Los fractales, esos “entes geométricos infinitos”, enamoraron mi mente desde la primera vez que los vi… y no sólo por el colorido y la hermosa estructura que resultaba de su más o menos precisa representación, sino también (y sobre todo) por el contenido matemático y las maravillosas ideas que le daban vida. ¿Quién habría pensado alguna vez que “existiera” un “bicho” de dimensión fraccionaria, por ejemplo? ¿Cómo es posible que realizando un mismo proceso sencillo infinitas veces nos resulte algo aparentemente tan complejo como un fractal? Es realmente hermosa esta unión de complejidad y sencillez… Lo sé, en la naturaleza también se da esta mezcla, y por eso los fractales nos los encontramos en la misma (esto es mucho decir, pero igualmente es cierto que en el mundo real no existen las circunferencias o los círculos y sin embargo hacemos como si existieran).
Pero, ¿qué es un fractal? Más o menos ya lo he dicho con mis anteriores palabras. Un fractal es una estructura geométrica resultante de la iteración (repetición) infinita de un proceso geométrico simple y bien especificado, que le suele dar un aspecto final de gran complejidad. Una de las características de los fractales es la autosemejanza: si escogemos cuidadosamente una parte del mismo, obtendremos nuevamente el fractal de partida, aunque en tamaño más pequeño.
Quizá esto se entienda mejor con un ejemplo. Cojamos un segmento de longitud 1 y dividámoslo en tres partes iguales. Ahora retiramos la del medio y nos quedamos con los extremos (al contrario de lo que deberíamos hacer en la vida cotidiana). Volvemos a repetir el proceso (eh aquí la iteración de la que hablábamos) en cada uno de los dos segmentos, de longitud 1/3, que nos han quedado. Luego realizamos nuevamente el mismo procedimiento en los 4 segmentos que tenemos… y así hasta el infinito. En este caso no podemos hablar de un fractal hermoso y colorido… porque aparentemente, para un ojo humano, el resultado es el mismo que si no hubiéramos hecho nada (aunque en realidad nos queda un conjunto de puntos con muchos agujeros). A este fractal lo denominamos conjunto de Cantor… Es curioso que, a pesar de tener longitud nula, tenga tantos puntos como el espacio tridimensional. Pero con los fractales ocurren estas cosas.
Por Internet hay infinidad de imágenes de fractales que el lector-investigador puede buscar sin mucha dificultad. Lo que quiero mostrar hoy en este post es otra cosa: un ejemplo de «poesía fractal». Vamos, un fractal construido con palabras. No es que sea exactamente un fractal, claro, pero seguro que el atento lector sabrá deducir qué relación tienen las siguientes palabras con dicho ente geométrico. La versión original está en inglés (hago una traducción bastante chapucera después. Agradezco cualquier aportación para su mejora) y la escribió Dane R. Camp. La encontré en el número 2 del volumen 30 de la “Journal of Recreational Mathematics” (1999-2000), páginas 83-86. Está basada en el clásico cuento para niños «El Gato Garabato» (The Cat in the Hat en inglés), del Dr. Seuss. Pues adelante:
The Cat in the Hat came back again
again The Cat in the Hat came back…
It all started this morning
as I worked at school
half heartedly on fractions
at my favorite stool.
Mr. Snyde our math teacher
had been out all week
and each fresh replacement
had left with a shriek.
Then all of a sudden
the new sub walked in
He look real familiar
and said with a grin,
“Forget about fractions
they’re way too confusing,
the study of fractals
is much more amusing.”
But before he got started
I spoke with a hiss,
“When am I ever
gonna use this?”
The Cat in the Hat
then pulled out a chart,
pictures, and vegetables
and thick books on art,
magnets, a lap top,
and oh so much more,
and I thought to myself,
“What could all this be for?”.
A smile crossed his lips
and he said, “Yes, it’s clear
that you can find fractals
almost everywhere!”
I pleaded, “Oh tell me
please tell me will you,
what is a fractal
and what does it do?”
“A fractal is something special,” said he,
“that contains itself indefinitely
with tiny little copies that have inside’m
still tinier copies-ad infinitum!”
“If you’ll allow me I’ll give you a sample
for instance a tree is affine example.”
“In nature fractals show their power
in ferns, bushes and broccoliflower,
cracks in the mud or meandering forms,
like rivers and lightning in thunderstorms.”
“And your body’s full of fractal trees
which wander inside you as muchs as they please
like blood and the oxigen it carries
from the arteries to the capillaries
and the structure of the lungs belie
branches from bronchia to alveoli.”
“In math, of course, fractals abound
through function composition’s found
Julica, Cantor, and Mandelbrot sets,
snowflakes, carpets, and holey gaskets.”
“Fractal behavior is even revealed
in the attractive power of magnetic fields,
flood cycles, stock markets,
and the patterns of growth in aggregates.”
“One can find a fractal structure
In African art and architecture,
Escher’s drawings which iterate,
and mandalas on which to mediate,
Perhaps in Frank Lloyd Wright-you bet!
And Shakespeare’s plays like Ham-e-let
celtic symbols, and mythology
ancient philosophers and cosmology,
aqueducts, music and designer clothes
by Jhane Barnes and heaven knows
In poetry you need a fractal
to rhyme with words like pterodactyl
and there are poems which are designed
to be like fractals-intertwined.
And fractal structure can be found
in organizations that are sound…
The Cat went on and on and on
and on and on and on
And after he had said it all
he handed me a Russian Doll.
He said, “Here’s a matryoshka
to help you know
what fractals are
now you can go!”
I got home and opened the doll
to one by one remove them all
but always found another one-
It looked like I’d never be done!
My mom came in and asked me why,
and this was my exact reply,
“It all started this morning
as I worked at school
half heartedly on fractions
at my favorite stool…
El Gato Garabato regresa otra vez
otra vez El Gato Garabato regresa…
Todo comenzó esta mañana
cuando estudiaba en la escuela
sin ganas, fracciones
en mi silla favorita
Mr. Snyde, nuestro profesor de matemáticas,
había estado fuera toda la semana
y cada nuevo suplente
había salido con un grito
Entonces de repente
el nuevo suplente tropezó
lo que era muy familiar
y dijo con una mueca,
“Olvidad las fracciones
son demasiado confusas,
el estudio de los fractales
es mucho más divertido”.
Pero antes de que empezara
yo hablé con un siseo
¿Cuándo voy
a usar esto?
El Gato Garabato
luego sacó un gráfico,
cuadros, y verduras
y densos libros de arte,
imanes, un laptop,
y oh, mucho más,
y yo pensé
¿Qué puede ser todo esto?
Una sonrisa cruzó sus labios
y él dijo, “Sí, está claro
que puedes encontrar los fractales
casi en todas partes”
Yo rogué, “Oh dime
por favor dime,
¿qué es un fractal
y qué hace?”
“Un fractal es algo especial,”, dijo él,
“que contiene en sí mismo indefinidamente
pequeñas copias que tienen dentro
aún copias más pequeñas hasta el infinito”
“Si me lo permites te voy a dar una muestra
por ejemplo un árbol es un afín ejemplo”
“En la naturaleza los fractales muestran su poder
en helechos, arbustos y broccolis,
en grietas en el barro o en las formas serpenteantes,
como ríos y relámpagos en las tormentas.”
“Y tu cuerpo está lleno de árboles fractales
que vagan dentro de ti tanto como ellos quieren
como la sangre y el oxígeno que lleva
desde las arterias a los capilares
y la estructura de los pulmones parecen
ramas desde los bronquios hasta los alveolos”.
En mates, por supuesto, los fractales abundan
mediante composición de funciones creadas
conjuntos de Julia, Cantor, y Mandelbrot,
copos de nieve, alfombras, y juntas agujereadas.
El comportamiento fractal es incluso revelado
en el poder de atracción de los campos magnéticos,
ciclos de inundación, el mercado bursátil,
y los patrones de crecimiento en agregados.
“Uno puede encontrar una estructura fractal
en el arte y arquitectura africanos,
en los dibujos de Escher con iteraciones,
en mandalas,
Quizás en Frank Lloyd Wright-¡puedes estar seguro!
Y en los juegos de Shakespeare como en Hamlet
en símbolos celtas, y en la mitología,
en antiguos filósofos y en la cosmología,
acueductos, en la música y en la ropa de diseño
de Jhane Barnes y sólo el cielo sabe
En la poesía necesitas un fractal
para rimar con palabras como pterodáctilo (pterodactyl)
y hay poemas que tienen por objeto
ser como fractales entrelazados.
Y la estructura fractal puede ser encontrada
en organizaciones que son sólidas.
El Gato fue y sigue y sige
y sigue y sigue y sigue
Y después de haber dicho todo
me entregó una muñeca rusa.
Dijo, “Aquí hay una matrioska
para ayudarte a conocer
qué son los fractales,
ahora te puedes ir”
Fui a casa y abrí la muñeca
una por una quité todas
pero siempre encontraba otra
parecía como si nunca lo hubiera hecho
Mi madre entró y me preguntó por qué,
y ésta fue mi respuesta exacta,
“Todo comenzó esta mañana
cuando estudiaba en la escuela
sin ganas, fracciones
en mi silla favorita…
Por cierto, ¿alguien se atreve a hacer una versión en Español?
Para el que quiera más, aquí y aquí artículos sobre la literatura fractal y aquí un pdf (en inglés) sobre los fractales en la literatura de Shakespeare.
Muy bueno Sara,
A mí también me fascinan los fractales. Hace ya algunos años que trabajé con ellos y a comienzos de este año hice una entrada sobre música fractal: http://evamate.blogspot.com/2009/02/musica-fractal-ii.html (tal vez, ya la hayas visto)
Pero no conocía la literatura fractal. Es realmente una buena entrada. Gracias. Luego diran que las letras y las ciencias no tienen nada que ver.
Además dentro de poco sacaré una entrada donde estoy recopilando los vídeos de youtube con fractales que más me gustan. Supongo que también lo conocerás.
Un saludo.
Eva M
Sí había visto el post que me comentas, pero no me acordé 😦 . Los vídeos de youtube… conoceré algunos (o igual no), que no soy una enciclopedia (por suerte) 🙂 . A ver cuándo la haces (la entrada) que ya estoy deseando verla.
A esta entrada (a la mía, me refiero) lo que le falta es una variante en español, porque traducir un poema en inglés no queda muy bien, pero bueno, confío en que alguien se anime.
Dos salu2
¡Pero qué bien escribes! Hace tiempo que no visitaba tu blog. Enhorabuena.
Gracias, Chiti 🙂
Sara:
Eres genial. Hace mucho que no leía nada referente a fractales. Tú escrito me ha entusiasmado. Gracias.
Hola, Jaime (o jemcalama, como prefieras). Perdona por la tardanza en contestarte. Últimamente estoy un poco desconectada de este mundo cibernético. Gracias por tus palabras. He pasado por tu web y me ha parecido bastante interesante también. Es una pena que no tengas un blog (porque no lo tienes, ¿no?) 🙂
Saludos.
Hola Sara!, pero que fantastico blog!, estoy fascinado, es super original, y los temas que abordas estas muy muy interesantes.
De ahora en mas sere un lector mas, quizas leyendote vuelva a encenderse mi lamparita, que ultimamente esta media apagada jejejeje pero pronto cuando se vaya el frio de la Argentina volvere a escribir.
Abrazo enorme, a la distancia.
Juan.
¿eres profesora de matematica no?
Hola, Juan Jose. Gracias por tus palabras. De todas formas tu blog no tiene nada que envidiar. A mí me encanta, sino no lo leería 🙂 . Y sí, a ver si escribes un poco más, aunque ahora mismo no tengo nada que reprocharte porque yo me he tomado unas vacaciones y tampoco escribo (aquí de frío nada. Más bien ganas de estar todo el día en la piscina y la playa para quitarse un poco los calores).
En cuanto a lo de «profe» de matemáticas… Depende de como se mire. Hace un año que terminé los estudios de Magisterio de Educación Física (sirven para dar clase de Educación Física a los chicos y chicas de Primaria, de 6 a 12 años). En la carrera pocas matemáticas (y didáctica de las matemáticas) he visto, aunque este blog surgió gracias al empujón de la profesora (Chiti, que comentó un poco más arriba) que nos impartió una de esas asignaturas (Tecnología en la Educación Matemática).
A pesar de que mi especialidad es la Educación Física, me he dado cuenta de que lo que me gustaría impartir realmente es Matemáticas, de ahí que me esté planteando el seguir estudiando para poder dentro de pocos (espero) años poder ayudar a los estudiantes de Secundaria a que aprendan matemáticas… Además, ahora mismo doy clases particulares de matemáticas. Si eso es ser profesora de matemáticas, entonces sí lo soy. Todo depende de cómo se mire. Si quieres saber algo más siempre puedes leer el «sobre mí», aunque está un poco desfasado.
Gracias por pasarte por aquí y un abrazo igualmente.
Seguimos en contacto; saludos desde España.
Me encantó lo que espucistes,la verdad que me viene justo porque estoy haciendo un proyecto de investigación para el profesorado de matemáticas en fractales.Si podes facilitarme otras cosas que conozcas me van a ayudar mucho;la verdad que dudaba si seguir pero me aclarastes un montón de cosas …Gracias.
Hola, Alejandra. Te he intentado enviar las siguientes palabras pero parece ser que la dirección de correo no es correcta porque me devuelve el mensaje:
Pues eso. Duraré en responderte. Preferiría hacerlo por e-mail antes que por aquí si me puedes falicitar una dirección de correo buena. Si no te respondo por aquí.
Saludos nuevamente y nos vemos.
Hola, Alejandra. Perdona que te responda tan tarde. Esto es lo que a mí se me ocurre:
-Papiroflexia fractal. Aquí tienes una página interesante al respecto
-Dos artículos de Eva M sobre música fractal y diversos vídeos interesantes.
-Relación del Triángulo de Sierpinski con el Triángulo de Pascal y las Torres de Hanoi. Acabo de publicar este post al respecto.
-Artículos de la Revista Suma, como éste, éste y éste. No te enlazo más porque el resto no se pueden descargar. Mira tú si te interesa algún otro.
-Las antenas fractales. Te dejo a ti que busques información al respecto.
-La curiosa relación entre el área de un fractal y las pinturas creadas por Pollock. En Genciencia publicaron hace tiempo este post al respecto, pero te recomiendo también que leas el libro de donde se sacó (Pasiones, piojos, dioses y… matemáticas, de Antonio J. Durán, que, lógicamente, es más completo.
Y eso es todo. Si me viene algo nuevo te lo digo, pero no creo. A ver si alguien se anima a añadir algo nuevo.
Medio en broma, medio en serio: También hay sociopolítica fractal. El progresismo es una ideología-religión fractal formada pr subideologías que mantienen la propiedad de la autosemejanza: el cientifismo, la democracia de sufragio universal, etc.
¡Sociopolítica fractal! Lo que me faltaba por oír 🙂 . No me va mucho la sociopolítica ni nada de eso, pero es interesante eso de la sociopolítica fractal que te has inventado. Quién sabe, igual dentro de unos años nos encontramos miles de páginas hablando de este nuevo concepto :).
Gracias por tu comentario.
hola esta super exelente tu blog
la verdad no tenia ni idea que eran los fractales
pero me encanto la forma en que escribes
seguire visitando tu blog
gracias por aclarar mis inquietudes..
buen dia!
Estupendo post y comentarios en la línea. Buen viaje
Gracias any y Chiti.
Respondo nuevamente a Alejandra, aunque no sé si andará por ahí. Hace unos días Eva M escribió este artículo que igual te interesa.
Salu2
[…] Para el que quiera más, aquí y aquí artículos sobre la literatura fractal y aquí un pdf (en inglés) sobre los fractales en la literatura de Shakespeare. rerefencias […]
[…] Los fractales y el Gato Garabato « matemaTICs. […]
Grande Garabato!