Después de que Adrián Paenza abandonara su blog me había quedado con un regusto amargo. ¡Por suerte ya podemos disfrutar de un nuevo libro suyo! El quinto de la serie, con el inconfundible toque de Paenza, y, como siempre, te lo puedes descargar gratuitamente. A continuación te muestro uno de los problemas de este libro, “Matemática… ¿estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias”, para que se te vaya abriendo el apetito:
Supongamos que tenemos un círculo de 10 centímetros de diámetro. Dentro de él, marcamos 2 millones de puntos. Convénzase (y convénzame) de que, no importa cómo estén distribuidos esos puntos, siempre se puede trazar una recta que deje 1 millón de puntos de un lado y 1 millón de puntos del otro.
Desde luego, te reto a que encuentres una solución sin mirar el libro y a que la dejes en comentarios.
Por cierto, por si no conoces el resto de libros de Adrián Paenza, a continuación te dejo los enlaces:
- Matemática… ¿Estás Ahí?
- Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 2
- Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 3.14
- Matemática… ¿Estás Ahí? Episodio 100
¿Qué haces todavía aquí? ¡El libro de Adrián te espera!
[…] } En el blog MatemaTICS me entero de la nueva publicación (libro) del matemático Adrián Paenza, el que es muy conocido […]
El círculo es una figura simétrica por todas partes, una linea que represente su diámetro puede ser colocada en un infinito número de maneras, por esto, se puede colocar en el sitio exacto en el que divida a los putos en un millón y un millón
eso no es necesariamente cierto, que tal que uno de los puntos está exactamente en el centro del círculo? pero de cualquier forma creo que por ahí va la respuesta, piensalo así:
Existe un infinito número de secantes que pueden formar dos puntos cualquiera, y si tomas un punto al azar y formas secantes contra todos los puntos que conforman la circunferencia, en algún momento habrás dividido a los puntos en mitad y mitad : )
Eso puede parecer así, pero no tiene por qué. También hay infinitos naturales, y eso no quiere decir que sumando algunos de ellos puedas conseguir un número negativo (desde luego, no es el mejor ejemplo, pero ahora mismo no se me ocurre otro)… ¿Por qué puedes afirmar que porque haya infinitas secantes en algún momento habrás dividido a los puntos en mitad y mitad?
Hay que tener mucho cuidado con lo que nos dice la intuición, sobre todo cuando metemos el infinito por medio, así que, por lo menos a mí, la «demostración» no me convence. Ahora bien, te animo a seguir buscando; no vas mal encaminado.
Gracias por tu participación.
Dejame expresar el cómo obtener la recta en forma de algoritmo, a ver si le di al clavo:
1.- Tomamos un punto arbitrario (llamemoslo P) en nuestra circunferencia con dos milones de puntos dentro.
2.- Trazamos una recta que pase por P y cada uno de los dos millones de puntos
3.- Numeramos consecutivamente cada una de las rectas
4.- Trazamos una recta en medio de las rectas un millon y un millon uno
luego, si más de un punto de los dos millones están en una sola recta, o hacemos el ajuste de entre que rectas hacemos la que los dividirá en millon y millon, o escojemos un punto P en el que no exista este problema
¡Eso está mejor! Aún así creo que hay todavía ciertas imprecisiones. Igual me equivoco, pero te explico lo que pienso:
Dices en el punto 3 que «numeramos consecutivamente cada una de las rectas» y en el punto 4 que «trazamos una recta en medio de las rectas un millon y un millon uno». Pues bien, prueba a hacer eso mismo con 4 puntos, que es más sencillo, y te darás cuenta de que teniendo en cuenta esas premisas hay situaciones en las que la recta trazada no deja la mitad de los puntos a un lado y la otra mitad al otro.
De todas formas van por ahí los tiros… La demostración está ya más cerca.
Aún así, en la demostración de Diego creo que se comete un fallo: si seleccionamos un punto P, ya no quedan dos millones de puntos, sino 1.999.999. Igualmente, encuentro el mismo problema que Sara en la demostración.
Aunque hubiera preferido no leer los comentarios para que no me influyeran, no he podido resistirme.
Aunque no tengo muchos conocimientos sobre topología o geometría topológica (campo al que creo que pertenece este problema), creo que es fácil deducir (aunque no demostrar) por inducción (empezando por ejemplos con menos puntos) que siempre que se trabaje con un número par de puntos en el plano se puede trazar una recta que deje la mitad de los puntos a un lado y la otra mitad al otro.
Yo lo he conseguido hacer con números pares de puntos, 2, 4, 6, 8, 16, etc. y la distribución puede ser de tres formas:
a) que formen un polígono convexo
b) que estén alineados
c) que formen un polígono cóncavo (se puede considerar como un polígono convexo con una nube de puntos dentro, que a su vez formen más polígonos convexos de forma recurrente: para ello, trazamos circunferencias concéntricas a la de 10 cm. que contiene a los puntos y con radio la distancia entre el centro del origen y el punto más lejano). De esta forma, podemos construir recurrentemente polígonos con número par de lados de mayor a menor tamaño que estén contenidos unos en otros. Cualquier polígono convexo con número par de lados se puede dividir de tal forma que la mitad de sus vértices queden a un lado y la otra mitad al otro.
Incluso si llegáramos a un conflicto con el algoritmo, como encontrar una circunferencia concéntrica con un radio «a» que pase por un número (2n+1) impar de puntos, podríamos considerar un punto interior al polígono formado y encontrar una recta que deje a un lado n vértices del polígono y el interior al polígono convexo(en total n+1), y al otro lado los n+1 vértices restantes del polígono. Este método lo he comprobado, ya digo, con números relativamente pequeños, pero pienso que el razonamiento es extensible a casos más complejos.
Bueno, ya digo que no tengo experiencia en estos problemas, pero, aunque a mí, personalmente, no me convence del todo mi propia demostración, al no encontrarle fallos, tampoco la descarto como válida.
No obstante, estoy abierto a más comentarios, correcciones y sugerencias.
Hola, Íñigo
Me alegro de que te hayas pasado por aquí.
Vayamos ahora con lo que propones.
Primero quiero matizar que creo que Diego con el punto P se refería a un punto diferente de los dos millones que ya estaban escogidos (de todas formas que lo confirme o lo refute él si anda por ahí).
Segundo, te comento algunas cosas de tu «demostración» (permíteme que de momento lo ponga entre comillas, hasta que se resuelvan algunas dudas 😉 )… Me ha parecido interesante tu forma de abordarlo. La demostración que muestra Paenza va por otro camino bastante diferente, pero quién sabe lo que puede salir de aquí. Estaría genial encontrar otra demostración alternativa (y aunque parezca que hay que tener conocimientos de Topología te aseguro que no hace falta. Si fuera así no lo habría propuesto)… Te hago dos apreciaciones:
-Dices que: «Cualquier polígono convexo con número par de lados se puede dividir de tal forma que la mitad de sus vértices queden a un lado y la otra mitad al otro». ¿Puedes demostrarlo de alguna manera? Es más, puede que esa demostración (que creo que es más sencilla que para la circunferencia) te pueda dar una pista para resolver luego el problema.
-Si he entendido bien el asunto de los polígonos cóncavos (y suponiendo ya que es cierto que podemos dividir el polígono convexo en mitad de vértices para un lado y mitad para el otro) me surge otra duda: es cierto que igual podemos dividir diferentes polígonos convexos en «mitad y mitad», pero eso no quiere decir que se pueda dividir con la misma recta varios polígonos convexos introducidos unos dentro de otros.
Bueno, ya por último te animo a explicarme estos puntos (y así dar por concluida la demostración) y/o a seguir buscando.
Gracias por el comentario y bienvenido al blog.