Lo que se esconde en Internet: sistema RSA de criptografía de clave pública

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Nosotros, seres humanos, siempre hemos tenido necesidad de ocultar muchas cosas y de enviar mensajes secretos, de ahí que hace más de 2500 años ya los espartanos idearan un método para esconder información a los ojos no “dignos” para ello, conocido como el método de la scitala (Da-beat ha escrito unos cuantos e interesantes artículos sobre distintos métodos criptográficos que recomiendo que leas si aún no lo has hecho). Sin embargo, todos estos métodos, desde la scitala a la máquina Enigma, tenían un problema: la necesidad de que el emisor y el receptor se pusieran de acuerdo con respecto a la clave, a la forma de codificación, a usar; la misma para ambos. Esto puede ser muy engorroso si esas personas se encuentran muy lejos una de la otra: o bien hay que encontrarse para elegir la clave, o bien un intermediario lo tiene que hacer, con el peligro de que dicha clave se intercepte por el camino. Teniendo en cuenta que, además, es recomendable cambiar el código de vez en cuando, por si existen mentes astutas entre el enemigo, ya te puedes imaginar…

 

Desde luego, actualmente, con un método criptográfico de este tipo, sería impensable realizar compras por Internet o escribir correos electrónicos sin un mínimo de intimidad. ¿Se imagina el lector, por ejemplo, recibiendo cartas con el código a usar para enviar su número de cuenta bancaria a una determinada empresa? Además, la clave para cada comprador o emisor tendría que ser diferente y habría un gran riesgo de intercepción. Ya ves la que se podría armar.

 

Entonces, ¿qué método potente se esconde detrás de Internet y de tal barullo de mensajes encriptados que circulan por sus venas? Igual te suena: la Criptografía de clave pública (un nombre muy acertado), cuyo sistema más conocido y uno de los más seguros es el RSA (sus siglas se deben a la inicial del apellido de las tres personas que lo descubrieron: Rivest, Shamir y Adleman), que conoció la luz en 1977. Pero, antes de hablar sobre él, desplacémonos unos años atrás.

 

En 1903, un matemático que respondía al nombre de Frank Nelson Cole, dio la conferencia más silenciosa y corta de la Historia: cogió una tiza y la pasó cariñosamente por el encerado, dejándole las siguientes marcas:

 

 

Después de esto tomó asiento y el público se levantó para aplaudirlo efusivamente, lo que puede dar a entender que los matemáticos están más locos de lo que parecía: se ponen así por una simple multiplicación. El caso es que los números multiplicados son primos y Cole había gastado 3 años de las tardes de los domingos para descomponer el  en esos factores… En la época en la que Cole hizo esta proeza no se podía intuir que la resolución de problemas de este tipo pudiera traer del brazo grandes implicaciones, pero, por los giros que da la Historia, la descomposición de números grandes (de unos 200 dígitos) en sus dos factores primos es la base del RSA. ¡Y Hardy que se enorgullecía de que su querida Teoría de Números no tenía aplicaciones en la vida cotidiana! ¡Si levantara la cabeza!

 

Volvamos otra vez a 1977…

Acertijos de pensamiento lateral

Creo que los acertijos de pensamiento lateral no necesitan presentación. Por este blog, aunque poco, ya han hecho su aparición en “Problemas para desengañarse” y “Problemas para desengañarse II“. A continuación unos cuantos más. Casi todos ellos proceden del libro “Acertijos de Pensamiento Lateral“. Para el que esté puesto en este tipo de acertijos le pueden resultar muy facilones y/o muy vistos. Aun así les doy la oportunidad de aparecer en esta entrada, porque a mí personalmente me gustaron bastante. Adelante con el desfile:

1) En muchos países hacerlo una vez es obligatorio, pero hacerlo dos veces el mismo día es delito. ¿De qué se trata?

2) Alicia quería llenar algo que estaba vacío, pero realmente no sabía qué poner allí. Su hermano Fernando sí lo sabía, pero Alicia no quería que él participara en el asunto. ¿Por qué? ¿Qué estaba pasando?

3) -¿Ve usted a ese señor que está allí? -preguntó el señor Steve Jones al señor Smith.

-Sí -respondió el señor Smith-. ¡Es extraordinariamente parecido a usted!

-No es raro, ya que es hermano mío; es más, hemos nacido de la misma madre, el mismo día del mismo año. Sin embargo, no es mi hermano gemelo ni mi hermano mellizo.

Fuente de la imagen: http://www.embarazorossa.com

El señor Jones estaba diciendo la verdad, pero… ¿cómo podía ser?

4) Tres chinos entraron a tramitar una visa en la embajada de Portugal en Pekín y no salieron más. ¿Por qué?

5) En una pequeña ciudad había dos periódicos, “Últimas noticias” y “Esto sí que es nuevo”, cuyos dueños se odiaban mortalmente. Un día el dueño de “Últimas noticias” publicó en su diario una información negativa sobre el dueño de “Esto sí que es nuevo”. La noticia decía: “Ayer el director de “Esto sí que es nuevo” fue visto borracho en diversos establecimientos de la ciudad”.

 Al día siguiente, para vengarse, el dueño de “Esto sí que es nuevo” publicó una información positiva sobre el dueño de “Últimas noticias”. ¿Cuál y por qué?

 

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6)

Dos viajeros caminan por la selva amazónica, rumbo al poblado de Itangaratí, cuando llegan a un río infestado de pirañas y serpientes venenosas. Las pirañas son pirañas realmente agresivas, dispuestas a comerse a todo ser viviente que se ponga a su alcance, y las serpientes venenosas son realmente muy venenosas: cualquier contacto con una de ellas implica la muerte segura en apenas una hora. Los viajeros no tienen herramientas para hacerse un bote, ni hay ningún puente cerca, ni lianas de las que colgarse para cruzar. Sin embargo, logran pasar al otro lado y esa noche duermen tranquilamente en la modesta pero amable posada de Intangaratí. ¿Cómo lograron cruzar?

7) En otro de sus viajes, nuestros dos viajeros se encuentran en África camino del pueblo de N’gulema; de pronto, se topan con un caudaloso río infestado de voraces cocodrilos. No hay puentes, no hay piedras en medio del río, no hay lianas para colgarse, no hay bote ni barquero, no llevan armas ni herramientas. Sin embargo, no se los ve angustiados de haberse topado con el río, y arriban sin mayores percances a N’gulema esa misma noche. ¿Cómo lo logran?

8. Era un gran día: a mi hermana y a mí se nos había concedido el gran honor de conocer a un gurú de La India del que nos habían hablado muy bien. Pensábamos que por fin todas nuestras preguntas serían respondidas… pero no de aquella manera: quedé impresionada al comprobar cómo una pregunta que me estaba haciendo a mí misma  mentalmente fue respondida por aquel sabio sin abrir la boca… Sin embargo no hizo uso de ningún tipo de adivinación ni de magia. ¿Cómo lo logró?

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El último se me ocurrió ayer a raíz de cierto suceso. Quizá no sea muy bueno, no lo sé. Qué mejor forma de saberlo que poniéndolo bajo la evaluación de los astutos ojos y cerebros de mis lectoras y lectores… Y creo que esto es todo por hoy. Ahora te toca a ti.

Matemática, una droga

 

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Hay muchos tipos de drogas, muchas formas de evadirse del mundo… o mejor dicho, de evadirse del mundo que vemos, del mundo que cada cual se ha construido a su medida (que no tiene por qué corresponderse con el “mundo real”). Una medida que a veces nos asfixia por demasiado pequeña y otras nos asusta por demasiado grande.

 

Quizá es difícil meter a las matemáticas en el baúl de las drogas. Quizá parezca que este baúl es demasiado pequeño para contenerla. Quizá… pero sólo quizá. Al lector, si no le gustan las matemáticas y no se ha pasado horas (¿días?, ¿meses?, ¿años?) embebido en un problema matemático, quizá le resulte complicado entrever la similitud entre una droga y las matemáticas.

 

Lo cierto es que hay bastantes evidencias y citas de que realmente las matemáticas, entre otras tantas funciones, son un remedio más o menos eficaz para alejarnos del mundanal ruído y sus problemas. Dejo tres para que el lector se empape de ellas:

 

En “Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas” (Pág. 283) leemos las siguientes Palabras de Ulam, refiriéndose a su situación y a la de otros refugiados polacos en América durante la Segunda Guerra Mundial:

En muchos casos, las matemáticas son una forma de huir de la realidad. Persiguiendo algo tan ajeno a los asuntos reales, el matemático encuentra su propio refugio monacal, su felicidad. Algunos practican las matemáticas como quien toma una droga. El ajedrez algunas veces se usa de la misma forma. Ante la infelicidad producida por los sucesos de este mundo, algunos se sumergen en una especie de mundo matemático autosuficiente. Algunos se hacen matemáticos por esta única razón, aunque uno nunca llegue a estar seguro de que sea sólo por eso, pues para muchos las matemáticas son aquello que saben hacer mejor que cualquier otra cosa.

 

Marcus du Sautoy, en “La música de los números primos” (Pág. 59), opina:

 

La estabilidad que crea la demostración matemática conduce a la auténtica inmortalidad citada por Hardy; a menudo es ésa la razón por la cual personas que están rodeadas de un mundo de inseguridades se sienten atraídas por esta disciplina. En muchos casos el mundo matemático ha ofrecido refugio a jóvenes mentes deseosas de evadirse de un mundo real que no conseguían afrontar.

 

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Por último, Lewis Carroll, en “Problemas de almohada“, un libro lleno de los problemas matemáticos que Lewis se planteaba y resolvía “en la mente”, principalmente durante las noches, sin hacer uso siquiera de papel y lápiz, nos comenta la razón de su forma de actuar:

 

No es posible -esto, creo, lo admitirán todos los psicólogos- mediante un acto de la voluntad, llevar a buen término el propósito de “No pensaré en esto y aquello” [...]. Pero es posible -como estoy muy agradecido de saber- llegar a la resolución “Pensaré en esto y aquello”. Una vez fijada la atención en un tema así elegido, encontraréis que el asunto angustioso, que deseáis desterrar, se ve prácticamente anulado. Puede regresar de vez en cuando -como quien mira desde la puerta, por así decirlo- pero será recibido tan fríamente, y se le prestará tan poca atención, que, después de un rato dejará por completo de ser una preocupación.

 

Quizás pueda aventurarme, por un momento, a usar un tono más serio, y señalar que hay problemas mentales, mucho peores que una mera inquietud, para los que un absorbente tema de reflexión puede servir como remedio.

 

 

Aunque al lector le pueda sonar extraño, no estoy totalmente de acuerdo con las palabras de Lewis Carroll cuando dice que no es posible dejar de pensar en esto y aquello… Esa quizá sea nuestra “enfermedad”: los pensamientos parecen entrar y salir de nuestra cabeza a su antojo, como si nos dominaran, pero, ¿es ese nuestro estado natural?, ¿podríamos controlar de alguna manera lo que pensamos?, ¿podríamos dejar atrás los pensamientos compulsivos o dejar de pensar por un rato? Mi respuesta, categórica, es que sí.

 

 

Ahora sólo queda saber la opinión del lector; si a él o a ella también le pasa esto o no… En mi caso creo que una (quizá la principal) de las razones de que me empezaran a gustar las matemáticas es que me ayudaban a escapar del mundo de “ahí fuera” y sus “horrores”. Lo que de alguna manera es una pena, ya que el huír no arregla nada y las drogas tampoco… y el mundo está ahí, lo queramos ver o no, para regalarnos su colorido… pero para ello primero hay que saber mirar correctamente. Evadirse, desde luego, nunca ha resuelto ningún problema.  Ahora sí, te dejo la palabra.

Acertijos con balanzas 2.

Hace un tiempo se propusieron en este blog una serie de Acertijos con balanzas. A continuación otros dos:

1) Se tiene una balanza y cinco mujeres. Las mujeres se pesaron de “a dos”, en pareja, en todas las combinaciones posibles, y los resultados que se obtuvieron en los diez casos fueron los siguientes:

105, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 119, 121

¿Cuál es el peso de cada mujer?

2) Tienes 12 monedas. Todas pesan lo mismo excepto una, que puede ser más ligera o más pesada que el resto. ¿De qué manera puedes descubrir cuál es esta moneda de peso diferente con sólo tres pesadas en una balanza? La balanza no tiene graduación para pesos, sólo tiene dos platillos con los que únicamente se puede saber si el más pesado ha descendido (o el más ligero ascendido) o si están equilibrados.

Dentro de un mes más o menos saldrán las soluciones junto con la fuente de los acertijos. Gracias por tu participación y a por ellos.

Demostración visual: medias

La media aritmética es uno de los conceptos matemáticos que más conocen/conocemos los estudiantes, aunque nada más sea por su implicación a la hora de obtener una nota final cuando se quieren tener en cuenta varias notas “menores” (en este caso nos atendremos sólo a dos de esas notas). Quizás no sea tan conocido el hecho ventajoso que supone que nos apliquen esta media y no la media geométrica, resultante de multiplicar esas dos notas y luego hallar la raíz cuadrada. Menos conocida aún (apostaría algo), a pesar de que resulta más ventajosa para el estudiante, es la media cuadrática, que consiste en sumar los cuadrados de las notas, dividir el resultado por dos y finalmente hallar la raíz cuadrada. Pues la demostración de que la media geométrica de dos números es siempre menor o igual que la media aritmética, que a su vez es siempre menor o igual que la media cuadrática, admite una versión visual muy bonita que es recogida en el nuevo número (¡por fin!) de La Hoja Volante; el nº 17 [pdf].

Por si no ha quedado claro, lo que queremos demostrar es que dados dos números a y b:

Bien, ahora la demostración:

Por cierto, quizás no sepas de dónde salen la media geométrica y la media cuadrática. Eso es porque te has olvidado del Teorema de Pitágoras y del Teorema de la Altura… ¿Cuándo se igualan las medias?

Intergeo: Algo más que un espacio de reunión de recursos geométricos

Del proyecto Intergeo ya nos habló Chiti hace tiempo. Ayer me lo volví a encontrar; esta vez de la mano de “Matemáticas y sus fronteras“, y no quise dejar pasar la oportunidad de presentarlo en este espacio. Parece ser que la fuente de referencia [pdf] del post se encuentra en el nuevo número (nº 70) de la revista Números, de descarga gratuita [pdf] o para ver en la web.

Pero, ¿qué es eso del proyecto Intergeo? Es un proyecto “engendrado” por el programa econtentplus; este último nace como una iniciativa de la Unión Europea con el fin de hacer más asequible los contenidos digitales a los usuarios de Internet. En concreto, el proyecto Intergeo, como el propio nombre parece indicar, se refiere a las matemáticas y a la geometría interactiva, y pretende aportar un espacio para reunir todos esos recursos con esta temática que actualmente se encuentran desperdigados por la Red, en muchos servidores diferentes y en múltiples formatos. Desde luego, esto es una gran ventaja para el profesorado y un ahorro de su tiempo. Podemos concretar todo esto en tres objetivos:

• Facilitar la búsqueda y elaboración de recursos relacionados con la Geometría Dinámica.
• Crear un formato estándar de archivo que permita al docente usar su software preferido, ya sea de naturaleza comercial o libre.
• Establecer estándares de calidad que permitan a la comunidad educativa evaluar adecuadamente los diversos recursos existentes.

En el proyecto (que comenzó en 2008 y que tiene una duración aproximada de 3 años) participan Alemania, la República Checa, Francia, Holanda, Luxemburgo y España

También participan, como era de suponer, los principales desarrolladores de software: Cabri, Geogebra, Cinderella, Wiris, Tracenpoche, Geoplan-Geospace, Geonext, Openmath y Activemath.

¿Y qué sería de un proyecto como este sin un portal donde poder realizar tamaña empresa? El portal, en este caso, es http://i2geo.net. Allí cualquiera (la única condición es tener más de 13 años) puede darse de alta y, lo que también es muy importante, aportar algún recurso. Como nos dicen en Números:

Para los interesados en aportar sus propias creaciones al portal de Intergeo, basta acceder a la sección [CONTRIBUIR→Añadir un recurso]. Podemos distinguir los siguientes tipos de recursos que pueden aportarse a la plataforma:

Construcciones realizadas con software de geometría dinámica: Las construcciones pueden enviarse en forma de archivo en el formato adecuado o también puede indicarse el enlace donde se encuentran alojadas.

Videos explicativos: El sistema también admite la posibilidad de subir videos informativos relacionados con Intergeo y la geometría interactiva.

Lecciones (Lesson Plans): Permiten crear una completa unidad de aprendizaje en la que se especifican entre otras cosas los objetivos, los materiales necesarios y los contenidos de la unidad, así como el lugar que ocupa en el currículo educativo.

¿Y si no quieres contribuir y sólo buscas un recurso? Pues otra vez Números viene al rescate:

En la actualidad la herramienta de búsqueda de actividades se encuentra en proceso de desarrollo, y esto implica que la forma de acceder a las mismas no es todavía muy amigable y presenta carencias importantes. Lo mejor que podemos hacer es ir a [ENCONTRAR→ Buscar recursos por tema] y seleccionar uno de los recursos disponibles. Una vez hecho esto, se nos mostrará una nueva pantalla con la información principal del recurso

Y… ¿qué podemos decir de la calidad de los recursos que actualmente están alojados en dicho portal?

En cuanto a la presencia de materiales didácticos en español, su calidad y variedad es notoria, y a fecha de hoy el portal de Intergeo recoge cerca de 1000 muestras elaboradas por profesores españoles que tienen una amplia experiencia en la creación de actividades de geometría interactiva para el aula, y que próximamente estarán disponibles públicamente. En particular, cabe destacar las aportaciones de Manuel Sada, José Antonio Mora, José Manuel Arranz y Rafael Losada.

Estos 4 hombres forman, para el que no lo sepa, el grupo G4D; una de cuyas aportaciones es la magnífica página web geometriadinamica.es

Otros aspectos a destacar son la posibilidad de crear equipos de trabajo y de evaluar los recursos alojados en el portal. Para más información acércate al propio portal o a cualquiera de los tres documentos mencionados en el primer párrafo.

Y dicho esto, ¿a qué esperas para darte de alta y contribuir de alguna manera?

Demostración matemática de que las mujeres son un problema

Hace ya unos días pasaron por este blog algunas “demostraciones matemáticas“. La de hoy es una nueva demostración, aunque ahora se hace más uso de las operaciones matemáticas y menos de la lógica. Por cierto, está en inglés, pero sólo hace falta saber cuatro palabras para comprenderla. Pues, ¡adelante!

Por cierto, agradezco a BeyKex que la pusiera en su blog, ya que si no hubiera sido así seguramente este post no habría nacido… También se agradece, y mucho, cualquier aportación del lector, ya sea una demostración inventada o una que conozca. Gracias por tu tiempo.

La Fracción Endemoniada

Quizás sea el día en el que se empiezan a estudiar las fracciones uno de los días más fatales para que los estudiantes sigan viendo a las matemáticas con buenos ojos (aquellos que aún lo hacían). Los niños se preguntan por qué no pueden sumar fracciones como “Dios manda”: numerador con numerador y denominador con denominador; pero el profesor les habla de esa forma de proceder como si fuera algo demoníaco, a jurar por las voces que da, intentando que nadie haga tamaña locura.

Adentrémonos en una de esas aulas ese primer fatídico día. Pepito, en su rincón de siempre, al fondo de la clase, empieza a divagar, a adentrarse en un mundo paralelo en el que las fracciones no provoquen tantos quebraderos de cabeza… y esto es lo que escribe en su cuaderno. Una simplificación “a pelo” sin tener que escribir numerador y denominador como producto de factores primos:

Pero Pepito aún no ha terminado el paseo. ¿Por qué no hacer algo que al profesor le reviente aún más? Estaría bien oír sus chillidos mientras él suma numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Sí, es más, habría que ponerle un nombre, ¿qué tal Fracción Endemoniada?

El señor Jeremías, a través de sus lentes siempre llenas de mugre, mira a Pepito. Toda la clase mantiene la respiración. Los zapatos del profesor, con los cordones desatados, se acercan estrepitosamente hasta la última fila: “Pum, pum, pum”. El tiempo casi se para en ese momento. 25 miradas asustadas se posan en ese ser que avanza hasta el final de la clase. Sólo la mirada de Pepito no muestra miedo. Su rostro sonríe imaginando cómo Jeremías cae al suelo por no saber atarse decéntemente los cordones. Al fin, el profesor llega a su destino. Sus labios se abren y de su boca salen las siguientes palabras:

-¿Qué te hace tanta gracia?

SAM: Síndrome de Antiseducción Matemática

Por “Tu Blog en mi Blog” llegué a “Aula de Matemáticas”, y allí encontré, entre otros interesantes posts, las siguientes palabras de Claudi Alsina ⁽¹⁾:

 

EL SAM: síndrome de antiseducción matemática

Fuente de la imagen: http://convergencia.org

El síndrome de antiseducción matemática, SAM, constituye un extraño fenómeno que conmueve a la sociedad internacional. Para intentar entender tanto la génesis del problema como las características del mismo pasamos a hacer una descripción resumida de los conocimientos mas relevantes que sobre el SAM se poseen:

(a) Antecedentes históricos.

Sobre la aparición del SAM existen versiones contradictorias y polémicas. Algunos estudiosos mantienen la intima relación entre la presencia de los primeros casos del SAM y la aparición de profesores de matemáticas, amparándose en los brotes detectados ya en Alejandría clásica y en los efectos que el famoso tratado de los “Elementos” causo desde sus primeros usos docentes. Otros estudiosos consideran probada la estrecha relación entre el SAM y la aparición de Facultades de matemáticas.

(b) Primeros síntomas

Uno de los primeros síntomas que más ha despistado a los investigadores ha sido la diversidad de síntomas que anuncian la aparición del SAM.

Cabe considerar que el SAM se extiende en todos los países del mundo y afecta a todas las clases sociales.

Normalmente los primeros síntomas aparecen hacia los 10-11 años. En muchos casos la práctica continuada de la “resta llevando” sin entender nada o la escritura masiva de divisiones con decimales son desencadenantes del SAM. Unos ataques convulsivos de bostezos acostumbran a preceder el síntoma inicial más grave del síndrome: la atrofia de los músculos de la nuca. En un primer momento el sujeto empieza a necesitar su mano y brazo izquierdo para, apoyando el codo en una mesa, poder sujetar con la palma de la mano la mejilla izquierda. En una fase mas avanzada el sujeto se inclina hacia delante y a menudo precisa reposar su cabeza en el brazo que yace sobre la mesa bordeando el cuaderno. No es de extrañar la incontinencia lacrimal y el pestañeo continuado.

En algunos individuos que han contraído el SAM se da también un movimiento continuo de cabeza hacia los lados y ansiedades que preceden a la clase de matemáticas. Cuando el verano se acerca acostumbra a desarrollarse una actitud agresiva. Durante las vacaciones los afectados notan una gran mejoría.

Fuente de la imagen: http://geral-colombia.blogspot.com/

(c) Carácter epidémico

Los casos acostumbran a darse en forma masiva en determinadas clases. Pero lo mas grave es que una vez contraído el SAM y ya en la edad adulta, el SAM se transmite de padres a hijos, siendo muchos los padres que confiesan ser poseedores del síndrome a sus hijos incluso antes de que estos pongan de manifiesto los primeros síntomas.

Excepcionalmente, este síntoma es socialmente aceptado y su padecimiento incluso resulta ser de alarde público. Frases tales como: “no te preocupes, que a mi también me paso y aun me pasa”, o “esto es normal, tu madre y yo empezamos a salir debido a esto”, son de uso común.

(d) Hipótesis hipocráticas

A pesar de las atrofia musculares o lacrimales aludidas, claramente se ha descartado el origen vírico del síndrome. El hecho irrefutable de que el SAM pueda desaparecer con un cambio de profesorado de matemáticas y la aparición de síntomas en las clases de esta disciplina, abonan la idea de un origen docente como punto de partida para la aparición de síntomas. Por todo ello la Organización Mundial de la Alegría recomienda que se desarrollen programas de animación del profesorado de matemáticas para que con carácter preventivo se evite la aparición de síntomas. La Organización Mundial de la Alegría ha recomendado una revisión de lo que sucede en los centros de formación, no fuera el caso que cambios drásticos en la formación inicial del profesorado pudieran ahorrar intervenciones posteriores, siempre mas costosas…

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1) Dr.: C. Alsina. “Una matemática feliz y otras conferencias”. Ed. RedOlimpica.1995. Olimpiada matemática Argentina.

Soluciones a los problemas de abril-mayo de 2009

Pues vamos con ellos.

Soluciones de Falacias geométricas:

1) La falacia está en la construcción. El punto F cae siempre fuera del triángulo y de tal manera que al trazar las perpendiculares desde F a los lados AB y AC, una de las perpendiculares interseca a uno de los lados del triángulo y la otra interseca a la prolongación del otro lado, por lo que el razonamiento no tiene sentido. Un ejemplo en la imagen. Si clicas aquí irás hacia una página interactiva creada mediante Geogebra en la que puedes comprobar esto para otros triángulos con sólo arrastrar el vértice A.

2) Mira el contraejemplo de la figura:

Soluciones de Problemas de áreas sombreadas

1) La respuesta es ½. Mira el dibujo:

2) Hay dos formas, por lo menos, de llegar a la solución.