cambios de curso se dan a través de este mecanismo, ¿es posible que todos los alumnos terminen anotados en el mismo curso de Historia (no importa en cuál de los tres, pero todos en el mismo)?

(Si su respuesta es que “es posible”, debe mostrar en qué orden los alumnos deben ir cambiándose de curso. Si su repuesta es que “no es posible”, no alcanza con argumentar “yo no pude lograrlo”: hay que dar una demostración de que es absolutamente imposible, independientemente de cuáles alumnos se pudieran ir cambiando de curso ni en qué orden.)

Como siempre, lo/la invito a que se dé un tiempo para jugar con los números y hacer algunos  experimentos. ¿Qué pasa si primero se cambian de curso tales alumnos o qué si tales otros? Si todos terminan en el mismo curso, ¿cuántos alumnos deben estar cursando cada materia antes del último cambio de curso? ¿Y cuántos antes del anteúltimo cambio? ¿Hay algún patrón, alguna característica que las cantidades de alumnos de cada curso mantengan aun cuando los alumnos realicen uno o más cambios de curso?

Espero sus respuestas y comentarios.

 

Sí, yo también las espero, y sobre todo espero que te pases por el blog de Adrián que, como sus libros, no tiene ningún desperdicio.

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Pues vamos con ellos.

Soluciones de Falacias geométricas:

1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.

Falacia 1
2) Mira el contraejemplo de la figura:

Falacia_2

Soluciones de Problemas de áreas sombreadas


1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:

sol-area-sombreada-1

2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución. (más…)

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El problema que presento a continuación lo encontré en el libro “Matemática divertida y curiosa”, de Malba Tahan. Me gusta especialmente no sólo por el problema en sí, sino también por la historia verídica que le da sabor y que nos recuerda que los profesores de matemáticas y matemáticos no son semidioses que de una sola mirada son capaces de resolver problemas (otra cosa es que en las aulas parezca que es así, porque los docentes están cansados de repetir año tras año lo mismo). De igual manera, esta historia también enseña a los profesores a ser más pacientes con sus estudiantes y a comprender que ellos también fueron una vez estudiantes que muchas veces se encontraron perdidos entre números e ideas:

Cierta vez, hace ya algunos años, en ocasión de un congreso científico y al finalizar un almuerzo en el que se encontraban reunidos varios conocidos matemáticos, algunos de ellos ilustres y pertenecientes a diversas nacionalidades, Eduardo Lucas les anunció, inesperadamente, que les acercaría un problema de matemática, de los más difíciles.

-Supongo -comenzó el ilustre geómetra -, siendo, desgraciadamente, una simple suposición, que todos los días al mediodía, parte del puerto de Le Havre rumbo a Nueva York una nave y que, a la misma hora, un transatlántico de la misma compañía, parte de Nueva York hacia Le Havre. La travesía se realiza siempre en siete días, tanto en un sentido como en el otro. ¿Cuántas naves de dicha compañía, siguiendo la ruta opuesta, encuentran en su camino al transatlántico que parte de Le Havre al mediodía?

Nos cuenta Tahan que ninguno de los matemáticos presentes acertó la solución exacta y que algunos respondieron irreflexivamente, pero estoy segura de que tú puedes dar con ella, no es tan difícil (te aseguro que no se necesita ser matemático 🙂 ). ¿Podrías además dar una solución gráfica?

[Actualización]: soluciones

Fuente de la imagen: islakokotero.blogsome.com

Fuente de la imagen: islakokotero.blogsome.com

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Ayer en Gaussianos (creo que el blog no necesita presentación) propusieron un problema de área sombreada. El problema pide averiguar qué fracción del área del paralelogramo está sombreada (sí, no hace falta que te dejes los ojos: los hexágonos blancos son regulares).

area-sombreada-1

Ese problema me hizo recordar otro que aparece en el libro “¡Ajá!, Inspiración”, de Martin Gardner, y que a mí personalmente me gusta mucho. Primero un dibujo:

area-sombreada-2El problema consiste en averiguar el área de la corona circular. Para ello se da únicamente la longitud de la cuerda tangente al círculo interior (100 m). No hace falta matemáticas avanzadas ni fórmulas extrañas, aunque sí un alto grado de inspiración. Hay por lo menos dos formas de llegar al resultado (una más tramposa que la otra)

Y bueno, ya que estamos con áreas sombreadas y todo eso, ¿por qué no poner algunos problemas más?

3) En la siguiente página de la OMA (Olimpiada Matemática Argentina) se nos pide calcular el área de la zona sombreada sabiendo que el perímetro del triángulo es de 31 cm y tanto el radio de la circunferencia inscrita como los radios de los arcos de circunferencia miden 2 cm.

area-sombreada-3

4) Éste está sacado de una página de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y se nos pide calcular la proporción que guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS si M es un punto cualquiera de la diagonal.

area-sombreada-4

5) Hace tiempo en Acertijos y más cosas nos propusieron hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, ¿serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla?

area-sombreada-5

6) Y este último llega desde Problemas Matemáticos. Se trata de calcular el área sombreada en la figura, comprendida entre dos circunferencias tangentes interiores, sabiendo que su parte más ancha (diferencia entre los diámetros verticales, eje de simetría de la figura) mide 36 metros y la otra longitud, que se mide sobre el diámetro horizontal de la circunferencia mayor, mide 20 metros.

area-sombreada-6

Creo que por hoy ya es bastante. Si quieres más siempre puedes buscar en Internet. Seguro que te asombras de las figuras con sombras que encuentras.

[Actualización]: soluciones

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Vamos con ellas, que ando un poco retrasada:

Las de Problemas para malinterpretarse son:

  • 1) ¡Claro que el profesor Ardid puede deslizarse reptando… dentro de la habitación! ¿Habías pensado acaso que era dentro de la botella?
  • 2) ¡Hay que ver!… Sobre todo si eres del sexo femenino… porque la respuesta evidente es que jugaba el equipo femenino.
  • 3) En realidad es fácil ver que si corta el pelo a dos forasteros gana el doble que si corta el pelo a uno de la zona.
  • 4) Por ejemplo, sosteniendo la cerilla debajo de un vaso con agua.
  • 5) Se trataba de un “auto-cine”, donde los espectadores permanecen dentro de sus coches durante la proyección
  • 6) Antes de que comience el encuentro, el tanteo es siempre de 0 a 0.
  • 7) Simplemente, el loro era sordo
  • 8 ) Hundir el corcho en la botella, por ejemplo.

La solución de Apuradas piruetas entre piratas, al ser larga (y también porque ahora mismo no me apetece demasiado escribirla, seamos sinceros), la dejaré para una entrada posterior.

De Decirlo todo sin decir nada: dos acertijos tengo que agradecer la participación. Gracias a esta participación surgieron soluciones diferentes a las estipuladas de manos de da-beat y de email Galicia, y CaspolinoX dio con las dos más formales. Además, Enigmático (Jose) aderezó el post con sus variantes y contribuciones. Por ello creo que lo mejor es acercarse hasta los comentarios, y así me ahorro el escribir sobre lo que está muy bien explicado ya… Lo único mencionar las fuentes de las que saqué los problemillas, porque entonces no lo puse: para el primero me basé en La hoja volante nº 14; concretamente en esta página (la solución la puedes encontrar en la nº 15 en El acertijillo y si te apetece más, también le puedes echar una ojeada a El axioma de elección, donde aparece una variante que tiene que ver con este axioma). El segundo viene recogido en el libro ¡Disfruta con las mates!, de Miquel Capó Dolz.

Y creo que hasta aquí es todo por hoy. Si el navegante encuentra alguna errata o se me ha olvidado poner alguna solución siempre es bienvenida su contribución.

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