Matemática, una droga

 

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Hay muchos tipos de drogas, muchas formas de evadirse del mundo… o mejor dicho, de evadirse del mundo que vemos, del mundo que cada cual se ha construido a su medida (que no tiene por qué corresponderse con el «mundo real»). Una medida que a veces nos asfixia por demasiado pequeña y otras nos asusta por demasiado grande.

 

Quizá es difícil meter a las matemáticas en el baúl de las drogas. Quizá parezca que este baúl es demasiado pequeño para contenerla. Quizá… pero sólo quizá. Al lector, si no le gustan las matemáticas y no se ha pasado horas (¿días?, ¿meses?, ¿años?) embebido en un problema matemático, quizá le resulte complicado entrever la similitud entre una droga y las matemáticas.

 

Lo cierto es que hay bastantes evidencias y citas de que realmente las matemáticas, entre otras tantas funciones, son un remedio más o menos eficaz para alejarnos del mundanal ruído y sus problemas. Dejo tres para que el lector se empape de ellas:

 

En «Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas» (Pág. 283) leemos las siguientes Palabras de Ulam, refiriéndose a su situación y a la de otros refugiados polacos en América durante la Segunda Guerra Mundial:

En muchos casos, las matemáticas son una forma de huir de la realidad. Persiguiendo algo tan ajeno a los asuntos reales, el matemático encuentra su propio refugio monacal, su felicidad. Algunos practican las matemáticas como quien toma una droga. El ajedrez algunas veces se usa de la misma forma. Ante la infelicidad producida por los sucesos de este mundo, algunos se sumergen en una especie de mundo matemático autosuficiente. Algunos se hacen matemáticos por esta única razón, aunque uno nunca llegue a estar seguro de que sea sólo por eso, pues para muchos las matemáticas son aquello que saben hacer mejor que cualquier otra cosa.

 

Marcus du Sautoy, en «La música de los números primos» (Pág. 59), opina:

 

La estabilidad que crea la demostración matemática conduce a la auténtica inmortalidad citada por Hardy; a menudo es ésa la razón por la cual personas que están rodeadas de un mundo de inseguridades se sienten atraídas por esta disciplina. En muchos casos el mundo matemático ha ofrecido refugio a jóvenes mentes deseosas de evadirse de un mundo real que no conseguían afrontar.

 

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Por último, Lewis Carroll, en «Problemas de almohada«, un libro lleno de los problemas matemáticos que Lewis se planteaba y resolvía «en la mente», principalmente durante las noches, sin hacer uso siquiera de papel y lápiz, nos comenta la razón de su forma de actuar:

 

No es posible -esto, creo, lo admitirán todos los psicólogos- mediante un acto de la voluntad, llevar a buen término el propósito de «No pensaré en esto y aquello» […]. Pero es posible -como estoy muy agradecido de saber- llegar a la resolución «Pensaré en esto y aquello». Una vez fijada la atención en un tema así elegido, encontraréis que el asunto angustioso, que deseáis desterrar, se ve prácticamente anulado. Puede regresar de vez en cuando -como quien mira desde la puerta, por así decirlo- pero será recibido tan fríamente, y se le prestará tan poca atención, que, después de un rato dejará por completo de ser una preocupación.

 

Quizás pueda aventurarme, por un momento, a usar un tono más serio, y señalar que hay problemas mentales, mucho peores que una mera inquietud, para los que un absorbente tema de reflexión puede servir como remedio.

 

 

Aunque al lector le pueda sonar extraño, no estoy totalmente de acuerdo con las palabras de Lewis Carroll cuando dice que no es posible dejar de pensar en esto y aquello… Esa quizá sea nuestra «enfermedad»: los pensamientos parecen entrar y salir de nuestra cabeza a su antojo, como si nos dominaran, pero, ¿es ese nuestro estado natural?, ¿podríamos controlar de alguna manera lo que pensamos?, ¿podríamos dejar atrás los pensamientos compulsivos o dejar de pensar por un rato? Mi respuesta, categórica, es que sí.

 

 

Ahora sólo queda saber la opinión del lector; si a él o a ella también le pasa esto o no… En mi caso creo que una (quizá la principal) de las razones de que me empezaran a gustar las matemáticas es que me ayudaban a escapar del mundo de «ahí fuera» y sus «horrores». Lo que de alguna manera es una pena, ya que el huír no arregla nada y las drogas tampoco… y el mundo está ahí, lo queramos ver o no, para regalarnos su colorido… pero para ello primero hay que saber mirar correctamente. Evadirse, desde luego, nunca ha resuelto ningún problema.  Ahora sí, te dejo la palabra.

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El círculo del 99

Sé que me falta un post sobre el libro «Matemática inclusiva». No es que me haya olvidado de él, pero me apetecía cambiar un poco de tema…

Ya casi ni te pregunto si te has fijado en los x,99 y en los x,95 que pueblan las etiquetas de los precios de los supermercados y demás tiendas, porque sería muy raro que no lo hubieras hecho… Es más, a veces me pregunto si realmente merece la pena perder esos céntimos, si la gente «pica» en el anzuelo y no redondea como es debido. Bueno, me imagino que si lo siguen haciendo es porque sí (y además conozco algunas personas a las que les pasa). El redondeo es algo genial, nos hace tener un día redondo… aunque no siempre tiene por qué ser así. A veces el empeñarnos en redondear puede ser muy negativo para nuestra salud. Por eso me gustaría dejarte un ejemplo, un cuento. El protagonista redondea muy bien, pero eso le produce grandes quebraderos de cabeza (aunque la moraleja del cuento va mucho más allá de este hecho). El cuento está escrito tal cual aparece en el maravilloso libro «Recuentos para Demián» (vamos, está copiado, para qué mentir. Espero que no me «riñan» por ello, pero no me resistía) de Jorge Bucay, un gran psicólogo a juzgar por lo que escribe (aunque a veces una cosa no tiene nada que ver con la otra). Si tuviera necesidad de un psicólogo creo que no me lo pensaría dos veces. Bueno, pues allá va:

Había una vez un rey muy triste que tenía un sirviente, que como todo sirviente de rey triste, era muy feliz.

Todas las mañanas llegaba a traer el desayuno y despertar al rey cantando y tarareando alegres canciones de juglares. Una gran sonrisa se dibujaba en su distendida cara y su actitud para con la vida era siempre serena y alegre.

Un día, el rey lo mandó a llamar.

-Paje -le dijo- ¿cuál es el secreto?

-¿Qué secreto, Majestad?

-¿Cuál es el secreto de tu alegría?

-No hay ningún secreto, Alteza.

-No me mientas, paje. He mandado a cortar cabezas por ofensas menores que una mentira.

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Abracemos el mundo

Gaia nos abre sus brazos de par en par y, sin embargo, nosotros se lo pagamos rasgándole las entrañas, pero en su infinito amor ella no nos lo tiene en cuenta y nos sigue brindando sus frutos… ¿pero nos quiere tanto a los hombres y mujeres como para permitirnos acabar con el resto de seres vivos, con el aire y con el mar? No lo creo. Somos como parásitos, como la célula cancerosa que no se da cuenta de que con su actuación no está acabando sólo con el cuerpo que la sustenta, sino también consigo misma. Sólo nos quedan dos alternativas: o evolucionar o perecer; porque ciertamente, dudo que Gaia se deje destruir. ¿Y sabes lo que pienso? Pienso que si seguimos como hasta ahora no me importaría que la raza humana desapareciera antes de que con su actuación arrastre «al fondo del mar» también a otras especies que viven en armonía.

Pero no, no es culpa de nadie. No creo que el Ser Humano sea malo, sólo es inconsciente. Es la inconsciencia la que le impide darse cuenta de lo que está haciendo. Es la inconsciencia la que le impide darse cuenta de que el trino de un pájaro vale infinitamente más que todo el dinero del mundo… A veces la luz de la Consciencia nos habla. Ésta puede revestirse de la voz de Gaia: un terremoto, un tornado, inundaciones…, pero también puede hablarnos a través de los labios de una niña:

Me gustaría rescatar unas palabras del vídeo:

En la escuela ustedes nos enseñan a comportarnos bien, a no pelear con otros, a resolver las cosas bien, a respetar a otros, a limpiar lo que ensuciamos, a no maltratar a otras criaturas, a no ser mezquinos… ¿Entonces por qué ustedes hacen justamente lo que nos enseñaron a no hacer?

Me duele decir que comparto plenamente las palabras de esta niña (ahora ya no tan niña 😉 ). Hay mucha inconsciencia, y ésta nos invita a decir palabras muy bonitas para disimular nuestra perniciosa actuación. En este sentido me gustaría que leyeras la letra de una de las canciones (Lecciones de Urbanidad) de Serrat:

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La Paradoja de Teseo da que pensar

Fuente de la imagen: http://geocities.com

Lo siento, no me resistía a pasar más tiempo sin escribir… El caso es que estaba tan tranquila leyendo, cuando ciertas palabras me recordaron una paradoja sobre un barco al que se le iban quitando todos sus tablones y poniendo en su lugar otros nuevos. No me acordaba de cómo se llamaba dicha paradoja pero, por suerte, San Google se apiadó de mí y con la primera búsqueda (paradoja barco) llegué hasta su verdadero nombre (La Paradoja de Teseo) y hasta la página que Wikipedia le ha dedicado. En dicha página nos encontramos con una leyenda griega que nos acerca al quid de la paradoja:

El barco en el cual volvieron (desde Creta) Teseo y los jóvenes de Atenas tenía treinta remos, y los atenienses lo conservaban desde la época de Demetrio de Falero, ya que retiraban las tablas estropeadas y las reemplazaban por unas nuevas y más resistentes, de modo que este barco se había convertido en un ejemplo entre los filósofos sobre la identidad de las cosas que crecen; un grupo defendía que el barco continuaba siendo el mismo, mientras el otro aseguraba que no lo era.

Lo que se puede traducir en la siguiente pregunta: Al final, ¿estaríamos en presencia del mismo barco si se hubieran reemplazado cada una de las partes del barco una a una?

Otras versiones de la paradoja nos acercan a diversos objetos y cosas que en nada se parecen a un barco. Por ejemplo, una de la mano del filósofo griego Heráclito:

Ningún hombre puede cruzar el mismo río dos veces, porque ni el hombre ni el agua serán los mismos

Y otra procedente de la boca de John Locke: si a un calcetín le tenemos mucho aprecio, es probable que cuando le salga un agujero no lo tiremos a la basura y le mostremos nuestro afecto remendándolo. Uno puede preguntarse si el calcetín sigue siendo el mismo después de dicha operación. Si la respuesta es que sí, entonces si a este calcetín le vuelve a salir otro agujero y lo volvemos a remendar, lógicamente el calcetín seguirá siendo el mismo,  y si seguimos con esta tarea cada vez que el calcetín nos vuelva a enseñar sus entrañas, al final llegaremos a un calcetín al que no le queda nada de su material original. ¿Sigue siendo el calcetín el mismo? ¿En qué momento deja el calcetín de ser el original?

Todo esto nos lleva a una pregunta más general: ¿Si a un objeto se le reemplazan todas sus partes sigue siendo el mismo? Me gustaría que antes de seguir adelante intentaras contestarte a esta pregunta, porque lo que viene a continuación podría condicionarte en la respuesta.

Y por cierto, esta paradoja tiene cierta relación con la paradoja sorites, de la que ya se habló en «Demostración» matemática de la ineficacia de las calificaciones.

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Regla y Compás sí, pero no en la cabeza (1)

Todos sabemos los beneficios de una regla y un compás a la hora de hacer que nuestro trabajo tienda a la perfección. ¿Quieres crear una circunferencia?; pues mejor el compás que la mano alzada, desde luego, aunque seas Don Perfecto. ¡Qué mejor que una regla para hacer de una hoja en blanco una hoja cuadriculada!… Desde luego, desde que la unión entre regla y compás se consumó, hace muchísimos años, la cantidad de propiedades, figuras geométricas… que con ellas podemos realizar es infinita (o sólo limitada por la imaginación… o mejor dicho, por la escasez de imaginación).

 

Luego, con el paso de años, siglos, milenios… incluso hemos hecho grandes avances: ya no necesitamos una regla y un compás “materiales”. Hay programas informáticos que cumplen esos papeles con un sólo clic. Uno de ellos, cuyo nombre no deja lugar a dudas de sus funciones, es Regla y Compás o C.a.R. (por sus siglas en inglés). Mucha información sobre dicha aplicación se puede encontrar en esta página, que colaboradores de Chiti, de otros años, recabaron amablemente para que futuros ojos se posaran sobre sus líneas.

 

Pero no son las funciones, características y demás aspectos de C.a.R. lo que quería dejar plasmado entre estas palabras; más bien me gustaría mostrar mi opinión sobre su aplicación en el aula…

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La vida de Incógnita o la incógnita de la Vida.

Un rayo de luz acarició la mejilla de Incógnita como implorando que despertara. Éste respondió abriendo un ojo y levantándose de la cama como un resorte. Sus pasos lo guiaron hasta el espejo del baño. Se miró como nunca lo había hecho antes: una x era todo lo que tenía por cuerpo, pero sus ojos parecían devolverle la mirada desde el infinito. En su mente se dibujó una pregunta: <<¿quién soy?>> Esa era la pregunta que le había estado persiguiendo, incansable, durante toda la noche en sueños. En ese momento decidió que no pararía hasta que la lograra responder.

 

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-…Y si queréis llegar a ser algo en la vida, no os podéis permitir bajar la guardia. ¡El que algo quiere algo le cuesta! ¡Estáis aquí para aprender y para hacer todo lo que podáis de la mejor forma posible! Vosotros sois el resultado de vuestro esfuerzo, vuestros éxitos o vuestros fracasos… ¿Queréis ser unos fracasados toda vuestra vida?- las palabras de la maestra de las equis resonaba por toda la clase.- ¿Sí, Incógnita?

 

-Es que me interesa mucho lo que ha dicho porque hace tiempo que intento saber quién soy… O sea que somos el resultado de nuestros éxitos y ahora mismo no somos nada o muy poco…

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“Demostración” matemática de la ineficacia de las calificaciones

En realidad no es que haya ninguna demostración de este hecho, por lo menos que yo sepa, pero sí es cierto que podemos usar algunos “entes” matemáticos para darnos cuenta de las dificultades que entraña el proceso de calificación, y así de paso los damos a conocer en esta entrada. Estos seres matemáticos de los que voy a hablar son la campana de Gauss y la paradoja del montón de arena. ¡Pues vamos a ello!

Fuente de la imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Campana_de_Gauss

La campana de Gauss es la gráfica de una función, la función gaussiana, que, entre otras cosas, podemos decir que aparece, de manera muy significativa, en diferentes contextos sociales, naturales… Técnicamente se dice que las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal o ley normal.

En palabras más llanas (y espero no equivocarme), la función de Gauss es una función que nos ayuda a comprender la probabilidad de que se den determinados valores dentro de una variable dada… Pongamos un ejemplo: si evaluamos la altura de los individuos de una determinada región y representamos en el eje horizontal las medidas obtenidas y en el eje vertical el número de veces que se repite ese valor, obtendremos una gráfica parecida a las de la figura, es decir, los valores medios tienden a ser los más abundantes, mientras que los valores extremos son mucho menos frecuentes. Es más fácil encontrar a una persona que mida 1,67, como yo, que una que mida 2 metros ó 1,5.

Esta campana de Gauss “aparece” en muchas otras situaciones, pero no en todas, claro. Algunas otras son, como podemos ver en la entrada para Distribución normal de la Wikipedia:

Caracteres morfológicos de individuos

Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco

Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos

Caracteres psicológicos como el cociente intelectual

Nivel de ruido en Telecomunicaciones

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes

Valores estadísticos muestrales como la media

Pero bueno, ¿qué relación tiene esta campana con las calificaciones? Dejemos que Claudi Alsina nos ilumine desde su libro Vitaminas matemáticas (2008):

Recientemente, el educador matemático André Antivi ha publicado un curioso libro sobre la constante macabra. En el libro, Antivi constata que en la mayoría de evaluaciones escolares cuando se mira la distribución de notas aparece reiteradamente en cada clase, de cualquier lugar y cualquier año, la ley normal: pocos suspensos 0, 1, 2… pocos notables y excelentes 8, 9, 10 y una mayoría de notas alrededor del aprobado 5. Y Antivi nos invita a reflexionar: ¿qué razones hay para que la distribución sea siempre normal? ¿No sería más lógico que pudieran darse a veces notas muy altas, a veces muchos suspensos, es decir, variaciones en las distribuciones de notas? Si siempre es la ley normal y no hay razones teóricas que soporten dicho modelo, ¿no será que los propios profesores manipulan sus evaluaciones para que el resultado acabe adaptándose a esta distribución? Un tema interesante. En los planteamientos clásicos estadísticos las distribuciones son el resultado de una recolección de datos y un posterior estudio. Pero Antivi plantea un caso inverso donde la ley es una autoimposición apriorística y luego se ponen enunciados y se cuadran correcciones para que los resultados sigan fielmente la distribución dada. El complejo mundo de la evaluación educativa precisa de este tipo de reflexiones, pues la supuesta objetividad raras veces tiene lugar. Intervienen multitud de factores y entre ellos los resultados socialmente bien vistos.

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La Princesa que creía en los Cuentos de Hadas

Ese es el título de un libro que he estado leyendo últimamente. Podríamos decir que está en la misma línea que «El Caballero de la armadura oxidada«, de Robert Fisher. La autora del libro, Marcia Grad, nos invita a viajar con la princesa Victoria (¿por qué ese nombre? 🙂 ) en busca de la Verdad.

Victoria es una princesa delicada que siempre ha vivido a expensas del Código Real y de lo que sus padres le han ordenado. Victoria tiene una ilusión: ser rescatada algún día por un Príncipe Azul… pero cuando el príncipe aparece, las cosas no parecen ir tan bien como ella había pensado. Al principio todo es hermoso, mas con el discurrir del tiempo el Doctor Risitas (como la princesa llama a su amado) da paso al Señor Escondido, el lado oscuro del príncipe.

Victoria, después de haber intentado ayudar al príncipe y de haber intentado ser perfecta en todo para que el Señor Escondido no apareciera, pero sin lograrlo, decide emprender viaje por el Camino de la Verdad. En él se topará con el mar de la Emoción, en el que logra aprender a nadar y a llevarse por la corriente; con la tierra de la Ilusión, en la que la mayoría nos encontramos; con el país de Es, con Memoria y con el valle de la Perfección. Al final llegará al templo de la Verdad y recibirá el pergamino sagrado.

Pero no terminan aquí las aventuras de Victoria, aunque sí el libro: la vida es un aprendizaje continuo que nunca acaba. Los pasos de Victoria por el Camino de la Verdad no son más que el comienzo… Mas ahora sabe muchas cosas: sabe nadar en el mar de la Emoción, sabe que los cuentos de hadas se pueden cumplir siempre que queramos, aunque igual no de la forma que habíamos pensado, sabe que para amar a alguien primero hay que amarse a sí misma, sabe que igual el príncipe de sus sueños aparece algún día, pero si no lo hace tampoco importa, porque su corazón ya está impregnado de la canción más hermosa jamás inventada y sabe que si se guía por su corazón, no tiene nada que temer.

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El avaro que quería poseer la Felicidad

Parece ser que ya desde que estaba en la tripita de su madre, Mío tenía esas ansias de poseer todo: nunca se encontraba satisfecho con el alimento que tan afectuosamente se le ofrecía. Quizás por eso contrastaba el abultado vientre de su progenitora con sus esqueléticas extremidades.

Cuando nació, Mío ni siquiera lloró, porque eso era malgastar un líquido precioso. Como cualquier niño, Mío fue creciendo y creciendo… y a medida que esto sucedía también lo hacía su avaricia. Se podría decir que era el niño con más juguetes del mundo, pero nunca estaba satisfecho. Siempre había otro juguete que le entraba por los ojos, otro juguete para su colección interminable. Seguramente el lector esté pensando que con tanto juguete Mío tendría siempre una sonrisa en la boca… pero no, nuestro protagonista consideraba el sonreír un desperdicio; por eso su cara era robótica, sin rastro de emoción.

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