Feeds:
Entradas
Comentarios

Posts Tagged ‘Triángulo de Sierpinski’

sketch05

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es/

Ayer escribí este post. Bien, pues el caso es que una mosca cojonera no paraba de molestarme en la mente. Esa mosca cojonera era la idea de que había leído en un libro de Ian Stewart un capítulo relacionado con este tema. El caso es que como ando en, por lo menos, dos mundos diferentes, y el libro lo tenía en el otro mundo, no pude confirmar mis sospechas hasta hoy… Y sí, ahí estaba él, esperando a que le echara una ojeada. Desde luego, lo primero que hice es releer el capítulo para comprobar que no había nada nuevo. El que está leyendo estas líneas seguramente sospecha, acertadamente, que sí que había algo digno de contar (o por lo menos que a mí me lo parece) y que “eso” va a aparecer aquí debajo. Aunque te cueste creerlo, el Triángulo de Sierpinski nos lo podemos encontrar todavía en otro paraje matemático diferente, pero dejemos a Stewart que hable:

Ron Menendez, de Chatman, Nueva Jersey, señaló otro ejemplo más del triángulo de Sierpinski. Dibuje tres puntos A, B y C en el plano en los vértices de un triángulo equilátero, y elija de forma aleatoria un punto de partida X en el plano. Escoja al azar uno de los vértices A, B o C, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 1/3. (Por ejemplo, lance un dado y establezca que 1 o 2 corresponden a A, 3 0 4 a B y 5 o 6 a C.) Encuentre el punto intermedio de la línea que une X con el vértice elegido: ésta es la nueva posición de X. Ahora repita, eligiendo siempre un vértice A, B o C de forma aleatoria y moviendo X al punto intermedio entre su posición actual y ese vértice. Aparte de unas cuantas posiciones iniciales en las que el paseo se <<asienta>>, ¡la nube de puntos resultante es un triángulo de Sierpinski!

Esto es bastante sorprendente dado su carácter aleatorio, pero la teoría de los fractales autosimilares del matemático Michael Barnsley lo explica. El triángulo de Sierpinski tiene tres esquinas A, B y C. Está construido a partir de tres copias de sí mismo, cada una de la mitad de su tamaño: esto es, se obtiene al reemplazar cada punto en el triángulo por el punto medio de la línea que lo une con A, con B, o con C. Esta característica del triángulo corresponde a las reglas para el paseo aleatorio. Barnsley ha demostrado que, con probabilidad 1, cualquier paseo aleatorio que siga las reglas <<converge>> con el triángulo, lo que significa que después de unos cuantos pasos cada punto que dibuje se encuentra muy cerca del triángulo.

Lo bonito de este ejemplo es que el triángulo emerge de forma bastante azarosa de una nube de puntos, en lugar de ser dibujado por partes.

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es

Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es

¡Casi se me olvida! El libro de Ian Stewart en el que aparece esto es “Cómo cortar un pastel”. No te olvides tampoco de echar un ojo a esta página de Eduteka si quieres trabajarlo en clase. Pincha aquí para acceder a un applet (requiere Java). Si te apetece buscar más información por tu cuenta te recomiendo que busques por “Juego del Caos”.

Anuncios

Read Full Post »

Tanto el triángulo de Sierpinski como el triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi son bastante conocidos para cualquiera que haya visitado con deleite el mundo de las matemáticas. Quizá no sea tan conocido el nexo que une el primero con los otros dos. Eso es lo que intentaré mostrar en este post.

 

El triángulo de Sierpinski es un fractal que surge de repetir el mismo proceso, hasta el infinito, a partir de un triángulo equilátero. El proceso consiste en dividir el triángulo de partida en 4 semejantes uniendo los puntos medios de los lados del triángulo inicial. Luego eliminamos el triángulo central y volvemos a repetir el proceso con cada uno de los otros triángulos equiláteros que nos han quedado. Así una y otra vez, y otra más, y otra, hasta el fin de los tiempos y más allá. En la imagen puedes observar las primeras seis iteraciones:

triangulo-de-sierpinski

 

Este triángulo, como todos los fractales, tiene curiosas características. Sólo nos vamos a detener en el área, porque la vamos a necesitar para más tarde. Aunque en un primer momento parezca que no, es relativamente fácil calcularla sin más que fijarnos en lo que ocurre en las primeras etapas de la construcción y generalizar. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Después de la primera etapa hemos eliminado un triángulo con área ¼, así, nos quedamos con ¾. En la segunda etapa, nos quedamos con 9 triángulos de los doce que quedan (¾), es decir, el área es ahora de ¾ x ¾. Observando un poco podemos generalizar sin problema y llegar a la conclusión de que en la etapa n tendremos un área de (3/4)n y, por lo tanto, cuando n tiende a infinito, el área tiende a cero.

 

Pero, de la misma forma que pasa con cualquier espécimen, el mundo (en este caso el matemático) sería bastante aburrido si sólo existieran triángulos de Sierpinski, de ahí que haya surgido una generalización de ese triángulo. ¿Cómo? Sólo tenemos que dividir cada lado del triángulo inicial en k partes iguales y luego trazar paralelas a los lados para formar triángulos equiláteros del mismo tamaño. Luego eliminamos los triángulos que tienen un vértice mirando hacia abajo (para entendernos). Repetimos el mismo proceso con cada triángulo que nos ha quedado, y así una y otra vez. En el dibujo se muestra el triángulo obtenido en la segunda etapa con k = 5.

 

 Fractal Sierpinski 5

 

Ya estamos en condiciones de asomar la cabeza por el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi.

 

Sierpinski y Pascal

 

Primero, para el que no lo conozca, haré una breve descripción del Triángulo de Pascal. Es éste una disposición triángular (como no podía ser de otro modo) de números, cuyos lados derecho e izquierdo son todos números 1 y donde cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores, como se muestra en el dibujo.

 pascals-triangle-1

El Triángulo de Pascal tiene muchísimas propiedades interesantes (pero eso para otro post). Para lo que ahora tenemos entre manos sólo nos interesa reconocer qué números son pares y cuáles impares. Para ello ni siquiera es necesario saber qué números tenemos que colocar en cada casilla. Basta con saber que la suma de dos números impares o dos números pares siempre da un número par y que la suma de un número impar con uno par (y al revés, lógicamente) es siempre impar. Así, podemos pintar los números pares de nuestro triángulo de color blanco y los impares de negro. Entonces comenzamos pintando los laterales (que sabemos que valen 1) de negro. Luego sólo tenemos que colorear con cuidado de no equivocarnos (y si somos niños pequeños de no salirnos). El resultado es el siguiente (desde luego, esto sólo es una parte del triángulo, que se supone que puede tener infinitas filas): (más…)

Read Full Post »

A %d blogueros les gusta esto: