Fuente de la imagen: http://www.dmae.upm.es/
Ayer escribí este post. Bien, pues el caso es que una mosca cojonera no paraba de molestarme en la mente. Esa mosca cojonera era la idea de que había leído en un libro de Ian Stewart un capítulo relacionado con este tema. El caso es que como ando en, por lo menos, dos mundos diferentes, y el libro lo tenía en el otro mundo, no pude confirmar mis sospechas hasta hoy… Y sí, ahí estaba él, esperando a que le echara una ojeada. Desde luego, lo primero que hice es releer el capítulo para comprobar que no había nada nuevo. El que está leyendo estas líneas seguramente sospecha, acertadamente, que sí que había algo digno de contar (o por lo menos que a mí me lo parece) y que “eso” va a aparecer aquí debajo. Aunque te cueste creerlo, el Triángulo de Sierpinski nos lo podemos encontrar todavía en otro paraje matemático diferente, pero dejemos a Stewart que hable:
Ron Menendez, de Chatman, Nueva Jersey, señaló otro ejemplo más del triángulo de Sierpinski. Dibuje tres puntos A, B y C en el plano en los vértices de un triángulo equilátero, y elija de forma aleatoria un punto de partida X en el plano. Escoja al azar uno de los vértices A, B o C, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 1/3. (Por ejemplo, lance un dado y establezca que 1 o 2 corresponden a A, 3 0 4 a B y 5 o 6 a C.) Encuentre el punto intermedio de la línea que une X con el vértice elegido: ésta es la nueva posición de X. Ahora repita, eligiendo siempre un vértice A, B o C de forma aleatoria y moviendo X al punto intermedio entre su posición actual y ese vértice. Aparte de unas cuantas posiciones iniciales en las que el paseo se <<asienta>>, ¡la nube de puntos resultante es un triángulo de Sierpinski!
Esto es bastante sorprendente dado su carácter aleatorio, pero la teoría de los fractales autosimilares del matemático Michael Barnsley lo explica. El triángulo de Sierpinski tiene tres esquinas A, B y C. Está construido a partir de tres copias de sí mismo, cada una de la mitad de su tamaño: esto es, se obtiene al reemplazar cada punto en el triángulo por el punto medio de la línea que lo une con A, con B, o con C. Esta característica del triángulo corresponde a las reglas para el paseo aleatorio. Barnsley ha demostrado que, con probabilidad 1, cualquier paseo aleatorio que siga las reglas <<converge>> con el triángulo, lo que significa que después de unos cuantos pasos cada punto que dibuje se encuentra muy cerca del triángulo.
Lo bonito de este ejemplo es que el triángulo emerge de forma bastante azarosa de una nube de puntos, en lugar de ser dibujado por partes.
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¡Casi se me olvida! El libro de Ian Stewart en el que aparece esto es “Cómo cortar un pastel”. No te olvides tampoco de echar un ojo a esta página de Eduteka si quieres trabajarlo en clase. Pincha aquí para acceder a un applet (requiere Java). Si te apetece buscar más información por tu cuenta te recomiendo que busques por «Juego del Caos».
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