Mucho se ha hablado y se habla en el ámbito de la educación matemática, quizá desde el empujón que Pólya dio, de la resolución de problemas, de que los estudiantes aprendan a introducirse en el mundo matemático y en el quehacer propio de un matemático. Con la resolución de problemas se pretende que el estudiante se haga con todas las herramientas necesarias (contenidos relacionados, estrategias…) para intentar llegar a una solución (o a varias) de un determinado problema del que a simple vista no se sabe cómo abordarlo. Esto es lo que lo distingue de un mero ejercicio: hay que hacer uso de todo tipo de recursos para llegar a buen puerto, un puerto del que sólo conocemos su nombre, pero nada de cómo acercarnos hasta él.
Quizá menos se ha hablado de otro aspecto muy importante, desde mi punto de vista, del quehacer matemático: el planteamiento de problemas propios, la búsqueda de patrones y regularidades y la posterior demostración (1). Está muy bien resolver problemas matemáticos; a mí es algo que me ha llegado a apasionar, pero esos problemas, sino todas, la mayoría de las veces han sido inventados por otros. Sin embargo poco sé de cómo crear problemas propios y admiro mucho a esas personas que sí saben. Creo que la invención de problemas, el encontrar patrones… es ir un paso más allá de la mera resolución de problemas. Este aspecto es el que pretendo tratar en el post, y para ello hago uso de un recurso que puede parecer muy tonto a simple vista, pero como lo que se ve a simple vista no suele coincidir con lo que es, invito al que está leyendo estas letras a que le dé una oportunidad a la centena cuadriculada, esa que le mira suplicante justo desde debajo de estas líneas.
Sí, una tabla 10×10 con los números del 1 al 100 parece algo tan simplón que por lo menos nos invita a dudar de su eficacia. Sin embargo, es un recurso tan “maleable” que nos permite trabajar y hacer matemáticas tanto con estudiantes de infantil como con los de educación superior. Por si al lector todavía le quedan dudas, esta tabla es protagonista en la páginas números 96-97 (en el estándar de Álgebra(2) de la etapa Pre-K-2, que se corresponde con infantil y primer ciclo de primaria aquí en España) y en la 127 (en el estándar de Razonamiento y Demostración de la misma etapa) del libro de “obligada” lectura (o por lo menos consulta) para cualquier docente de las matemáticas: “Principios y Estándares para la Educación Matemática” del NCTM. Veamos las alabanzas que se hacen de ella en las mencionadas páginas:
Contar a saltos con diferentes números, sobre cuadrículas numeradas del 1 al 100, permite crear una variedad de patrones que los alumnos pueden reconocer y describir con facilidad.
Simultáneamente, los profesores pueden utilizar estas cuadrículas para ayudarles a aprender acerca de los patrones numéricos y evaluar su comprensión de los patrones de conteo. Los profesores pueden darse cuenta de si los alumnos comprenden la correspondencia entre el patrón visual formado por los números coloreados y el patrón de conteo, formulando preguntas como las siguientes: Si cuentas de 10 en 10, empezando en 36, ¿cuál es el próximo número que debes colorear? Si continúas contando de 10 en 10, ¿tendrás que colorear el 87? Usar una calculadora y un cuadriculado del 1 al 100, capacita a los alumnos para ver el mismo patrón en dos formatos diferentes.(3)
Encontrar patrones en un tablero de cien casillas permite a los alumnos relacionar los patrones visuales con los numéricos, y formular e investigar conjeturas. Los profesores extienden el pensamiento de los alumnos explorando más allá de sus observaciones iniciales. Éstos describen con frecuencia los cambios en los números o los patrones visuales, a medida que se desplazan hacia abajo por las columnas o a través de las filas. Por ejemplo, si se les pide que coloreen los números de tres en tres, empezando en el 3, es probable que todos no vean el mismo patrón: “Unas filas tienen tres y otras cuatro” o “el patrón va lateralmente a la izquierda”. Algunos alumnos, observadno las diagonales, no seguirán contando de tres en tres para completar la tarea. Los profesores necesitan pedir a estos alumnos que expliquen a sus compañeros cómo saben colorear sin contar. También pueden ampliar el razonamiento matemático de sus alumnos proponiéndoles nuevas cuestiones y pidiéndoles que argumenten sus respuestas. “Encontraste patrones al contar de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de diez en diez en el tablero. ¿Crees que habrá patrones si cuentas de seis en seis, de siete en siete, de ocho en ocho o de nueve en nueve? ¿Qué pasará si lo haces de once en once, de doce en doce o con cualquier otro número? Los alumnos podrían ampliar sus exploraciones de estos y otros patrones numéricos más allá del 100.
Pero no sólo la ya conocida tabla puede ayudarnos a crear buenas prácticas en Infantil. Una tesis realizada en la Universidad de Granada, a la que me habría gustado echar una ojeada, tiene por nombre: “La Tabla-100. Representaciones geométricas de relaciones numéricas. Un estudio con profesores de primaria en formación.” Una pena conocer únicamente el título. Espero que el lector pueda hacerse con ella si le interesa el tema.
Finalmente, un artículo muy interesante es “Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el tránsito de la Aritmética al Álgebra”, publicado en el nº 42 (2003) de Suma. El artículo se basa en una experiencia con este recurso llevada a cabo con un grupo de estudiantes para profesor de secundaria. En él se nos acercan las habilidades que se pueden desarrollar con estos 100 números:
- Reconocer y describir patrones numéricos
- Usar variables para expresar relaciones matemáticas
- Formular y probar conjeturas
- Comunicar ideas matemáticas
Y éstas son las tareas que se les propusieron a los estudiantes:
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Explorar las centenas cuadriculadas y señalar algunos usos que pueda dárseles.
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Trabajando por parejas, desarrollar las actividades que se indican en cada una de las hojas que contienen una centena cuadriculada.
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Trabajando en parejas, construir otras versiones de centenas cuadriculadas e identificar en ellas patrones numéricos (si es que hay alguno)
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Reunidos en grupo total, compartir ideas, discutir hallazgos, y resolver diferencias de opinión, si es que hay alguna.
Entre las actividades que se incluían en el punto 2 se encuentra:
- Señalar la mayor cantidad de nociones matemáticas que observaban en la centena cuadriculada.
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Tratar de establecer alguna relación entre el número incluido en una celdilla cualquiera y la posición de ésta dentro de la centena cuadriculada. Buscar una notación adecuada.
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En esta figura se ha dibujado un cuadrado alrededor del 12; esta figura será llamada cuadrado de cuatro puntos alrededor de 12 porque como vértices tiene los cuatro números, 2, 13, 22, y 11, y como centro tiene al número 12. Dibuje y denomine otros cuadrados de cuatro puntos. ¿Cuál es la relación existente entre los vértices y el centro? Elabore una conjetura y trate de demostrarla.
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A partir de aquí los estudiantes fueron invitados a que exploraran la centena cuadriculada y formularan conjeturas en la búsqueda de nuevas relaciones algebraicas existentes entre sus elementos.
En el artículo aparecen también unas cuantas conjeturas hechas por los estudiantes y sus respectivas demostraciones rigurosas. Muy interesantes, por cierto… En un principio pensé en poner en este post algunas junto con otras que la que escribe descubrió, pero he preferido dejar este territorio puro para que la lectora, lector no se vea contaminado por las carreteras y autopistas demasiado recorridas y pueda descubrir nuevos o viejos caminos por ella misma o él mismo. Me gustaría mucho que estas palabras fueran enriquecidas con un montón de comentarios con conjeturas y demostraciones. Con un poco que investigue, el que lee esto se dará cuenta de la potencia como recurso de la centena cuadriculada(4).
¿Y qué utilidad le podemos dar a este recurso en Primaria y Secundaria? Creo que no es difícil llegar a la conclusión de que se pueden realizar las mismas actividades que se les propusieron a estos aspirantes para profesor pero siendo menos rigurosos en las demostraciones y en la notación utilizada. Lo bueno de ser una actividad tan abierta es esa: nos permite trabajar con chicos y no tan chicos de múltiples edades.
Ahora, ya sabes, es tu turno. Dentro de un mes más o menos (ya saben mis lectores asiduos que no suelo cumplir muy bien los plazos) escribiré un nuevo post en el que se presenten algunas de las conjeturas y demostraciones que aparecen en el artículo y que aparecerán (espero) en comentarios.
Ya por último me gustaría mostrar otros dos tipos de centena cuadriculada de los muchos que hay (el límite sólo viene impuesto por el mayor o menor grado de imaginación):
[Actualización]: Conjeturas y demostraciones en la Centena Cuadriculada.
Notas:
1) Es cierto que este aspecto se puede tratar de alguna manera dentro de la resolución de problemas: una vez resuelto el problema se pueden buscar e inventar otros afines. De todas formas me da la sensación, aunque ojalá me equivoque, de que esto no aparece demasiado ni siquiera en las aulas en las que la resolución de problemas es bienvenida.
2) Igual te sorprende que se hable de álgebra en edades tan tempranas. Si es así te invito a leer un artículo que escribí hace tiempo: Early-Algebra: ¿álgebra en Primaria?.
3) ¿Usar la calculadora? Sí, la calculadora no es ese monstruo terrorífico e intocable que desde algunas esferas nos pretenden hacer creer. Aunque sea barrer para casa de nuevo te invito a leer este otro artículo sobre el tema.
4) Si quieres puedes incluso echar una ojeada al post: «Matemáticas en el calendario«, que tiene algo que ver con todo esto.
Hola Sara,
Muy buen recurso. Yo lo utilizo con los alumnos de 1º y 2º ESO, para hacer la criba de Eratóstenes y encontrar patrones de los múltiplos de dos, tres, cinco, siete o de los múltiplos de los otros números que no son primos. Primos, múltiplos, divisores,…….
En cuanto al post de Matemáticas en el calendario también lo conocía y este año voy a recomendar la lectura del libro A vueltas con los números a mis alumnos de 4º eso.
A veces, como tú dices los mejores problemas nos surgen cuando nos paramos a pensar en las cosas más sencillas.
En cuanto a los números, creo que tienen vida propia y que a veces descubrimos algunas de sus propiedades. No le faltaba razón a Pitágoras cuando afirmó: «Todo es número».
Un saludo: Eva M
Otra de las actividades que se pueden hacer con la cuadrícula, esta más para primaria, es recortar la cuadrícula en piezas de distintas formas y formar un puzzle. También es sencillo pero útil cuando se están aprendiendo los números y su orden.
En cuanto a las conjeturas y su demostración, hoy solo dejo una, pero si tengo algún rato, buscaré mas:
Todas las parejas de números que tienen como centro de simetría el número n suman 2n.
Gracias a los dos por vuestros comentarios y aportaciones. Muy buenas.
«A vueltas con los números» es un buen libro. A ver si tus estudiantes lo aprovechan, Eva M.
No había pensado en lo del puzzle. Me parece una buena idea. Me recuerda a una actividad parecida que se puede hacer con poliminós. En cada cuadrado aparece un número. En este caso hay que intentar colocar los poliminós de la forma adecuada para que la suma, resta… o cualquier otra operación sea correcta. Vamos, más en plan pasatiempo.
Me gusta la conjetura que haces, da-beat, sobre todo porque mezclas conceptos geométricos con algebráicos, que en el fondo también es de lo que se trata.
Me gustaría, si es posible, que alguien más participara. Bien dando ideas sobre otras formas de aprovechar este recurso o sobre alguna conjetura. Todos/as nos beneficiaríamos de ello.
Saludos.
Sara:
Ya lo he comentado, pero lo repito, un buen post. Justamente la semana pasada entraba al tema de múltiplos en quinto de primaria y este recurso me fue muy útil. Una consigna que les di con la cuadrícula fue encontrar regularidades, por ejemplo con múltiplos de 3 y 5. Algo curioso que sucedió es que algunos, pocos, pero igual es curioso, generalizaban la regularidad de los múltiplos a los múltiplos de 5 a los múltiplos de 4; es decir, señalaban como múltiplos de 4 al [4, 14, 24, 34,..]. Luego de un momento, en la discusión, caían en la cuenta. La cuadrícula les permitió establecer conjeturas: «todos los múltiplos de 3 son impares», «los múltiplos de 5 terminan en 0 y en 5», «en el caso de los múltiplos de 3 se forman escaleritas», «la cifra de las unidades de las escaleritas aumentan en uno». Y así y más, algunas curiosas y otra no tanto, pero igual demostraban su entusiasmo y búsqueda. Inclusive permite elaborar preguntas complejas como: ¿existen múltiplos de 10 que a la vez sean múltiplos de 4?, menciona 5 ejemplos. Considero que este trabajo previo, de familarizarse con la cuadrícula, ayudará a que el trabajo con la criba de Eratóstenes se realice con mayor fluidez.
Me olvidaba! La conjetura que tengo es que en tres números consecutivos en la cuadrícula, el del medio es el promedio de los extremos. Para el caso de un triada horizontal, vertical o en diagonal. Me parece interesante invitar a los chicos de ESO a demostrar que ocurre para todos los casos.
Frank, me alegro de que hayas puesto en práctica este recurso y con buenos resultados.
Enhorabuena por la conjetura y gracias por comentar. Comentarios como los tuyos son muy enriquecedores.
Salu2 desde España
[…] centena cuadriculada 5 10 2009 Los invito a leer en el blog de Sara Ferrero, La centena cuadriculada: un buen recurso para hacer matemática. A mi parecer, una muy buena presentación de las bondades de este recurso en clase. Sara, con este […]
Gracias por todo este conocimiento que ponen en nuestras manos. Está demasiado interesante y aplicativo
es aburrido y no encontre lo que quiero
los 70 alumnos del garado 4 grado aportan cuotas iguales para decorar el salon con dinero reunido se compraron una docena de cuadros de 2.550 cada uno docena y media de plantas decorativas de 1.500 y 3 docenas de ceramica a 3.000 cada una
si despues de las compra sobraron 44.400
cuanto
habia
aportadocada uno
que se hac ahi en ese problema
es to es muy inportante para todos
grasias por lo quedises
Ya sé que es tarde para comentar… pero he encontrado esa tesis doctoral que te interesaba… http://www.gonzalezmari.es/LA_TABLA_100.pdf
Espero que te llegue
Bueno, me parece que es únicamente un informe sobre la tesis, pero igualmente muchas gracias. Le echaré un ojo cuando pueda.