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Posts Tagged ‘Triángulo de Pascal’

Tanto el triángulo de Sierpinski como el triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi son bastante conocidos para cualquiera que haya visitado con deleite el mundo de las matemáticas. Quizá no sea tan conocido el nexo que une el primero con los otros dos. Eso es lo que intentaré mostrar en este post.

 

El triángulo de Sierpinski es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá. En la imagen puedes observar las primeras seis iteraciones:

triangulo-de-sierpinski

 

Este triángulo, como todos los fractales, tiene curiosas características. Sólo nos vamos a detener en el área, porque la vamos a necesitar para más tarde. Aunque en un primer momento parezca que no, es relativamente fácil calcularla sin más que fijarnos en lo que ocurre en las primeras etapas de la construcción y generalizar. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Después de la primera etapa hemos eliminado un triángulo con área ¼, así, nos quedamos con ¾. En la segunda etapa, nos quedamos con 9 triángulos de los doce que quedan (¾), es decir, el área es ahora de ¾ x ¾. Observando un poco podemos generalizar sin problema y llegar a la conclusión de que en la etapa n tendremos un área de (3/4)n y, por lo tanto, cuando n tiende a infinito, el área tiende a cero.

 

Pero, de la misma forma que pasa con cualquier espécimen, el mundo (en este caso el matemático) sería bastante aburrido si sólo existieran triángulos de Sierpinski, de ahí que haya surgido una generalización de ese triángulo. ¿Cómo? Sólo tenemos que dividir cada lado del triángulo inicial en k partes iguales y luego trazar paralelas a los lados para formar triángulos equiláteros del mismo tamaño. Luego eliminamos los triángulos que tienen un vértice mirando hacia abajo (para entendernos). Repetimos el mismo proceso con cada triángulo que nos ha quedado, y así una y otra vez. En el dibujo se muestra el triángulo obtenido en la segunda etapa con k = 5.

 

 Fractal Sierpinski 5

 

Ya estamos en condiciones de asomar la cabeza por el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi.

 

Sierpinski y Pascal

 

Primero, para el que no lo conozca, haré una breve descripción del Triángulo de Pascal. Es éste una disposición triángular (como no podía ser de otro modo) de números, cuyos lados derecho e izquierdo son todos números 1 y donde cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores, como se muestra en el dibujo.

 pascals-triangle-1

El Triángulo de Pascal tiene muchísimas propiedades interesantes (pero eso para otro post). Para lo que ahora tenemos entre manos sólo nos interesa reconocer qué números son pares y cuáles impares. Para ello ni siquiera es necesario saber qué números tenemos que colocar en cada casilla. Basta con saber que la suma de dos números impares o dos números pares siempre da un número par y que la suma de un número impar con uno par (y al revés, lógicamente) es siempre impar. Así, podemos pintar los números pares de nuestro triángulo de color blanco y los impares de negro. Entonces comenzamos pintando los laterales (que sabemos que valen 1) de negro. Luego sólo tenemos que colorear con cuidado de no equivocarnos (y si somos niños pequeños de no salirnos). El resultado es el siguiente (desde luego, esto sólo es una parte del triángulo, que se supone que puede tener infinitas filas): (más…)

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